Найти систему уравнений ортогонального дополнения

Ортогональные дополнения евклидова пространства

Ортогональным дополнением непустого подмножества [math]M[/math] евклидова пространства [math]\mathbb[/math] называется множество векторов, ортогональных каждому вектору из [math]M[/math] . Ортогональное дополнение обозначается

\forall \mathbf\in M \Bigr\>.[/math]

Рассмотрим примеры ортогональных дополнений евклидова пространства.

1. Ортогональным дополнением нулевого подпространства [math]\ <\mathbf\> \triangleleft \mathbb[/math] служит все пространство [math]\mathbb \colon\, \ <\mathbf\>^<\perp>= \mathbb[/math] . Ортогональным дополнением всего пространства является его нулевое подпространство [math]\mathbb^<\perp>= \ <\mathbf\>[/math] .

2. Пусть в пространстве [math][/math] радиус-векторов (с началом в точке [math]O[/math] ) за даны три взаимно перпендикулярных радиус-вектора [math]\overrightarrow[/math] , [math]\overrightarrow[/math] и [math]\overrightarrow< OC >[/math] . Тогда ортогональным дополнением вектора [math]\overrightarrow[/math] является множество радиус- векторов на плоскости, содержащей векторы [math]\overrightarrow< OB >[/math] и [math]\overrightarrow< OC >[/math] , точнее, [math]\<\overrightarrow\>^<\perp>= \operatorname(\overrightarrow,\overrightarrow)[/math] . Ортогональным дополнением векторов [math]\overrightarrow[/math] и [math]\overrightarrow[/math] служит множество радиус-векторов на прямой, содержащей вектор [math]\overrightarrow\colon \<\overrightarrow,\overrightarrow\>^<\perp>= \operatorname (\overrightarrow)[/math] . Ортогональным дополнение трех заданных векторов служит нулевой радиус-вектор: [math]\<\overrightarrow, \overrightarrow, \overrightarrow\>^<\perp>= \<\overrightarrow\>[/math] .

3. В пространстве [math]P_2(\mathbb)[/math] многочленов степени не выше второй со скалярным произведением (8.29) задано подмножество [math]P_0(\mathbb)[/math] — многочленов нулевой степени. Найдем ортогональное дополнение этого подмножества. Для этого приравняем нулю скалярное произведение многочлена [math]p_2(x)=ax^2+bx+c[/math] на постоянный многочлен [math]p_0(x)=d\colon[/math] [math]\langle p_2(x),p_0(x)\rangle= a\cdot0+b\cdot0+c\cdot d=0[/math] . Поскольку величина [math]d[/math] произвольная, то [math]c=0[/math] . Следовательно, ортогональным дополнением подмножества [math]P_0(\mathbb)[/math] является множество многочленов из [math]P_0(\mathbb)[/math] с нулевым свободным членом.

Свойства ортогонального дополнения

Рассмотрим свойства ортогональных дополнений подмножеств n-мерного евклидова пространства [math]\mathbb[/math] .

1. Ортогональное дополнение [math]M^<\perp>[/math] непустого подмножества [math]M\subset \mathbb[/math] является линейным подпространством, т.е. [math]M^ <\perp>\triangleleft \mathbb[/math] , и справедливо включение [math]M\subset (M^<\perp>)^<\perp>[/math] .

В самом деле, множество [math]M^<\perp>[/math] замкнуто по отношению к операциям сложения векторов и умножения вектора на число, так как сумма двух век торов, ортогональных [math]M[/math] , ортогональна [math]M[/math] , и произведение вектора, ортогонального [math]M[/math] , на любое число является вектором, ортогональным [math]M[/math] . До кажем включение [math]M\subset (M^<\perp>)^<\perp>[/math] . Пусть [math]\mathbf\in M[/math] , тогда [math]\langle \mathbf,\mathbf\rangle=0[/math] для любого вектора [math]\mathbf\in M^<\perp>[/math] . Но это означает, что [math]\mathbf\subset (M^<\perp>)^<\perp>[/math] .

