Найти расстояние между прямыми заданными параметрическими уравнениями

Расстояние между 2 прямыми в пространстве

Вы будете перенаправлены на Автор24

Очень часто на практике необходимо найти расстояние между точкой и некой прямой линией или между двумя прямыми линиями в пространстве, например, иногда определять расстояние между двумя линиями приходится и в реальной жизни. Хорошая иллюстрация такого примера — это знак, который вешают на мосты для грузовиков, указывающий максимальную высоту грузовика, которая может проехать под данным мостом.

Расстояние от верхней грани грузовика и нижней грани в данном случае определяют как расстояние между двумя прямыми.

Расстояние между 2 прямыми в пространстве — это отрезок, соединяющий две прямые линии по наикратчайшему расстоянию между ними, то есть перпендикулярный к обеим прямым.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве — это расстояние между одной заданной прямой и плоскостью, в которой лежит вторая прямая.

Чтобы было чуть проще понять, что это такое, давайте повторим определение скрещивающихся прямых:

Скрещивающиеся прямые — это две прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют каких-либо совместных друг для друга точек.

Соответственно, для того чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве, необходимо от одной из прямых опустить перпендикуляр на плоскость, в которой лежит другая прямая.

Расстояние же между двумя параллельными прямыми в пространстве является одинаковым на протяжении всей длины параллельных прямых, то есть перпендикуляр, опущенный из одной параллельной прямой на другую, всегда будет одной и той же длины вне зависимости от того, из какой именно точки его опустили.

Метод координат для определения расстояния между скрещивающимися прямыми

Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве можно найти используя метод координат, для этого необходимо:

Готовые работы на аналогичную тему

1. Найти координаты точек $M_1$ и $M_2$, лежащих на прямых $a$ и $b$ соответственно.
2. Вычислить икс, игрек и зет направляющих векторов для прямых $a$ и $b$.
3. С помощью векторного произведения векторов $\overline$ и $\overline$ нужно найти вектор-нормаль для плоскости, в которой лежит прямая $b$. Затем необходимо записать общее уравнение плоскости: $A (x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0$, и от него перейти к нормированному виду уравнения плоскости следующего вида: $ x \cdot cos α + y \cdot cos β + z \cdot cos <γ>– p = 0$, где $cos α, cos β$ и $cos γ$ — координаты единичного нормального вектора плоскости, а $p$ — свободный член, это число равно расстоянию от точки начала координат до плоскости.
4. Для вычисления расстояния от точки $M$ до искомой плоскости, нужно воспользоваться следующим уравнением: $M_1H_1 = |x_1 \cdot cos α + y_1 \cdot cos β + z_1 \cdot cos <γ>– p|$, где $x_1, y_1, z_1$ – координаты точки $M_1$, лежащей на прямой $a$, а $H_1$ — точка, лежащая на искомой плоскости.

Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными уравнениями: $d_1$: $\frac <2>= \frac <-3>= \frac<-1>$

Рисунок 1. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве

Для этого воспользуемся следующей формулой:

Сначала найдём смешанное произведение векторов. Для этого найдём точки, лежащие на данных прямых, и их направляющие вектора:

$d_1$: $\frac <2>= \frac <-3>= \frac<-1>$, точка, лежащая на прямой — $M_1$ с координатами $(2;-1;0)$, а направляющий вектор — $\overline$ с координатами $(2; -3; -1)$

$d_2$: $\begin \frac <1>= \frac <-2>\\ z – 1 = 0 \end$, точка, лежающая на прямой — $M_2$ с координатами $(-1; 0; 1)$,

а её направляющий вектор — $\overline$ с координатами $(1; -2; 0)$

Теперь найдём вектор $\overline$:

Найдём смешанное произведение векторов:

$\overline \cdot \overline \cdot \overline = \begin <|ccc|>2& 1 & -3 \\ -3& -2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end = — \begin <|cc|>1 & -3 \\ -2 & 1 \\ \end + \begin <|cc|>2 & 1 \\ -3 & -2 \\ \end = -(1 — 6) + (4 + 3) = 4$

Теперь найдём векторное произведение векторов:

