Найти решение задачи коши для однородного уравнения

Задача Коши онлайн

Данная задача возникает при поиске частного решения дифференциального уравнения. Наш онлайн калькулятор, построенные на основе системы Wolfram Alpha, позволяет найти решение задачи Коши для различных типов дифференциальных уравнений. Чтобы начать работу, необходимо ввести данные своей задачи (дифференциальное уравнение и начальные условия) в калькулятор.

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения:

при заданных начальных условиях:

При постановке задачи Коши, указываются так называемые начальные условия, позволяющие однозначно выделить искомое частное решение из общего. Эти условия включают в себя значения функции и всех её производных до включительно (где -порядок дифференциального уравнения), заданные в одной и той же точке .

Поясним вышесказанное на конкретном примере. Пусть нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения:

удовлетворяющее начальным условиям:

Первым делом, используя различные методы (Бернули, вариации произвольной постоянной Лагранжа), сначала находим общее решение данного дифференциального уравнения:

Теперь, для поиска частного решения, нам необходимо использовать заданные начальные условия. Для этого, находим производную функции полученной ранее:

Далее, поставляем начальные условия в функцию и её производную :

Решая полученную систему уравнений получаем значения произвольных постоянных и :

Подставляем полученные результаты в общее решение дифференциального уравнения, в результате получаем искомое частное решение:

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

Найти решение задачи коши для однородного уравнения

Рассмотрим пример решения задачи Коши с помощью онлайн калькулятора «Контрольная-работа.Ру».

Внимание! Следуя этому примеру и подробно и внимательно читая вы сможете решить и свою задачу, просто следуя тем же шагам!

Возьмём задачу из контрольной «Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка«:

Для того, чтобы решить данную задачу откройте сервис решения дифференциальных уравнений онлайн

и введите в форму левую часть уравнения y’ — y/x

а в правую часть уравнения: -lnx/x

как на картинке:

Нажимаем кнопку «Решить дифференциальное уравнение!«

Видим ответ для этого дифф. ур-ния:

Но как вы знаете, это ещё не решение задачи Коши, это всего лишь решение дифференциального уравнения.

Теперь по начальным условиям y(1) = 1 надо найти C1.

Для этого воспользуемся сервисом по решению обычных уравнений онлайн

Вобъём в форму обычных уравнений в правую часть уравнения c*x + log(x) + 1, а в левую y

А также укажем, что уравнение с неизвестной c=C1

На рис. всё это видно:

Нажимаем кнопку «Решить уравнение!«

Получаем ответ для C1

Но и это ещё не всё.

Надо указать, что y = 1 и x = 1 (т.к. y(1)=1). Подставляем по той же ссылке как на рис. ниже:

Нажимаем кнопку «Обновить«

И получаем окончательный ответ для C1:

Подставляем это C1 в решение дифф. уравнения и мы получим решение нашей задачи Коши:

Тэги: уравнение

© Контрольная работа РУ — примеры решения задач

Задача Коши для уравнения – решение

О.В. Зимина, А.И. Кириллов, Т.А. Сальникова. Решебник. Высшая математика. Стр. 257-262

11.4. Линейные уравнения 1-го порядка

Постановка задачи. Решить задачу Коши для уравнения

с начальным условием

1. Запишем соответствующее однородное линейное уравнение:

Это уравнение с разделяющимися переменными.

2. Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение однородного уравнения (2)

3. Применяем метод вариации произвольной постоянной:

а) ищем решение неоднородного уравнения (1) в виде (3), считая С неизвестной функцией x, т.е. полагая С = С(x);

б) подставляем в уравнение (1) у и y’, определяемые из соотношения (3), где С = С(х). Из полученного дифференциального уравнения определяем функцию С(х).

4. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (1) получаем в виде

Здесь С(х) содержит произвольную постоянную С0.

5. Используя начальные условия (1′), находим значение С0 и получаем решение поставленной задачи Коши.

Записываем ответ в виде у = φ(х).

1. Ищем решение уравнения (1) в виде

где u и v – неизвестные функции х.

2. Уравнение (1) принимает вид

3. Поскольку теперь мы имеем две неизвестные функции, а уравнение, которому они должны удовлетворять, только одно, то еще одно уравнение мы можем принять произвольно, лишь бы оно не сужало множество решений у.

Пусть одна из функций (например, u(х)) удовлетворяет уравнению

Тогда уравнение (5) примет вид

Решая уравнение (6) (с разделяющимися переменными), находим u, не равное тождественно нулю, чтобы не сужать множество решений у.

4. Подставляем u(х) в уравнение (7) и решаем его относительно v.

5. Записываем общее решение уравнения в виде у(х) = u(x)v(x).

6. Используя начальные условия (1′), получаем решение поставленной задачи Коши.

Записываем ответ в виде у = φ(х).

Пример. Найти решение задачи Коши для уравнения

с начальным условием

1. Записываем соответствующее однородное линейное уравнение:

Это уравнение с разделяющимися переменными.

2. Разделяя переменные и интегрируя, получаем общее решение однородного уравнения

3. Применяем метод вариации произвольной постоянной:

а) ищем решение неоднородного уравнения (8) в виде

где С(х) – неизвестная функция х;

б) подставляя в уравнение (8)

получаем дифференциальное уравнение относительно С(х)

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные

и интегрируя, получаем

где С0 – произвольная постоянная.

4. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (8) имеет вид

5. Используя начальное условие у(1) = 1, получаем

находим С0 = 0 и подставляем в общее решение (9). Ответ, у = 1/х.

1. Ищем решение уравнения (8) в виде

где u и v – неизвестные функции х.

2. Уравнение (8) принимает вид

3. Поскольку теперь мы имеем две неизвестные функции, а уравнение, которому они должны удовлетворять, только одно, то еще одно уравнение мы можем принять произвольно, лишь бы оно не сужало множество решений у.

Пусть одна из функций (например, u(х)) удовлетворяет уравнению

Тогда уравнение (10) принимает вид

Решая уравнение (11) (с разделяющимися переменными), находим

где А – произвольная постоянная (А ≠ 0, чтобы не сужать множество решений).

4. Подставляем u(х) в уравнение (12) и решаем его относительно v:

где В – произвольная постоянная.

5. Записываем общее решение уравнения (8) в виде

где С = АВ – произвольная постоянная.

6. Используя начальное условие у(1) = 1, находим С = 0.

Условия задач. Найти решения задач Коши для дифференциальных уравнений.

.

Уравнения	Начальные условия	Ответы
1.	ху’ + у – е х = 0	у(0) = 1
2.		у(0) = 0
3.	у’ cos² x + у = tg x	у(0) = 0		у = e – tg x + tg x – 1
4.	у’ – y th x = ch² х	у(0) = 0		y = ch x sh x
5.
6.	у’ sin х – у cos х = 1			y = – cos x
7.	y’ – y tg x = cos x	у(0) = 0
8.	y’ – 2xy = 3х 2 – 2x 4	у(0) = 0		у = x 3
9.	xy’ – 2y = 2x 4	у(1) = 0		у = x 4 – x 2
10.	у’ + у cos x = e sin x	у(0) = 0		у = x e – sin x

О.В. Зимина, А.И. Кириллов, Т.А. Сальникова. Решебник. Высшая математика. Стр. 257-262