2. Пересечение любого непустого подмножества [math]M\subset \mathbb[/math] со своим ортогональным дополнением есть нулевой вектор: [math]M\cap M^<\perp>= \<\mathbf\>[/math] .

Действительно, только нулевой вектор ортогонален самому себе.

3. Если [math]L[/math] — подпространство [math]\mathbb

(L\triangleleft \mathbb)[/math] , то [math]\mathbb=L\oplus L^<\perp>[/math] .

Действительно, возьмем в [math]L[/math] ортогональный базис [math](\mathbf)= (\mathbf_1, \ldots,\mathbf_k)[/math] . До полним его векторами [math](\mathbf)= (\mathbf_,\ldots, \mathbf_n)[/math] до ортогонального базиса [math](\mathbf),\,(\mathbf)[/math] всего пространства [math]\mathbb[/math] . Тогда произвольный вектор [math]\mathbf\in \mathbb[/math] можно представить в виде суммы

где [math]\mathbf\in L[/math] , а [math]\mathbf\in L^<\perp>[/math] , так как [math]\langle \mathbf,\mathbf_i\rangle= \sum_^\mathbf\langle \mathbf_j, \mathbf_i \rangle_<<>_<=0>>=0[/math] для [math]i=1,\ldots,k[/math] . Следовательно, любой вектор пространства [math]\mathbb[/math] раскладывается по подпространствам [math]L[/math] и [math]L^<\perp>[/math] , т.е. [math]\mathbb= L+L^<\perp>[/math] . Эта алгебраическая сумма является прямой суммой по свойству 2, поскольку [math]L\cap L^<\perp>=\<\mathbf\>[/math] . Следовательно, [math]\mathbb=L\oplus L^<\perp>[/math] .

4. Если [math]L\triangleleft \mathbb[/math] , то [math]\dim>= \dim\mathbb-\dim[/math] .

5. Если [math]L[/math] — подпространство [math]\mathbb[/math] , то [math]L=(L^<\perp>)^<\perp>[/math] .

Из первого свойства следует включение [math]L\subset(L^<\perp>)^<\perp>[/math] . Докажем, что [math](L^<\perp>)^<\perp>\subset L[/math] . Действительно, пусть [math]\mathbf\in (L^<\perp>)^<\perp>[/math] . По свойству 3: [math]\mathbf=\mathbf+\mathbf[/math] , где [math]\mathbf\in L,

\mathbf\in L^<\perp>[/math] . Найдем скалярное произведение

Следовательно, [math]\langle \mathbf,\mathbf\rangle=0[/math] , и согласно аксиоме 4 скалярного произведения [math]\mathbf=\mathbf[/math] , поэтому [math]\mathbf=\mathbf+ \mathbf= \mathbf+\mathbf<0>=\mathbf\in L[/math] . Значит, [math](L^<\perp>)^<\perp>\subset L[/math] . Из двух включений [math]L\subset (L^<\perp>)^<\perp>[/math] и [math](L^<\perp>)^ <\perp>\subset L[/math] следует равенство [math]L=(L^<\perp>)^<\perp>[/math] .

6. Если [math]L_1\triangleleft \mathbb[/math] и [math]L_2\triangleleft \mathbb[/math] , то [math](L_1+L_2)^<\perp>=L_1^<\perp>\cap L_2^<\perp>[/math] и [math](L_1\cap L_2)^<\perp>= L_1^<\perp>+ L_2^<\perp>[/math] .

Последние свойства аналогичны свойствам алгебраических дополнений.

Нахождение ортогонального дополнения подпространства

Ранее для описания подпространств линейных пространств использовались два способа описания (внешний и внутренний). Рассмотрим применение этих способов описания для нахождения ортогональных дополнений подпространств. Учитывая изоморфизм евклидовых пространств, будем рассматривать арифметическое пространство [math]\mathbb^n[/math] со скалярным произведением (8.27).