$[|\overline × \overline|] = \begin <|ccc|>i& j & k \\ 2 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & 0 \end = \begin <|cc|>-3 & -1 \\ -2 & 0 \end \cdot \overline — \begin <|cc|>2 & -1 \\ 1 & 0 \end \cdot \overline + \begin <|cc|>2 & -3 \\ 1 & -2 \end \cdot \overline$

$[|\overline × \overline |]= -2 \overline — \overline — \overline$

Длина этого векторного произведения составит:

Соответственно, длина между скрещивающимися прямыми составит:

Даны две параллельные несовпадающие прямые $g$ и $m$, ниже приведены уравнения для них. Определить расстояние между ними.

Расстояние в этом случае для них вычисляется по следующей формуле:

$\overline, \overline$ — радиус-векторы для каждой прямой, а $s_1$ — направляющий вектор.

Радиус-вектор для первой прямой будет $r_1=\<1; -1; -3\>$, а направляющий вектор $s_1 = \<4; 6; 8\>$.

Радиус-вектор для второй прямой будет $r_2=\<-1; 1; 3\>$, а направляющий вектор $s_2 = \<2; 3; 4\>$.

Найдём векторную разность радиус-векторов:

Теперь найдём её произведение с направляющим вектором для первой прямой:

$[\overline — \overline × \overline] = \begin <|ccc|>i & j & k \\ -2 & 0 & 0 \\ 4 & 6 & 8 \\ \end = — 16j – 12k = \<0;-16;-12\>$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 09 01 2022

Расстояние между прямыми в пространстве онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между прямыми в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния между прямыми в пространстве, задайте вид уравнения прямых («канонический» или «параметрический» ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Расстояние между прямыми в пространстве − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂:

.

(1)

,

(2)

Прямые (1) и (2) в пространстве могут совпадать, быть паралленьными, пересекаться, или быть скрещивающимся. Если прямые в пространстве пересекаются или совпадают, то расстояние между ними равно нулю. Мы рассмотрим два случая. Первый − прямые параллельны, и второй − прямые скрещиваются. Остальные являются частыми случаями. Если при вычислении расстояния между параллельными прямыми мы получим расстояние равным нулю, то это значит, что эти прямые совпадают. Если же расстояние между скрещивающимися прямыми равно нулю, то эти прямые пересекаются.

1. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве

Рассмотрим два метода вычисления расстояния между прямыми.

которое и является расстоянием между прямыми L₁ и L₂ (Рис.1).

Пример 1. Найти расстояние между прямыми L₁ и L₂:

(3)

(4)

Найдем проекцию точки M₁ на прямую L₂. Для этого построим плоскость α, проходящей через точку M₁ и перпендикулярной прямойL₂.

Для того, чтобы плоскость α было перепендикулярна прямой L₂, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L₂, т.е. в качестве нормального вектора плоскости α можно взять направляющий вектор прямой L₂. Тогда уравнение искомой плоскости, проходящей через точку M₁(x₁, y₁, z₁) имеет следующий вид:

После упрощения получим уравнение плоскости, проходящей через точку M₁ и перпендикулярной прямой L₂:

Найдем точку пересечения прямой L₂ и плоскости α, для этого построим параметрическое уравнение прямой L₂.

Выразив переменные x, y, z через параметр t, получим параметрическое уравнение прямой L₂:

(7)

Чтобы найти точку пересечения прямой L₂ и плоскости α, подставим значения переменных x, y, z из (7) в (6):

Решив уравнение получим:

(8)

Подставляя полученное значение t в (7), получим точку пересеченияпрямой L₂ и плоскости α:

Остается найти расстояние между точками M₁ и M₃:

Ответ: Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно d=7.2506.

Метод 2. Найдем расстояние между прямыми L₁ и L₂ (уравнения (1) и (2)). Во первых, проверяем параллельность прямых L₁ и L₂. Если направляющие векторы прямых L₁ и L₂ коллинеарны, т.е. если существует такое число λ, что выполнено равенство q₁=λq₂, то прямые L₁ и L₂ параллельны.

