Найти с помощью резольвенты решение интегрального уравнения

Решения интегральных уравнений онлайн

В этом разделе мы рассмотрим типовые задачи по интегральным уравнениям с решениями. Интегральное уравнение содержит неизвестную функцию под знаком интеграла (по аналогии как дифференциальное — функцию под знаком дифференциала:)).

Выделяют два основных класса интегральных уравнений: уравнения Фредгольма I и II рода:

$$ (I) \quad \int_a^b K(x,s)u(s)ds = f(x),\\ (II) \quad u(x)=\int_a^b K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

В случае переменного верхнего предела интегрирования получаем соответственно уравнение Вольтерра I и II рода:

$$ (I) \quad \int_a^x K(x,s)u(s)ds = f(x),\\ (II) \quad u(x)=\int_a^x K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

Это линейные неоднородные уравнения (при $f(x)=0$ — однородные), иногда рассматриваются более общий случай с параметром $\lambda$ перед интегралом.

Ниже вы найдете примеры нахождения решений интегральных уравнений, собственных значений и функций, исследования ядра, применения интегральных уравнений для решения других задач.

Примеры решений интегральных уравнений

Задача 1. Пользуясь теоремой Гильберта-Шмидта, исследовать и решить интегральное уравнение 2-го рода $(E+\lambda A)x=y$ в гильбертовом пространстве $X$.

Задача 2. Найти собственные значения и собственные функции уравнения:

$$ y(x)=\lambda \int_0^1 (\cos 2\pi x +2x \sin 2\pi t +t \sin \pi x)y(t)dt. $$

Задача 3. Решить уравнение Вольтерры, сведя его к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 4. Решить или установить неразрешимость уравнений с вырожденным ядром.

Задача 5. Решить интегральное уравнение, сведя его предварительно к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 6. Найти резольвенту для интегрального уравнения Вольтерры со следующим ядром $K(x,t)=x^<1/3>t^<2/3>$.

Задача 7. Исследовать решения уравнения с вырожденным ядром при различных значениях параметра $\lambda$ (ограничиться случаем вещественных характеристических чисел).

$$ y(x)-\lambda \int_0^1 x y(t)dt = \sin 2\pi x. $$

Задача 8. Для симметричного ядра $$K(x,t) = \frac<1> <2>\sin |x-t| \quad (0 \le, x,t \le \pi)$$ найти характеристические числа и соответствующие им собственные функции, сводя интегральное уравнение к однородной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения.

Задача 9. Решить краевую задачу, используя функцию Грина

Задача 10. Применяя преобразование Лапласа, решить интегральное уравнение

Помощь с интегральными уравнениями

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по интегральным уравнениям (и другим разделам математического и функционального анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 200 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Решение интегральных уравнений с помощьюрезольвент простейших дифференциальных операторов Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Хромов А. А.

Построены семейства операторов для приближенного решения интегральных уравнений с неограниченными обратными операторами в случае, когда правые части уравнений заданы их среднеквадратичными приближениями.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Хромов А. А.

Solution of Integral Equations via Resolvents of Simplest Differential Operators

Families of operators for approximate solution of integral equations with unbounded inverse operators and right parts of equations specified by the root-mean-square approximations are constructed.

Текст научной работы на тему «Решение интегральных уравнений с помощьюрезольвент простейших дифференциальных операторов»

РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЕЗОЛЬВЕНТ ПРОСТЕЙШИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Саратовский государственный университет, кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики E-mail: KhromovAA@info.sgu.ru

Построены семейства операторов для приближенного решения интегральных уравнений с неограниченными обратными операторами в случае, когда правые части уравнений заданы их среднеквадратичными приближениями.

Ключевые слова: интегральное уравнение, неограниченный обратный оператор, приближенное решение, резольвента.

Solution of Integral Equations via Resolvents of Simplest Differential Operators

Families of operators for approximate solution of integral equations with unbounded inverse operators and right parts of equations specified by the root-mean-square approximations are constructed.

Key words: integral equation, unbounded inverse operator, approximate solution, resolvent.

Целый ряд задач, связанных с вопросами сходимости, оценок погрешности приближенных решений уравнений первого рода приводит к исследованию семейств операторов, аппроксимирующих точное решение [1]. Указанные операторы (по крайней мере, для известных методов регуляризации [2,

3]), в свою очередь, выражаются через резольвенты достаточно сложных неограниченных операторов, что создает значительные трудности при их исследовании. В настоящей работе изначально рассматриваются простейшие дифференциальные операторы и на их базе строятся семейства регуляризирующих операторов достаточно простой конструкции. При этом, кроме классических интегральных уравнений первого рода, рассматриваются уравнения, имеющие структуру уравнений второго рода, но в ситуации, когда обратный оператор является неограниченным.

1. Рассмотрим уравнение

Au = u(x) — (x,t)u(t)dt = f (x), (1)

где x e [0,1], ядро K(x,t) непрерывно по x и t, f(x) задана ее 5-приближением f (x) : ||f — f ||La 0, ue(x) = 0 при xe(x0 — e,x0 + e), где x0 e (0,1), e > 0 и достаточно мало. Обозначим fe = Aue. Тогда утверждение леммы следует из оценок

Определитель системы имеет вид

1 — Лац —Л«12 ■ ■ ■ —Л«1Г

— Лап1 — Лап2 ■ ■ ■ 1 — Лапп

А(Л) = 0, поскольку А-1 существует.

Обозначим через 7^ — алгебраическое дополнение элемента, стоящего в ]-й строке, г-м столбце определителя А(Л), взятое с противоположным знаком.

Тогда из (6),(7) получим:

При этом справедлива оценка:

Тг / I ад* е [0,1/2], (8)

Тг1/ = АТЛ) ^ ) J ег(х г)^г(^)^^ + ^ ег(х 1)/(9)

Тг2/ отличается от Тг1/ заменой интегралов в правой части (9) интегралами /е_г(х_^удг(£)^£ и

Таким образом, доказана

Теорема 2. Если в уравнении (1) ядро К(*, £) вырожденное, то операторы Тг имеют вид (8).

2. Рассмотрим уравнение Вольтерра первого рода:

где А е (С[0,1] ^ Ь2 [0,1]).

а) Пусть сначала А(ж,£) = 1. Очевидно, в этом случае А_1/ = /’, /(0) = 0.

Если мы, как в разд. 1, построим семейство операторов ИгА_1, то при интегрировании по частям придем к выражениям:

Иг А_1 / = Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

N (х, £,г) = х, х Є [0,1/2],

Тгі/ = П2і/’ — г2е-г(1-х> (1 — х)/(1) + И?! (Л/’) = Т° / + П?!(Л/’),

Тг2 / = и22 /’ + И22(Л/’) = Т°2/ + И° 2(Л/’).

Обозначим Тг«/ = ИГ )(Л/’), где N7′ = /N(*, Ь)/(Ь)^Ь. Беря последний интеграл по частям и

учитывая, что N(*,*) = 0, /(0) = 0, получаем:

(Л/’) = —г2 1(1 — х)е г(і х) / Лт(£,т)/(т)^т^£.

Меняя порядок интегрирования, а затем меняя ролями £ и т, приходим к выражению Тг^/ в лемме при х Є [0,1/2]. Аналогично получаем выражение ТгN/ для отрезка [1/2,1].

Теорема 5. Для операторов Тг справедлива теорема 4 с заменой Т°° на Тг.

Доказательство. Для операторов ТГА справедливы выражения (15) с заменой J и(£)^£ на

/ А(1, £)и(£)^£. Значит, будет справедлива и теорема 3 с заменой ТГ°А на ТГА. о

Далее, для норм ||Т^справедлива оценка: ||Т^||ь2= О(г). Действительно, обозначим

Из леммы 7 имеем:

ІТг(А)/ II с [о, 1 /2] 0> функции Ф(г) по заданному краевому условию:

а(Ь)КеФ(Ь) — Ь(Ь)1шФ(Ь)= с(Ь). (1)

Ситуация, когда коэффициенты краевого условия а(Ь), Ь(Ь) непрерывны на вещественной оси всюду, кроме конечного множества точек разрыва первого рода, изучалась в работах [1, с. 467; 2, с. 302; 3;

4]. Задача Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов впервые исследовалась Р.Б. Салимовым и П.Л. Шабалиным в работе [5, с. 108]. В статье [6] эта задача изучена в случаях, когда ряд, составленный из скачков в точках разрыва коэффициентов функции V(Ь) = ащС(Ь), С(Ь) = а(Ь) — гЬ(Ь), сходится, и индекс задачи конечен, либо указанный ряд расходится, и индекс обращается в плюс бесконечность. В данной статье эта задача рассмотрена в еще не изученном случае, когда коэффициенты имеют счетное множество точек разрыва первого рода, причем указанный ряд расходится, но индекс задачи конечен.

Случай бесконечного множества точек разрыва коэффициента краевой задачи Римана ранее изучался М.И. Журавлевой в работах [7, 8], в которых допускается обращение коэффициента краевого условия в нуль или в бесконечность целого порядка в бесконечном множестве точек. Такие особенности коэффициента не характерны для задачи Гильберта. Потому использование результатов М.И. Журавлевой для решения задачи Гильберта со счетным множеством точек разрыва первого рода коэффициентов методом Н.И. Мусхелишвили не выглядит перспективным, так как требует особого нетривиального рассмотрения.

Рассмотрим задачу об определении аналитической в верхней полуплоскости Б функции Ф(г) по краевому условию (1), которое выполняется на вещественной оси Ь всюду, кроме сгущающейся на