Найти рациональные корни уравнения 33 34

ГДЗ дидактические материалы по алгебре 9 класс Макарычев, Миндюк, Крайнева Просвещение Задание: С-15 Дробные рациональные уравнения

1. При каких значениях b равно нулю значение дроби

2. Решите уравнение

3. Найдите корни уравнения

4. Решите уравнение, обозначив одну из взаимно обратных дробей через t, а другую – через 1/t.

5. Решите уравнение, используя введение новой переменной

6. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций

7. Найдите корни уравнения

8. Сумма некоторого числа, большего 1, и числа, ему обратного, в 2 2/3 раза меньше разности их квадратов. Найдите эти числа.

10.5. НАХОЖДЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Умножим обе части равенства (1) на (q ≠ 0). Получаем

В равенстве (2) все слагаемые, кроме последнего, делятся на р. Поэтому

Но когда мы записываем рациональное число в виде p/q, то эта дробь счи­тается несократимой, то есть р и q не имеют общих делителей. Произве­дение a₀q n может делиться на р (если р и q — взаимно простые числа) только тогда, когда a₀ делится на р. Таким образом, р — делитель свобод­ного члена a₀.

Аналогично все слагаемые равенства (2), кроме первого, делятся на q. Тогда

Отметим два следствия из этой теоремы. Если взять q = 1, то корнем многочлена будет целое число р — делитель a₀. Таким образом, имеет место:

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффи­циентами является делителем его свободного члена.

Если в заданном многочлене f (х) коэффициент а_n = 1, то делителями а_n могут быть только числа ±1, то есть q =±1, и имеет место:

Следствие 2. Если коэффициент при старшем члене уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни этого уравнения (если они существуют) — целые числа.

Задача 1 Найдите рациональные корни многочлена 2х 3 – х 2 + 12х – 6.

Пусть несократимая дробь p/q является корнем многочлена. Тогда р не­обходимо искать среди делителей свободного члена, то есть среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6, а q — среди делителей старшего коэффициента: ±1, ±2.

Таким образом, рациональные корни многочлена необходимо искать сре­ди чисел ±1/2, ±1, +±3/2, ±2, ±3, ±6. Проверять, является ли данное число корнем многочлена, целесообразно с помощью схемы Горнера. При x = 1/2 имеем следующую таблицу.

Кроме того, по схеме Горнера мож­но записать, что

Многочлен 2х 2 + 12 не имеет действительных корней (а тем более рацио­нальных), поэтому заданный многочлен имеет единственный рациональ­ный корень x =1/2.

Задача 2 Разложите многочлен Р (х) = 2х 4 + 3х 3 – 2х 2 – х – 2 на множители.

Ищем целые корни многочлена среди делителей свободного члена: ±1, ±2. Подходит 1. Делим Р (х) на х – 1 с помощью схемы Горнера.

Тогда Р (х) = (х – 1)(2х3 + 5х 2 + 3х + 2). Ищем целые корни кубического многочлена 2х 3 + 5х 2 + 3х + 2 среди делителей его свободного члена: ±1, ±2. Подходит (–2). Делим на х + 2

Квадратный трехчлен 2х 2 + х +1 не имеет действительных корней и на линейные множители не расклады­вается.

Ответ: Р (х) = (х – 1)(х + 2)(2х 2 + х +1).

Отметим, что во множестве действительных чисел не всегда можно найти все корни многочлена (например, квадратный трехчлен х 2 + х + 1 не имеет действительных корней). Таким образом, многочлен n-й степени не всегда можно разложить на линейные множители. В курсах высшей алгебры дока­зывается, что многочлен нечетной степени всегда можно разложить на ли­нейные и квадратные множители, а многочлен четной степени представить в виде произведения квадратных трехчленов.

Например, многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов. Для нахождения коэффициентов этого раз­ложения иногда можно применить метод неопределенных коэффициентов.

Задача 3 Разложите на множители многочлен х 4 + х 3 + 3х 2 + х + 6.

Попытка найти рациональные корни ничего не дает: многочлен не имеет рациональных (целых) корней.