Данный метод вычисления расстояния между параллельными векторами основана на понятии векторного произведения векторов. Известно, что норма векторного произведения векторов и q₁ дает площадь параллелограмма, образованного этими векторами (Рис.2). Узнав площадь параллелограмма, можно найти вершину параллелограмма d, разделив площадь на основание q₁ параллелограмма.

Вычислим координаты вектора :

Вычислим векторное произведение векторов и q₁:

Вычисляя определители второго порядка находим координаты вектора c:

Далее находим площадь параллелограмма:

.

Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно:

,

,

Пример 2. Решим пример 1 методом 2. Найти расстояние между прямыми

(25)

(26)

Векторы q₁ и q₂ коллинеарны. Следовательно прямые L₁ и L₂ параллельны. Для вычисления расстояния между параллельными прямыми воспользуемся векторным произведением векторов.

Построим вектор =<x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁>=<7, 2, 0>.

Вычислим векторное произведение векторов и q₁. Для этого составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов и q₁:

Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов и q₁:

Таким образом, результатом векторного произведения векторов и q₁ будет вектор:

Поскольку векторное произведение векторов и q₁ дает плошадь параллелограмма образованным этими векторами, то расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно :

Ответ: Расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно d=7.25061.

2. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве

Пусть задана декартова прямоугольная симтема координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L₁ и L₂ (уравнения (1) и (2)).

Пусть прямые L₁ и L₂ не параллельны (паралельные прямые мы расстотрели в предыдущем параграфе). Чтобы найти расстояние между прямыми L₁ и L₂ нужно построить параллельные плоскости α₁ и α₂ так, чтобы прямая L₁ лежал на плоскости α₁ а прямая L₂ − на плоскости α₂. Тогда расстояние между прямыми L₁ и L₂ равно расстоянию между плоскостями L₁ и L₂ (Рис. 3).

Поскольку плоскость α₁, проходит через прямую L₁, то он проходит также через M₁(x₁, y₁, z₁). Следовательно справедливо следующее равенство:

где n₁=<A₁, B₁, C₁> − нормальный вектор плоскости α₁. Для того, чтобы плоскость α₁ проходила через прямую L₁, нормальный вектор n₁ должен быть ортогональным направляющему вектору q₁ прямой L₁, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Так как плоскость α₁ должна быть параллельной прямой L₂, то должна выполнятся условие:

Решая систему линейных уравнений (27)−(29), с тремя уравнениями и четыремя неизвестными A₁, B₁, C₁, D₁, и подставляя в уравнение

получим уравнение плоскости α₁. (Как построить уравнение плоскости, проходящей через прямую, параллельно другой прямой подробно изложено здесь).

Аналогичным образом находим уравнение плоскости α₂:

Плоскости α₁ и α₂ параллельны, следовательно полученные нормальные векторыn₁=<A₁, B₁, C₁> и n₂=<A₂, B₂, C₂> этих плоскостей коллинеарны. Если эти векторы не равны, то можно умножить (31) на некторое число так, чтобы полученный нормальный вектор n₂ совпадал с нормальным вектором уравнения (30).

Тогда расстояние между параллельными плоскостями вычисляется формулой:

.

Полученное расстояние между плоскостями α₁ и α₂ является также расстоянием между прямыми L₁ и L₂.

Пример 3. Найти расстояние между прямыми

(32)

(33)

Построим плоскость α₁, проходящую через прямую L₁, параллельно прямой L₂.

Поскольку плоскость α₁ проходит через прямую L₁ , то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=M₁(2, 1, 4) и нормальный вектор n₁=<m₁, p₁, l₁> плоскости α₁ перпендикулярна направляющему вектору q₁ прямой L₁. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

а условие параллельности прямой L₁ и искомой плоскости α₁ представляется следующим условием:

Так как плоскость α₁ должна быть параллельной прямой L₂, то должна выполнятся условие:

Представим эти уравнения в матричном виде:

(40)

(41)

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

Упростим уравнение, умножив на число 17.

(43)

Построим плоскость α₂, проходящую через прямую L₂, параллельно прямой L₁.

