Найти расстояние между плоскостями заданными уравнениями онлайн

Расстояние между плоскостями. Онлайн калькулятор

Страница обновляется. Могут возникнуть ошибки. Спасибо за понимание!

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между плоскостями. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения расстояния между плоскостями, введите элементы уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Расстояние между плоскостями − теория

Заметим, сначала, что расстояние между плоскостями определена, если плоскости параллельны или, что то же самое, нормальные векторы этих плоскостей коллинеарны. Вычисление расстояния между двумя плоскостями можно свести к вычислению расстояния от точки первой плоскости до второй плоскости. Вычисление расстояния от точки до плоскости (онлайн калькулятор, теория, примеры) посмотрите на странице Расстояние от точки до плоскости онлайн.

Алгоритм вычисления расстояния между плоскостями содержит следующие шаги:

1. Проверка коллинеарности нормальных векторов плоскостей.
2. Нахождение некоторой точки M₀ на первой плоскости.
3. Вычисление расстояния между точкой M₀ и второй плоскостью.

Выведем формулу вычисления расстояния между плоскостями.

Запишем уравнения двух плоскостей:

Очевидно, что нормальные векторы n₁ и n₂ не могут быть нулевыми векторами.Если из пары коэффициентов (A₁,A₂),(B₁,B₂), (C₁,C₂) один нулевой а другой − нет, то нормальные векторы n₁ и n₂ неколлинеарны. Т.е. задача неразрешима.

(2′)

Нормальный вектор уравнения (2′) имеет следующий вид:

Для коллинеарности векторов n₁ и n’₂(или n₁ и n₂) необходимо и достаточно выполнение следующих равенств:

(3)

(3′)

Если удовлетворяется условие (3) (или (3′)), то векторы n₁ и n’₂(или n₁ и n₂) коллинеарны, т.е. плоскости (1) и (2′) (или (1) и (2) ) параллельны. Тогда уравнение плоскости (2′) можно представить так:

2. Найдем некоторую точку на плоскости (1).

Легко убедится, что точка

(4)

принадлежит плоскости (1):

3. Расстояние от точки M₀(x₀, y₀, z₀) до плоскости (2») вычисляется с помощью выражения (подробнее смотрите на странице расстояние от точки до плоскости):

(5)

Подставляя координаты точки M₀ из (4) в (5), получим формулу вычисления расстояния между плоскостями (1) и (2») (или (1) и (2)):

(6)

Расстояние между плоскостями − примеры и решения

Пример 1. Найти расстояние между плоскостями

(7)

(8)

Проверим, являются ли эти плоскости параллельными. Для этого умножим второе уравнение на 1/3.

(8′)

Общее уравнение плоскости имеет вид:

где n=(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Нормальный вектор плоскости (7) равен n₁=(1, 2, −4), нормальный вектор плоскости (8′) равен n₂=(1, 2, −4). n₁=n₂. Следовательно эти плоскости параллельны.

Найдем расстояние между плоскостями (7) и (8′), используя следующую формулу:

(9)

Упростим и решим:

Ответ. Расстояние между плоскостями равен:

Пример 2. Найти расстояние между плоскостями

(10)

(11)

Эти плоскости не параллельны, так как коэффициент переменного z уравнения (10) нулевой а коэффициент переменного z уравнения (11)−нет. Невозможно найти расстояние между непараллельными плоскостями.

Пример 3. Найти расстояние между плоскостями

(12)

(13)

Проверим, являются ли эти плоскости параллельными. Для этого умножим второе уравнение на 4/3.

(13′)

Нормальный вектор плоскости (12) равен n₁=(4, 2, 8), нормальный вектор плоскости (13′) равен n₂=(4, 16/3, 64/3). n₁≠n₂. Нормальные векторы этих плоскостей неколлинеарны. Тогда эти плоскости не параллельны и, следовательно, задача неразрешима.

Онлайн калькулятор. Расстояние между плоскостями.

Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором для вычисления расстояния между плоскостями.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление расстояния между плоскостями и закрепить пройденный материал.

Найти расстояние между плоскостями

Уравнение 1-ой плоскости:

Уравнение 2-ой плоскости:

Ввод данных в калькулятор для вычисления расстояния между плоскостями

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления расстояния между плоскостями

• Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Расстояние между плоскостями

Расстояние между двумя параллельными плоскостями — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки одной плоскости на другую плоскость.

Если заданы уравнения параллельных плоскостей A x + B y + C z + D₁ = 0 и A x + B y + C z + D₂ = 0, то расстояние между плоскостями можно найти, используя следующую формулу

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Расстояние между плоскостями: онлайн-калькулятор

Чтобы найти расстояние между плоскостями, необходимо рассчитать длину перпендикуляра, опущенного с одной плоскости на другую. Для верного самостоятельного решения необходимо знать нужную формулу, правильно произвести все вычисления.

Точный ответ с подробным решением доступен при использовании онлайн-калькулятора. Набор математических программ позволяет быстро справиться со сложной задачей, понять алгоритм вычисления по теме. Также можно воспользоваться расчетами из других разделов.

Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

Как найти расстояние между плоскостями. Онлайн-калькулятор

Расстояние между двумя плоскостями рассчитывается по формуле:

Для использования сайта не требуется регистрация, внесение личных данных. Вы не тратите время на лишние действия, тренируетесь в подсчетах конфиденциально. Программа проверена на правильность расчетов. Вам остается только ввести данные и получить ответ.

• Школьники. На уроке новый материал не всегда сразу усваивается. Во время закрепления материала можно тренироваться в подсчетах. Чертеж, формула и последовательные действия помогут быстрее запомнить алгоритм, освоить тему.
• Студенты. Когда в получении результата важна скорость, применение автоматического подсчета – отличный вариант. Зачеты и экзамены намного легче сдать с нашим сервисом.
• Учителя. Проверку знаний учащихся быстрее осуществлять с помощью сайта. Составить разные варианты для самостоятельной и получить для них автоматизированные решение и ответ легче, чем проделывать это вручную.
• Родители учеников. Проверка домашнего задания или помощь в освоении темы теперь не требует поиска информации. Необходимо только найти нужную программу и ввести данные.