Найти расстояние от точки до поверхности заданной уравнением

Расстояние от точки до плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние от точки до заданной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния от точки до плоскости введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Расстояние от точки до плоскости − теория, примеры и решения

Для нахождения расстояния от точки M₀ до плоскости α, необходимо найти расстояние от точки M₀ до проекции точки M₀ на плоскость α:

Нахождение расстояния от точки до плоскости содержит следующие шаги:

1. построение прямой L, проходящей через точку M₀ и перпендикулярной плоскости α.
2. нахождение точки M₁ пересечения плоскости α с прямой L(Рис.1).
3. вычисление расстояния между точками M₀ и M₁.

1. Общее уравнение плоскости имеет вид:

(1)

где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

(2)

Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и ортогональной плоскости (1) имеет следующий вид:

(3)

Для нахождения точку пересечения прямой L с плоскостью α, проще всего рассматривать параметрическое уравнение прямой. Составим ее

Выразим переменные x, y, z через рараметр t.

(4)

2. Найдем точку пересечения прямой (4) с плоскостью (1). Для этого нужно найти такой параметр t, при котором точка M(x, y, z) принадлежит плоскости (1). Поэтому подставим значения x,y,z из выражения (4) в (1) и решим относительно t.

(5)

3. Найдем, наконец, расстояние от точки M₀ до плоскости (1). Очевидно, что расстояние от точки M₀ до плоскости (1) − это расстояние от точки M₀ до точки M₁. А это расстояние вычисляется так:

Учитывая значение параметра t, имеем:

(6)

Пример 1. Найти расстояние от точки M₀(2, -1, -9/31) до плоскости

(7)

Нормальный вектор плоскости имеет вид:

Подставляя координаты точки M₀ и нормального вектора плоскости в (5), получим:

(8)

Из выражений (4) находим:

Проекцией точки M₀(2, -1, -9/31) на плоскость (7) является точка:

.

Вычислим расстояние между точками M₀ и M₁:

.

.

Расстояние от точки M₀(2, -1, -9/31) до плоскости (7):

Расстояние от точки до плоскости

Формула для вычисления расстояния от точки до плоскости

Если задано уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 , то расстояние от точки M(M _x , M _y , M _z ) до плоскости можно найти, используя следующую формулу:

Примеры задач на вычисление расстояния от точки до плоскости

Решение. Подставим в формулу коэффициенты плоскости и координаты точки

d = |2·0 + 4·3 + (-4)·6 — 6| √ 4 + 16 + 16 = |0 + 12 — 24 — 6| √ 36 = |-18| 6 = 3

Ответ: расстояние от точки до плоскости равно 3.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Вычисление расстояния от точки до плоскости

Этот калькулятор онлайн вычисляет расстояния от точки до плоскости заданной в виде общего уравнения плоскости:
$$ Ax+By+Cz+D=0 $$

Онлайн калькулятор для вычисления расстояния от точки до плоскости не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Наш онлайн калькулятор дает не только ответ задачи, но и отображает процесс решения по шагам. В результате вы сможете понять процесс решения задач на нахождение расстояния от точки до плоскости.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: \( -\frac<2> <3>\)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&5/7
Результат: \( -1\frac<5> <7>\)