Поскольку плоскость α₂ проходит через прямую L₂ , то она проходит также через точку M₂(x₂, y₂, z₂)=M₂(6, −1, 2) и нормальный вектор n₂=<m₂, p₂, l₂> плоскости α₂ перпендикулярна направляющему вектору q₂ прямой L₂. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

а условие параллельности прямой L₂ и искомой плоскости α₂ представляется следующим условием:

Так как плоскость α₂ должна быть параллельной прямой L₁, то должна выполнятся условие:

Представим эти уравнения в матричном виде:

(50)

(51)

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

Упростим уравнение, умножив на число −83.

(53)

Расстояние между построенными плоскостями (43) и (53) будет расстоянием между прямыми (1) и (2).

Запишем формулы уравнений плоскостей α₁ и α₂ :

Поскольку нормальные векторы плоскостей α₁ и α₂ совпадают, то можно найти расстояние между плоскостями α₁ и α₂, используя следующую формулу:

(54)

Упростим и решим:

Расстояние между прямыми равно: d=4.839339

Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение и примеры нахождения.

В этой статье дано определение расстояния между двумя параллельными прямыми на плоскости и в трехмерном пространстве, а также разобран метод координат, позволяющий вычислять расстояние между параллельными прямыми. Сначала приведена необходимая теория, после чего приведены подробные решения примеров и задач, в которых находится расстояние между двумя параллельными прямыми.

Навигация по странице.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение.

Определение расстояния между двумя параллельными прямыми дается через расстояние от точки до прямой.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Для наглядности изобразим две параллельные прямые a и b , отметим на прямой а произвольную точку М₁ , опустим перпендикуляр из точки М₁ на прямую b , обозначив его H₁ . Отрезок М₁H₁ соответствует расстоянию между параллельными прямыми a и b .

Приведенное определение расстояния между двумя параллельными прямыми справедливо как для параллельных прямых на плоскости, так и для прямых в трехмерном пространстве. Более того, такое определение расстояния между двумя параллельными прямыми принято не случайно. Оно тесно связано со следующей теоремой.

Все точки одной из двух параллельных прямых удалены на одинаковое расстояние от другой прямой.

Рассмотрим параллельные прямые a и b . Отметим на прямой a точку М₁ , опустим из нее перпендикуляр на прямую b . Основание этого перпендикуляра обозначим как H₁ . Тогда длина перпендикуляра М₁H₁ есть расстояние между параллельными прямыми a и b по определению. Докажем, что равно , где М₂ – произвольная точка прямой a , отличная от точки M₁ , а H₂ – основание перпендикуляра, проведенного из точки М₂ на прямую b . Доказав этот факт, мы докажем и саму теорему.

Так как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны (об этом говорилось в статье параллельные прямые, параллельность прямых), то , а прямая M₂H₂ , перпендикулярная прямой b по построению, перпендикулярна и прямой a . Тогда треугольники М₁H₁H₂ и М₂М₁H₂ прямоугольные, и, более того, они равны по гипотенузе и острому углу: М₁H₂ – общая гипотенуза, . Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, поэтому, . Теорема доказана.

Следует заметить, что расстояние между двумя параллельными прямыми является наименьшим из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.

Нахождение расстояния между параллельными прямыми – теория, примеры, решения.

Итак, нахождение расстояния между параллельными прямыми сводится к нахождению длины перпендикуляра, проведенного из некоторой точки одной из прямых на другую прямую. При этом подбирается метод, позволяющий это расстояние отыскать. Выбор метода зависит от условий конкретной задачи. В некоторых случаях можно использовать теорему Пифагора, в других — признаки равенства или подобия треугольников, определения синуса, косинуса или тангенса угла и т.п. Если же параллельные прямые заданы в прямоугольной системе координат, то расстояние между заданными параллельными прямыми можно вычислить методом координат. На нем и остановимся.

Сформулируем условие задачи.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат, заданы две параллельные прямые a и b и требуется найти расстояние между этими прямыми.

Решение этой задачи строится на определении расстояния между параллельными прямыми — чтобы найти расстояние между двумя заданными параллельными прямыми нужно:

• определить координаты некоторой точки М₁ , лежащей на прямой a (или на прямой b );
• вычислить расстояние от точки М₁ до прямой b (или a ).