Попытаемся разложить этот многочлен в произведение двух квадратных трехчленов. Поскольку старший коэффициент многочлена равен 1, то и у квадратных трехчленов возьмем старшие коэффициенты равными 1. То есть будем искать разложение нашего многочлена в виде:

где а, b, с и d — неопределенные (пока что) коэффициенты. Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого равенства, тождественно равны, поэтому и коэффициенты при одинаковых степенях х у них равны. Рас­кроем скобки в правой части равенства и приравняем соответствующие коэффициенты. Это удобно записать так:

Попытка решить эту систему методом подстановки приводит к уравне­нию 4-й степени, поэтому попробуем решить систему (4) в целых числах. Из последнего равенства системы (4) получаем, что b и d могут быть толь­ко делителями числа 6. Все возможные варианты запишем в таблицу.

Коэффициенты b и d в равенстве (3) равноправны, поэтому мы не рас­сматриваем случаи b = 6 и d = 1 или b = –6 и d = –1 и т. д.

Для каждой пары значений b и d из третьего равенства системы (4) най­дем ас = 3 – (b + d), а из второго равенства имеем а + с = 1.

Зная а + с и ас, по теореме, обратной теореме Виета, находим а и с как корни квадратного уравнения. Найденные таким образом значения а, b, с, d подставим в четвертое равенство системы (4) bс + ad = 1, чтобы выбрать те числа, которые являются решениями системы (4). Удобно эти рассуждения оформить в виде таблицы:

Как видим, системе (4) удовлетворяет набор целых чисел а = –1, b = 2, с = 2, d = 3. Тогда равенство (3) имеет вид

Поскольку квадратные трехчлены х 2 – х + 2 и х 2 + 2х + 3 не имеют не только рациональных, но и действительных корней, то равенство (5) дает окончательный ответ.

Упражнения

1. Найдите целые корни многочлена:

1. Найдите рациональные корни уравнения:

1. Разложите многочлен на множители:

1. Найдите действительные корни уравнения:

5*. Разложите многочлен на множители методом неопределенных коэффи­циентов:

6*. Разложите многочлен на множители, заранее записав его с помощью ме­тода неопределенных коэффициентов в виде (х 2 + bх + с) 2 – (mх + n) 2 : :

Как составить список всех возможных рациональных корней для каждого уравнения, использовать синтетическое деление, чтобы найти фактический рациональный корень, а затем найти оставшиеся 2 корня для x ^ 3-2x ^ 2 + 9x-18 = 0? — Тригонометрия И Алгебра — 2022

В списке возможных корней находятся делители 18:
#+-1 | +-2 |+- 3 | +-6 | +-9 | +-18#

На самом деле приведенный полином достаточно легко разлагается

# x ^ 3-2x ^ 2 + 9x-18 = 0 => x ^ 2 (x-2) +9 (x-2) = 0 => (x-2) * (x ^ 2-9) = 0 => (х-2) (х-3) (х + 3) = 0 #

Отсюда корни #2,3,-3#

Используя синтетическое деление, мы имеем

1 -2 9 -18 | 2 1 -9 | 0

следовательно # (Х ^ 3-2x ^ 2 + 9х-18) = (х-2) * (х ^ 2-9) + 0 #

Рекомендуем

Возраст Бобса в 4 раза больше возраста Сюзанны. Дакота на три года моложе Сюзанны. Сумма возрастов Боба, Сюзанны и Дакоты — 93 года. Какой возраст Сюзанны?

Возраст Сюзанны — 16 лет. Давайте назовем возраст Сюзанны S. Поскольку Боб в 4 раза больше, чем возраст Сюзанны, его возраст должен быть 4 xx S. А поскольку Дакота на три года моложе Сюзанны, ее возраст должен быть S — 3. Сумма всех их возрастов: 93, поэтому сложение созданных нами терминов дает нам: S + 4S + (S — 3) = 93 Теперь решение для S при сохранении сбалансированности этого уравнения дает: S + 4S + S — 3 = 93 6S — 3 = 93 6S — 3 + 3 = 93 + 3 6S = 96 (6S) / 6 = 96/6 S = 16

Боб катается на роликах 48 км за 4 часа. Какова его средняя скорость в километрах в час?

Его средняя скорость составляет «12 км / час». Помните треугольник скорости, расстояния и времени. Если вы помните это, вы будете отвечать на эти вопросы. У меня были проблемы с этими формулами, но треугольник помог мне очень много! В любом случае, давайте вернемся к вопросу. Формула для средней скорости почти такая же, как формула для просто скорости. Формула средней скорости: «Средняя скорость» = «Общее расстояние» / «Общее время» Итак . «48 км» / «4 часа» = «12 км / час». Мой источник, надеюсь, это объяснение поможет вам !