Разложение решения уравнения в степенной ряд
Этот прием является особенно удобным в применении к линейным дифференциальным уравнениям. Проиллюстрируем его применение на примере уравнения второго порядка. Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка
Предположим, что коэффициенты и представляются в виде рядов, расположенных по целым положительным степеням , так что уравнение (1) можно переписать в виде
Решение этого уравнения будем искать также в виде степенного ряда
Подставляя это выражение и его производных в (2), получаем
Перемножая степенные ряды, собирая подобные члены и приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях в левой части (4), получаем ряд уравнений:
Каждое последующее из уравнений (5) содержит одним искомым коэффициентом больше, чем предыдущее. Коэффициенты и остаются произвольными и играют роль произвольных постоянных. Первое из уравнений (5) дает , второе дает , третье — , и т.д. Вообще из (к + 1)-го уравнения можно определить , зная .
Практически удобно поступать следующим образом. Определим по описанной выше схеме два решения и , причем для выберем и , а для выберем и , что равносильно следующим начальными условиям:
Всякое решение уравнения (1) будет линейной комбинацией решений и .
Если начальные условия имеют вид , то очевидно,
Имеет место следующая теорема.
Теорема. Если ряды и сходятся при , то построенный указанным выше способом степенной ряд (3) будет также сходящимся при этих значениях и явится решением уравнения (1).
В частности, если и — многочлены от , то ряд (3) будет сходиться при любом значении .
Пример 1. Найти решения уравнения в виде степенного ряда.
Решение. Ищем в виде ряда , тогда
Подставляя и в (6), получаем
Приводя в (7) подобные члены и приравнивая нулю коэффициенты при всех степенях , получаем соотношения, из которых найдем коэффициенты
Положим для определенности, что . Тогда легко находим, что
52. Решение дифференциальных уравнений с помощью сТепенных рядов
С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида:
Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям.
Это решение можно представить степенным рядом:
Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные Ci.
Эта задача решается Методом сравнения неопределенных коэффициентов. Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.)
Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях Х в левой и правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений, из которой последовательно определяем коэффициенты Ci.
Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям.
Пример. Найти решение уравнения C начальными условиями Y(0)=1, Y’(0)=0.
Решение уравнения будем искать в виде
Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:
Отсюда получаем:
Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной:
Окончательно получим:
Итого:
Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название Метод последовательного дифференцирования.
Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена.
Если заданные начальные условия Y(0)=1, Y’(0)=0 подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим, что
Далее запишем дифференциальное уравнение в виде и будем последовательно дифференцировать его по Х.
После подстановки полученных значений получаем:
Разложение функции в ряд Тейлора
Онлайн калькулятор для разложения функции в ряд Тейлора.
Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.
Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.
Данный калькулятор предназначен для разложения функции в ряд Тейлора онлайн.
Разложение Тейлора задается единственной формулой для функций, которые раскладывается в степенной ряд по степеням (x-a) в определенном интервале. Разложение ряда Тейлора по степеням x (при a=0) является частным случаем и называется разложением Маклорена.
Калькулятор поможет разложить функцию в ряд Тейлора онлайн. Для того чтобы получить решение, необходимо ввести соответствующие значения в ячейки: вид функции, значение x и степень, до которой нужно разложить ряд.
Основные функции |
- : x^a
http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/kurs-vysshei-matematiki-3/52-reshenie-differentcialnykh-uravnenii-s-pomoshchiu-stepennykh-riadov
http://allcalc.ru/node/688