С определением координат точки М₁ , лежащей на какой-нибудь из заданных параллельных прямых, проблем не возникнет, если, конечно, Вам знакомы основные виды уравнения прямой на плоскости и уравнения прямой в пространстве. Для нахождения расстояния от точки М₁ до нужной из заданных параллельных прямых Вам будет полезна информация из раздела нахождение расстояния от точки до прямой.

В частности, если в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости прямую a задает общее уравнение прямой вида , а прямую b , параллельную прямой a , — общее уравнение прямой , то расстояние между этими параллельными прямыми можно вычислить по формуле .

Покажем вывод этой формулы.

Возьмем точку , которая лежит на прямой a , тогда координаты точки М₁ удовлетворяют уравнению , то есть, справедливо равенство , откуда имеем .

Если , то нормальное уравнение прямой b имеет вид , а если , то нормальное уравнение прямой b имеет вид . Тогда при расстояние от точки до прямой b вычисляется по формуле , а при — по формуле

То есть, при любом значении С₂ расстояние от точки до прямой b можно вычислить по формуле . А если учесть равенство , которое было получено выше, то последняя формула примет вид . На этом вывод формулы для вычисления расстояние между двумя параллельными прямыми, заданными общими уравнениями прямых вида и завершен.

Разберем решения примеров.

Начнем с нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми, заданными в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости.

Найдите расстояние между параллельными прямыми и .

Очевидно, что прямая, которой соответствуют параметрические уравнения прямой на плоскости вида , проходит через точку .

Искомое расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от точки до прямой . Вычислим его.

Получим нормальное уравнение прямой, которой отвечает уравнение прямой с угловым коэффициентом вида . Для этого сначала запишем общее уравнение прямой: . Теперь вычислим нормирующий множитель: . Умножив на него обе части последнего уравнения, имеем нормальное уравнение прямой: . Искомое расстояние равно модулю значения выражения , вычисленного при . Итак, расстояние между заданными параллельными прямыми равно

Второй способ решения.

Получим общие уравнения заданных параллельных прямых.

Выше мы выяснили, что прямой соответствует общее уравнение прямой . Перейдем от параметрических уравнений прямой вида к общему уравнению этой прямой:

Коэффициенты при переменных x и y в полученных общих уравнениях параллельных прямых равны, поэтому мы сразу можем применить формулу для вычисления расстояния между параллельными прямыми на плоскости: .

.

На плоскости введена прямоугольная система координат Oxy и даны уравнения двух параллельных прямых и . Найдите расстояние между указанными параллельными прямыми.

Канонические уравнения прямой на плоскости вида позволяют сразу записать координаты точки М₁ , лежащей на этой прямой: . Расстояние от этой точки до прямой равно искомому расстоянию между параллельными прямыми. Уравнение является нормальным уравнением прямой, следовательно, мы можем сразу вычислить расстояние от точки до прямой : .

Второй способ решения.

Общее уравнение одной из заданных параллельных прямых нам уже дано . Приведем каноническое уравнение прямой к общему уравнению прямой: . Коэффициенты при переменной x в общих уравнениях заданных параллельных прямых равны (при переменной y коэффициенты тоже равны — они равны нулю), поэтому можно применять формулу, позволяющую вычислить расстояние между заданными параллельными прямыми: .

Осталось рассмотреть пример нахождения расстояния между параллельными прямыми в трехмерном пространстве.

Найдите расстояние между двумя параллельными прямыми, которым в прямоугольной системе координат Oxyz соответствуют канонические уравнения прямой в пространстве вида и .

Очевидно, прямая проходит через точку . Вычислим расстояние от этой точки до прямой — оно даст нам искомое расстояние между параллельными прямыми.

Прямая проходит через точку . Обозначим направляющий вектор прямой как , он имеет координаты . Вычислим координаты вектора (при необходимости смотрите статью координаты вектора по координатам точек): . Найдем векторное произведение векторов и :

Теперь осталось применить формулу, позволяющую вычислить расстояние от точки до прямой в пространстве: .

расстояние между заданными параллельными прямыми равно .