Найти решение уравнений 11 класс

Итоговое повторение темы «Решение уравнений» в курсе алгебры 11-го класса

Разделы: Математика

На первом, мотивационном этапе с учащимися обговорили, почему и для чего необходимо повторить эту тему. Дали оценку своих возможностей, составили план предстоящей работы:

1. повторить тему за 6 уроков.
2. повторить тему «Общие сведения об уравнениях»; (1 ч)
3. обратить внимание на виды уравнений; (1 ч)
4. повторить теоремы равносильности уравнений; (1 ч)
5. повторить способы решений уравнений. (1 ч)

Способы решения уравнений, которые предлагаются учащимися в школьных учебниках, усваиваются достаточно хорошо. Поэтому при повторении мы решили пользоваться различными пособиями по элементарной математике.

В процессе повторения ученики должны последовательно перейти от одного уровня математической деятельности к следующему, более высокому, сделав для себя открытия в этой теме.

Какова мотивация учащихся? Готовиться к выпускным экзаменам и вступительным экзаменам в вузы, расширять и углублять знания по этой теме.

Учащиеся получили творческую работу: подобрать из разных источников такие уравнения, которые выходили бы за рамки традиционных уравнений, предлагаемых в школьных учебниках.

В результате выполнения этой работы мы решили рассмотреть 13 уравнений.

Учащиеся должны были поработать дома с этими уравнениями и выполнить задания.

• Задание №1.Провести классификацию уравнений по методам решения.
• Задание №2. Провести классификацию уравнений по виду.
• Задание №3. Решить уравнения (кто, сколько пожелает на выбор и объединиться в группы по методам решения уравнений).

Урок-семинар (2 часа)

Тема: «Решение уравнений».

• Повторить и расширить сведения об уравнениях и способах их решения;
• Формировать умения выполнять обобщения и конкретизацию, правильно отбирать способы решения уравнений;
• Развивать качества мышления, гибкость, целенаправленность, рациональность, воспитание чувства ответственности за коллектив в процессе творческой работы.

Формы организации познавательной деятельности:

по источнику приобретенных знаний:

по уровню познавательной активности:

1. Организационный момент;
2. Актуализация опорных знаний;
3. Работа в творческих группах;
4. Защита каждой группой своего способа решения уравнений;
5. Зачетная работа;
6. Домашнее задание;
7. Итог урока.

Ход урока

1. Организационный момент: Девиз урока:

Посредством уравнений, теорем
Он уйму разрешал проблем.
И засуху предсказывал, и ливни
Поистине его познанья дивны.
Генрих Госсен.

2. Актуализация опорных знаний:

В результате выполнения первого задания получилась схема классификации уравнений.

Классификация уравнений по виду

При выполнении задания № 2 выяснили, что данные уравнения можно решить:

1. Разложением на множители (№ 1, 2, 4);
2. Заменой переменных (№ 4, 5, 6. 7, 10);
3. Однородные (№ 8,13);
4. Использование свойств функции(№ 3, 9. 11, 12)

3. Работа в творческих группах.

Класс разбивается на четыре группы (в каждой группе 5 учеников).

После того как каждой группе дано задание, идет обсуждение и поиск решения уравнений. Группа решает: какое уравнение, и кто представляет решение у доски для всего класса.

4. Представление и защита своего задания каждой группой.

Представили уравнение Решили методом разложения на множители.

Сгруппировали

Ответ:

Рассуждали так: Если раскрыть скобки получится уравнение 4-ой степени. Нужно найти делители свободного члена, разложить на множители левую часть и найти 4 корня уравнения, но это не рационально.

Предложили решить это уравнение способом замены переменной.

Пусть

Получили уравнение

Решим его как квадратное относительно t. Получим t =4x или t = x. Исходное уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

Ответ: -1; 9;

Представили показательное уравнение, сводящееся к однородному.

.

Перепишем уравнение в виде

Получилось уравнение однородное относительно . Разделим обе части уравнения на

Пусть , причем >0. Получим , откуда

Вернемся к исходной переменной и решим уравнения

Ответ:

Представили уравнение: Это уравнение можно решить вполне стандартным способом. Но мы применили свойство монотонности функции. В левой части уравнения – возрастающая функция, в правой части — убывающая функция. Следовательно, данное уравнение не может иметь более одного корня. Число 5- корень уравнения, что проверяется подстановкой.

5. Зачетная работа:

6 Итог урока.

7. Задание на дом

№ 120 (1; 7;17) №129 (3;4)№130 (1; 3) учебник Алгебра и начала анализа. Н. Я. Виленкин и др.

С зачетной работой справились все 20 учащихся класса.

В результате проделанной работы ученики испытали радость победы над трудностями, преодоленными ими, познали новые (для них) приемы решений уравнений, дали самооценку своей деятельности и убедились, что только кропотливая самостоятельная работа приводит к формированию глубокого познавательного интереса к учебной деятельности.

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Уравнения. Методы решения уравнений.

Уравнения. Методы решения уравнений

Необходимо запомнить

Итак, на уроке мы вспомнили основные методы решения уравнений. Эти методы применимы к различным видам уравнений: алгебраическим, логарифмическим, показательным и тригонометрическим.

Наличие в уравнении повторяющихся элементов позволяет сделать предположение, что в его решении можно применить метод замены переменной. Наличие общих множителей выводит на применение метода разложение на множители. Если же в одной из частей уравнения стоит однородный многочлен, то применяем метод решения однородных уравнений.

Метод решения однородных уравнений

$$64 \cdot <9>^ — 84 \cdot <12>^ +27 \cdot <16>^ = 0$$

Решение уравнений

В этом разделе – все основные способы и приемы решения уравнений на ЕГЭ по математике.

А встретиться вам могут всевозможные уравнения – квадратные, а также уравнения высших степеней. Дробно-рациональные уравнения. Уравнения, содержащие знак корня (иррациональные) или знак модуля. Показательные и логарифмические. И для каждого из этих типов – свои методы и секреты решения.

Десятиклассникам будут особенно полезны темы: «Алгебраические уравнения», «Уравнения с модулем», «Иррациональные уравнения», «Системы алгебраических уравнений».

Запомним главное – что нужно знать при решении уравнений

— Корень уравнения – это такое число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

— Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

— Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают.

— Если в уравнении есть дроби, корни четной степени, логарифмы – значит, не забываем про область допустимых значений (ОДЗ) уравнения.

— Если в уравнении можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.

— Решение уравнения лучше всего оформлять в виде цепочки равносильных переходов.

— Решив уравнение, сделайте проверку. Действительно ли найденные вами ответы являются корнями уравнения?

— Если слева и справа в уравнении находятся функции разных типов – например, квадратичная и показательная, или логарифм и синус, — значит, оно решается или графически, или с использованием свойств этих функций, или методом оценки