Найти производную заданную параметрическими уравнениями

Производная функции заданной параметрически онлайн

Пусть функция задана в виде параметрических уравнений (т.н. параметрическое задание функции):

где x ( t ) , y ( t ) — дифференцируемые функции и x ‘ ( t ) ≠ 0 . Тогда производная

определяется по формуле:

где — производная от параметрического уравнения y ( t ) по параметру t и — производная от параметрического уравнения x ( t ) , по параметру t .

Наш онлайн сервис найдет производную от параметрической функции с подробным решением. Пример подробного решения, выдаваемого нашим сервисом, можно посмотреть здесь .

Производная параметрической функции

Результат

Примеры производных функции, заданной параметрически

• Степенные функции
• Тригонометрические функции

Указанные выше примеры содержат также:

• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x)
• число Пи pi
• комплексное число i

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5

Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:

Производная параметрически заданной фукнции: формула, примеры

Разбираем формулу параметрически заданной функции

Для нахождения производной параметрически заданной функции cуществует очень простая формула. При этом нет необходимости находить непосредственную зависимость y от x.

Наша задача — научиться находить производные функций, заданных параметрическими уравнениями

Для этого требуется находить производные «обыкновенных» функций и упрощать выражения.

Определённую параметрическими уравнениями функцию y = f(x) можно рассматривать как сложную функцию:

(y зависит от t),

(t зависит от x).

В этой паре формул нетрудно заметить, что t — промежуточный аргумент или параметр (отсюда и название — параметрически заданная функция).

Функция — обратная для функции .

Самое время узнать обещанную простую формулу для нахождения производной параметрически заданной функции.

Вот эта формула:

,

или, что то же самое

.

Здесь производная игрека по иксу — требуемая в условии задачи производная параметрически заданной функции, в числителе — производная второй из функций, которыми параметрически задана функция, в знаменателе — производная первой из функций. Формула доказана в математическом анализе на основании правил дифференцирования сложной функции и обратной функции.

Решаем задачи вместе

Пример 1. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция:

.

Находим производную первой из функций:

.

Находим отношение этих производных:

.

Найденное отношение и есть производная данной параметрически заданной функции.

Пример 2. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция:

.

Находим производную первой из функций:

.

Записываем отношение этих производных:

.

Подозреваем, что выражение получилось довольно сложное. Нельзя ли его упростить? Оказывается, можно, если вспомнить из школьного курса тригонометрические функции половинного аргумента. Результатом их применения и будет требуемая в задании производная параметрически заданной функции:

.

Пример 3. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция:

.

Находим производную первой из функций:

.

Записываем отношение этих производных, производим одношаговое упрощение выражения и получаем производную данной параметрически заданной функции:

.

Пример 4. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция:

.

Находим производную первой из функций:

.

Записываем отношение этих производных, упрощаем и получаем производную данной параметрически заданной функции:

.

Пример 5. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция, причёсываем» степени, но не преобразуем их в корни, так как нам ещё предстоит находить отношения найденных производных:

.

Находим производную первой из функций, так же оставляем всё со степенями:

.

Находим отношение этих производных, для этого пользуемся свойством степеней: чтобы разделить выражение с некоторым аргументом в одной степени на выражение с тем же аргументом в другой степени, из первого показателя степени нужно вычесть второй показатель степени. Таким образом, получаем производную данной параметрически заданной функции:

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Пример 7. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Пример 8. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями: