Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Метод Гаусса, матричный метод, метод Крамера, исследование на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определение количества решений, нахождение нормальной фундаментальной системы решений.
С помощью данной математической программы вы можете решить и исследовать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Ввод дробного числа в виде десятичной дроби.
При вводе десятичной дроби, целую часть от дробной части можно отделять точкой или запятой :
Ввод: -2.34
Результат: \( -2<,>34 \)
Ввод: -1,15
Результат: \( -1<,>15 \)
Ввод дробного числа в виде обыкновенной дроби.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: $$ -\frac<2> <3>$$
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 5&8/3
Результат: $$ 5\frac<8> <3>$$
Помните, что на ноль делить нельзя!
RND CFracNum Fill RND int Fill Start MathJax
Сюда ввести строку с GET параметрами :
Немного теории.
Системы линейных алгебраических уравнений
Основные определения
Система \(m\) линейных алгебраических уравнений с \(n\) неизвестными (сокращенно СЛАУ) представляет собой систему вида
\( \left\< \begin
Уравнения системы называют алгебраическими потому, что левая часть каждого из них есть многочлен от \(n\) переменных \( x_1 , \ldots x_n \), а линейными потому, что эти многочлены имеют первую степень.
Числа \(a_
СЛАУ называют однородной, если \( b_1 = b_2 = \ldots = b_m = 0 \). Иначе её называют неоднородной.
Решением СЛАУ, да и вообще всякой системы уравнений, называют такой набор значений неизвестных \( x_1^\circ, \ldots , x_n^\circ \), при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Любое конкретное решение СЛАУ также называют её частным решением.
Решить СЛАУ — значит решить две задачи:
— выяснить, имеет ли СЛАУ решения;
— найти все решения, если они существуют.
СЛАУ называют совместной, если она имеет какие-либо решения. В противном случае её называют несовместной. Однородная СЛАУ всегда совместна, поскольку нулевой набор значений её неизвестных всегда является решением.
Если СЛАУ (1) имеет решение, и притом единственное, то её называют определенной, а если решение неединственное — то неопределенной. При \(m=n\), т.е. когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадратной.
Формы записи СЛАУ
Кроме координатной формы (1) записи СЛАУ часто используют и другие её представления.
Рассматривая коэффициенты \(a_
\( \begin
или, обозначая столбцы соответственно \( a_1 , \ldots , a_n , b \),
\( x_1 a_1 + x_2 a_2 + \ldots + x_n a_n = b \tag <2>\)
Таким образом, решение СЛАУ (1) можно трактовать как представление столбца \(b\) в виде линейной комбинации столбцов \( a_1, \ldots, a_n \). Соотношение (2) называют векторной записью СЛАУ.
Поскольку \(A \;,\; X\) и \(B\) являются матрицами, то запись СЛАУ (1) в виде \(AX=B\) называют матричной. Если \(B=0\), то СЛАУ является однородной и в матричной записи имеет вид \(AX=0\).
Приведенные рассуждения показывают, что задачи :
а) решения СЛАУ (1)
б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов
в) решения матричных уравнений вида \(AX=B\)
являются просто различной формой записи одной и той же задачи.
Критерий совместности СЛАУ
«Триединство» форм записи СЛАУ позволяет легко получить критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл это понятие имеет для неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны).
Матрицу
\( A = \begin
называют матрицей (коэффициентов) СЛАУ (1), а матрицу
\( (A|B) = \left( \begin
расширенной матрицей СЛАУ (1). Расширенная матрица полностью характеризует СЛАУ. Это означает, что по этой матрице однозначно (если сохранить обозначения для неизвестных) восстанавливается сама СЛАУ.
Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности СЛАУ \(AX=B\) необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы \(A\) был равен рангу её расширенной матрицы \( (A|B) \).
Формулы Крамера
Теорема. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется по формулам Крамера :
$$ x_i = \frac<\Delta_i> <|A|>\;,\quad i=\overline <1,n>\tag <3>$$
где \(\Delta_i\) — определитель матрицы, получающейся из матрицы \(A\) заменой \(i\)-го столбца на столбец свободных членов.
Следствие. Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.
Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится использовать другие методы нахождения решений.
Однородные системы
Теорема. Если столбцы \( X^<(1)>, X^<(2)>, \ldots , X^ <(s)>\) — решения однородной СЛАУ \(AX=0\), то любая их линейная комбинация также является решением этой системы.
Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.
Естественно попытаться найти такие решения \( X^<(1)>, \ldots , X^ <(s)>\) системы \(AX=0\), чтобы любое другое решение этой системы представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом. Оказывается, что это всегда возможно и приводит к следующему определению.
Определение. Любой набор из \(k=n-r\) линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ \(AX=0\), где \(n\) — количество неизвестных в системе, а \(r\) — ранг её матрицы \(A\), называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.
При исследовании и решении однородных систем линейных алгебраических уравнений будем использовать следующую терминологию. Если в матрице \(A\) однородной СЛАУ \(AX=0\) фиксировать базисный минор, то ему соответствуют базисные столбцы и, следовательно, набор неизвестных, отвечающих этим столбцам. Указанные неизвестные называют базисными, или зависимыми, а остальные неизвестные — свободными, или независимыми.
Теорема. Пусть дана однородная СЛАУ \(AX=0\) с \(n\) неизвестными и \( \text
Если в фундаментальной системе решений все значения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице, то такую систему решений называют фундаментальной нормальной системой решений.
Следствие. С помощью нормальной фундаментальной системы решений однородной СЛАУ множество всех решений можно описать формулой :
$$ X = c_1X^ <(1)>+ \ldots + c_kX^ <(k)>$$
где постоянные \( c_i \;, \quad i=\overline <1,k>\), принимают произвольные значения.
Следствие. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы её матрица была вырождена.
Неоднородные системы
Рассмотрим произвольную СЛАУ \(AX=B\). Заменив столбец \(B\) свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ \(AX=0\), соответствующую неоднородной СЛАУ \(AX=B\). Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ.
Теорема. Пусть столбец \(X^\circ\) — некоторое решение СЛАУ \(AX=B\). Произвольный столбец \(X\) является решением этой СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представление \(X = X^\circ + Y \), где \(Y\) — решение соответствующей однородной СЛАУ \(AY=0\).
Следствие. Пусть \(X’\) и \(X»\) — решения неоднородной системы \(AX=B\). Тогда их разность \( Y = X’ — X» \) является решением соответствующей однородной системы \(AY=0\).
Эта теорема сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описать все решения неоднородной СЛАУ, достаточно энать одно её решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ.
Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме Кронекера-Капелли), а во-вторых, найти частное решение \(X^\circ\) этой системы, чтобы свести её к однородной системе.
Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Пусть \(X^\circ\) — частное решение СЛАУ \(AX=B\) и известна фундаментальная система решений \( X^<(1)>, \ldots , X^ <(k)>\) соответствующей однородной системы \(AX=0\). Тогда любое решение СЛАУ \(AX=B\) можно представить в виде $$ X = X^\circ + c_1 X^ <(1)>+ c_2 X^ <(2)>+ \ldots + c_k X^ <(k)>$$
где \( c_i \in \mathbb
Эту формулу называют общим решением СЛАУ.
Найти систему счисления из уравнения
№1. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 18 записывается в виде 30. Укажите это основание.
Составим уравнение: где n — основание этой системы счисления. Исходя из уравнения, n =6
№2. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 49 записывается в виде 100. Укажите это основание.
где n — основание этой системы счисления. Исходя из уравнения, n =7
№3. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 144 записывается в виде 264. Укажите это основание.
Запишем формулу преобразования числа, записанного в n системе счисления как 264 в десятичное число 144.
Решим это квадратное уравнение. Его корни: 7, -10. Так как основанием системы счисления не может быть отрицательное число, ответ — 7.
№4. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 25 записывается как 100. Найдите это основание.
где n — основание этой системы счисления. Исходя из уравнения, n =5
№5. В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается в виде 110. Укажите это основание.
Составим уравнение: где n — основание этой системы счисления. Исходя из уравнения, n =3
№6. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 27 записывается в виде 30. Укажите это основание.
Составим уравнение: где n — основание этой системы счисления. Исходя из уравнения, n =9
№7. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 13 записывается в виде 111. Укажите это основание.
Составим уравнение: 111n = 1 · n 2 + 1 · n 1 + 1 · n 0 = 1310, где n— основание этой системы счисления. Уравнениеn 2 + n − 12 = 0 имеет два корня: 3 и −4. Таким образом, основание системы счисления — 3.
№8. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 57 записывается как 111. Укажите это основание.
Составим уравнение: 111n = 1 · n 2 + 1 · n 1 + 1 · n 0 = 5710, где n — основание этой системы счисления. Уравнениеn 2 + n − 56 = 0 имеет два корня: 7 и −8. Таким образом, основание системы счисления — 7.
№9. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 12 записывается как 110. Укажите это основание.
Составим уравнение: 110n = 1 · n 2 + 1 · n 1 + 0 · n 0 = 1210, где n— основание этой системы счисления. Уравнениеn 2 + n − 12 = 0 имеет два корня: −4 и 3. Таким образом, основание искомой системы счисления — 3.
№10. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 15 записывается в виде 30. Укажите это основание.
Составим уравнение: 30n = 3 · n 1 + 0 · n 0 = 1510, где n— основание этой системы счисления. Откуда n = 5.