Для заданного подпространства [math]L\triangleleft \mathbb^n[/math] требуется найти его ортогональное дополнение [math]L^<\perp>[/math] . В зависимости от способа описания подпространства [math]L[/math] используем одно из следующих двух утверждений.

1. Если подпространство [math]L\triangleleft \mathbb^n[/math] задано как линейная оболочка [math]L=\operatorname(a_1,\ldots,a_k)[/math] столбцов матрицы [math]A= \begina_1&\cdots&a_k\end[/math] , то множество решений однородной системы [math]Ax=o[/math] является его ортогональным дополнением [math]L^<\perp>\triangleleft \mathbb^n[/math] , т.е.

2. Если подпространство [math]L\triangleleft \mathbb^n[/math] задано как множество решений однородной системы [math]Ax=o[/math] [math]m[/math] уравнений с [math]n[/math] неизвестными, то линейная оболочка столбцов [math]a_1^T,\ldots,a_m^T[/math] транспонированной матрицы [math]A^T=\begina_1^T&\cdots&a_m^T\end[/math] является его ортогональным дополнением [math]L^<\perp>\triangleleft \mathbb^n[/math] , т.е.

где [math]a_i^T[/math] — i-й столбец матрицы [math]A^T[/math] .

Докажем, например, первое утверждение. Линейное однородное уравнение

1. В отличие от алгебраического дополнения [math]L^<+>[/math] подпространстве [math]L\triangleleft \mathbb[/math] ортогональное дополнение [math]L^<\perp>[/math] находится однозначно.

2. Ортогональное дополнение [math]L^<\perp>[/math] подпространства [math]L\triangleleft \mathbb[/math] в силу свойства 3 является также и алгебраическим дополнением. Это обстоятельстве учитывалось при нахождении алгебраических дополнений при помощи утверждений (8.16) и (8.17), которые по существу совпадают с утверждениями (8.34) и (8.35).

Пример 8.19. В примере 8.10 для линейного подпространства [math]L= \operatorname[(t-1)^2,(t+1)^3][/math] пространства [math]P_3(\mathbb)[/math] многочленов не более, чем 3-й степени, было найдено алгебраическое дополнение

Доказать, что это алгебраическое дополнение является ортогональным дополнением подпространства [math]L[/math] евклидова пространства [math]P_3(\mathbb)[/math] со скалярным произведением (8.29).

Решение. Для решения задачи достаточно показать, что образующие подпространства [math]L:[/math]

ортогональны образующим алгебраического дополнения [math]L^<+>:[/math]

Учебное пособие: Методические указания для студентов 1 курса Одесса 2008

Одесский национальный университет им. И. И. Мечникова

Институт математики, экономики и механики

( решение типовых задач)

Методические указания для студентов 1 курса

Составители: д-р ф-м н., проф. Варбанец П.Д.,

к-т ф-м н., доц. Савастру О.В.

Рецензенты: д-р ф-м н., проф. Евтухов В.М.,

к-т ф-м н., доц. Белозеров Г.С.

Рекомендовано к печати

Ученым советом ИМЭМ Одесского национального университета им. И. И. Мечникова

протокол № 1 от 5 февраля 2008 г.

1. Линейные пространства …………………………………. 5

1.1. Линейные пространства и подпространства………….5

1.2. Базис пространства, его размерность…………………6

1.3. Координаты вектора в данном базисе…………….…11

1.4. Сумма и пересечение подпространств………………12

2. Евклидовы и унитарные пространства ………….…. 17

2.1. Процесс ортогонализации Шмидта………………….17

2.3. Ортогональная проекция и перпендикуляр на подпространство……………………………………………………..20

3. Операторы в линейных пространствах……………. 23

3.1. Образ, ядро линейного оператора……………………28

3.2. Матрица линейного оператора в данных базисах…..29

3.3. Собственные векторы и собственные значения..…. 31

3.4. Канонический корневой базис и жорданова нормальная форма…………………………………………………….34

4. Операторы в евклидовых и унитарных пространствах..40

5. Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду…………………………………………………………. 45

Линейные пространства и линейные операторы представляют собой начало абстрактной части математики, с которой студенту в дальнейшем неоднократно придется иметь дело.