Уравнения и различные системы счисления
№1. Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 10, 11, 12, …, 17 в системе счисления с основанием 5.
Запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 5:
Всего цифра «2» встречается 7 раз.
Ответ запишите в троичной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно).
Основание системы счисления равно 610 = 203.
№3. Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: 4 2020 + 2 2017 – 15?
Число 2 4040 в двоичной записи записывается как единица и 4040 нулей. Добавив число 2 2017 , получаем 100. 00100. 000 (единица, 2022 нулей, единица, 2017 нулей, всего 4040 разрядных цифр). Если вычесть из этого числа 2 4 = 100002 и прибавить 2 0 , то число примет вид 100. 001. 10001. В полученном числе единица, 2023 нуля, 2013 единиц, три нуля и одна единица. Значит, всего в числе 2015 единиц.
№4. Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: 4 2018 + 2 2018 – 32?
Число 2 4036 в двоичной записи записывается как единица и 4036 нулей. Добавив число 2 2018 , получаем 100. 00100. 000 (единица, 2018 нулей, единица, 2018 нулей, всего 4037 разрядных цифр). Если вычесть из этого числа 2 5 = 1000002, то число примет вид 100. 001. 100000. В полученном числе единица, 2019 нулей, 2013 единиц и пять нулей. Значит, всего в числе 2014 единиц.
Корни квадратного уравнения: 8 и −10. Следовательно, основание системы счисления равно 8.
№6. Укажите, сколько всего раз встречается цифра 3 в записи чисел 19, 20, 21, …, 33 в системе счисления с основанием 6.
Запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 6:
Запишем по порядку числа, в записи которых встречается цифра 3, от до : 316, 326, 336, 346, 356, 436, 536. Всего цифра «3» встречается 8 раз.
№7. Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 13, 14, 15, …, 23 в системе счисления с основанием 3.
Запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 3:
Запишем все числа из заданного диапазона, содержащие цифру «2»: 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 210, 211, 212. Итого 2 встречается 13 раз.
№8. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 30, запись которых в системе счисления с основанием 5 начинается на 3?
Сначала определим запись числа 29 в пятеричной системе. . Выпишем числа, меньшие запись которых в пятеричной системе начинается на 3: 3, 30, 31, 32, 33, 34.
Переведем их в десятичную систему счисления. , , , , ,
№9. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные натуральные числа, не превосходящие 17, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на две одинаковые цифры?
Так как число в системе счисления с основанием 3 кончается на f , то искомое число в десятичной системе счисления при делении на 3 должно давать остаток f (т. Е x =3 y + f . у — любое целое неотрицательное число, x — искомое число) и частное от этого деления также должно давать остаток f при делении на 3 (т. е. y =3 z + f , z — любое целое неотрицательное число). Следовательно, x=9z+4f .
Подбирая f и z , найдем все натуральные решения этого уравнения, не превосходящие 17.
1. При f =1, z =0 x =4;
2. При f = 2, z =0 x =8;
3. При f = =0, z =1 x =9;
4. При f = 1, z =1 x =13;
5. При f = 2, z =1 x =17;
6. При f = 1, z =2 x =22.
Заметим, что в последнем варианте искомое число больше 17, значит, мы заканчиваем пересчет на предыдущем.
№10. Чему равно наименьшее основание позиционной системы счисления x, при котором 225x = 405y?
Ответ записать в виде целого числа.
Поскольку в левой и в правой частях есть цифра 5, оба основания больше 5, то есть перебор имеет смысл начинать с
Для каждого x вычисляем значение и решаем уравнение , причем нас интересуют только натуральные y >5
Для x =6 и x =7 нужных решений нет, а для x =8 получаем так что у=6
Решение систем уравнений онлайн
Рассмотрим систему из двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными:
Перепишем уравнения системы в следующем виде:
Тогда, первое уравнение системы представляет собой эллипс с большой полуосью равной 2 и малой полуосью равной . Второе уравнение системы — это прямая линия с тангесом угла наклона равным и величиной отрезка, отсекаемого на оси Oy равной
Изобразим вышесказанное на схематичном графике:
Точки пересечения прямой с эллипсом M 1 ( x 1, y 1 ) и M 2 ( x 2, y 2 ) являются решениями исходной системы уравнений. Поскольку прямая пересекает эллипс только в двух указанных выше точках, других решений нет.
Только что мы рассмотрели так называемый графический метод решения систем уравнений, который хорошо подходит для решения системы из двух уравнений с двумя неизвестными. При большем количестве неизвестных, решениями будут точки в многомерном пространстве, что существенно усложняет задачу.
Если для решения исходной системы использовать более универсальный метод подстановки, мы получим следующий результат:
http://www.sites.google.com/site/reseniezadanijinformatikipoege/home/zadanie-16
http://mathforyou.net/online/equation/system/