Эти методические указания по самостоятельной работе студентов предполагают использование следующего задачника:

И.В.Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М., Наука, 1974.

В дальнейшем мы будем придерживаться следующих обозначений (если в тексте нет специальной оговорки):

¾ — произвольные пространства над некоторым полем ;

¾ — пространство — мерных строк (столбцов) с элементами из поля над полем (арифметическое пространство).

¾ — действительное — мерное арифметическое пространство;

¾ — комплексное — мерное арифметическое пространство;

¾ — пространства геометрических векторов (прямой, плоскости, пространства);

¾ — евклидовы пространства (с указанием размерности или без него);

¾ — подпространства данного пространства (— индекс, не связанный с размерностью);

¾ векторы рассматриваемого пространства; — нулевой вектор;

¾ скаляры из данного поля, — нуль этого поля;

¾ линейные операторы, в отдельных случаях – матрицы;

¾ матрицы линейных операторов в базисах соответственно ;

¾ размерности пространств ;

¾ ранги операторов (матриц) ;

¾ скалярное произведение в данном пространстве;

¾ векторное произведение в данном пространстве .

Основными типами задач этого параграфа являются следующие:

А) выяснение вопроса, будет ли данное множество с указанными операциями линейным пространством, подпространством;

В) выделение базиса пространства, определение его размерности;

С) вычисление координат вектора в данном базисе;

D) нахождение суммы, пересечения подпространств, их размерностей и базисов.

1.1. Линейные пространства и подпространства.

Для решения задач первой группы необходимо знание аксиом линейного пространства (вообще, не следует приниматься за решение задач любого раздела, не ознакомившись предварительно с основными понятиями и теоремами данного раздела). Заметим, что в группе аксиом линейного пространства содержатся требования неограниченной применимости, однозначности и замкнутости линейных операций, которые не выделены под отдельными номерами. Распространенная ошибка: забывают проверить выполнение этих условий.

В тех условиях, когда данное множество состоит из векторов некоторого известного пространства, полезной является следующая теорема (критерий подпространства):

Теорема. Подмножество векторов пространства над полем является подпространством тогда и только тогда, когда

1. замкнуто относительно сложения, т.е. ,

2. замкнуто относительно умножения векторов на любые скаляры из основного поля : .

Некоторые из задач требуют хорошего знания других разделов курса (элементарной теории матриц, квадратичных форм, систем линейных уравнений). Ниже мы подробнее остановимся на одной из этих задач.

1.2. Базис пространства, его размерность.

Построение базиса пространства, подпространства несколько упрощается, если мы располагаем некоторыми представлениями о размерности пространства, подпространства. Одним из наводящих соображений здесь может быть следующее. Подмножество векторов пространства выделяется из с помощью дополнительных условий, накладываемых на векторы. При этом, чем больше таких условий, тем меньшей, вообще говоря, будет размерность подпространства . Если , а выделено с помощью условий специального вида, то есть основания ожидать, что .

Задача 1.1. (№1297[4]) Доказать, что множество п -мерных векторов, у которых первая и последняя координаты равны между собой, образует линейное подпространство пространства .

Решение. Множество образует линейное подпространство пространства , так как удовлетворяет критерию подпространства. Действительно, выделяется из с помощью одного условия , поэтому

1.

,

2.

.

Кроме того, нетрудно показать, что . Для этого рассмотрим векторы стандартного базиса . Векторы не принадлежат . Но построение базиса подпространства в ряде случаев удобно выполнить, исходя из стандартного базиса самого пространства, изменяя его векторы так, чтобы они «попали» в подпространство. Поэтому преобразуем векторы так, чтобы у них первая и последняя координаты были равны. Например, пусть . Рассмотрим систему векторов . Она образует базис , так как нетрудно проверить, что она является линейно независимой и каждый вектор из подпространства линейно выражается через вектора этой системы. А так как количество векторов системы равно , то и . Итак, наше предположение оказалось верным.

Линейные подпространства, размерности которых на 1 меньше размерности самого пространства называются гиперплоскостями .

В следующей задаче условий больше.

Задача 1.2. (№1298[4]) Доказать, что множество п -мерных векторов, у которых координаты с четными номерами равны нулю, образует линейное подпространство пространства .

Решение. Для доказательства того, что является подпространством, нужно также воспользоваться критерием подпространства. Так как поэтому следует ожидать, что , где — наибольшее четное число, не превышающее (, если — четное, и , если — нечетное). Базисом является подсистема стандартного базиса пространства , содержащая векторы только с нечетными номерами.

Задача 1.3. Проверить, является ли множество многочленов степени 3 с вещественными коэффициентами подпространством пространства многочленов степени ().

Решение. Воспользуемся критерием подпространства. Проверим условие .

Пусть , тогда

,

так как степень суммы этих двух многочленов равна двум. Итак, множество не является подпространством.

Задача 1.4. (№№1291, 1308[4]) Найти какой-нибудь базис и размерность линейного подпространства пространства , если составляют все векторы из , у которых сумма координат .

Решение. Очевидно векторы стандартного базиса

(1 на — ой позиции ) множеству не принадлежат ни при каком . Однако, замена на векторах последнего нуля числом (-1) дает нам векторы из . Таким образом мы получаем систему векторов

из , которая линейно независима (почему?) и обязана быть базисом , ибо из условия задачи явно следует, что из и, следовательно, .

Попутно решен вопрос (и подтвердилась гипотеза) о размерности ( выделено из одним условием).

Задача 1.4. (№1306[4]) Пусть — неотрицательная квадратичная форма от неизвестных ранга . Доказать, что все решения уравнения =0 образуют мерное линейное подпространство пространства .

Поиск решения. Вспоминаем основные понятия теории квадратичных форм (матрица формы, ранг формы, определение формы). Очевидно, что более подробные записи данного уравнения в виде

, никак не указывают на способ решения задачи.

В процессе дальнейших размышлений начинаем понимать, что мы должны исходить из неотрицательной определенности формы . Нормальный вид такой формы

(1)

а множество решений уравнения =0 в этом случае состоит из векторов вида

, (2)

Где — произвольные числа из . Имеющийся опыт (задача 1.2) подсказывает, что множество векторов такого вида есть ()-мерное подпространство пространства . Но данная нам форма не обязательно нормальная. И здесь мы вспоминаем, что каждая неотрицательно определенная форма ранга невырожденным линейным преобразованием приводится к виду (1). Создается план решения: преобразовать форму к виду (1) , найти решения (2) уравнения =0 для преобразованной формы, а затем с помощью обратного преобразования построить решения уравнения =0 для данной формы .

Решение. По теореме о приведении квадратичной формы к нормальному виду существует невырожденное линейное преобразование

, приводящее форму к виду

Множество решений уравнения состоит из векторов где , то есть из векторов

.

Обозначим (1 на — ой позиции) и докажем, что множество решений уравнения =0 есть линейная оболочка системы векторов

.

Пусть . Тогда

Очевидно и другое:

Кроме того, система линейно независима (проверяется непосредственно). Составляем линейную комбинацию . Получаем . Мы пришли к матричному уравнению, которое имеет единственное решение, так как матрица является невырожденной.

.

Отсюда . Тем самым мы показали, что система является линейно независимой. Следовательно, — линейное пространство (по построению) и его размерность

1.3. Координаты вектора в данном базисе.

Решение вопроса о ранге системы векторов, заданных координатами в некотором базисе, выделение из системы ее максимальной линейно независимой подсистемы, выражение остальных векторов в виде линейных комбинаций векторов этой подсистемы сводится к решению этих же задач для системы строк (столбцов) координатной матрицы, которые подробно обсуждались в соответствующем параграфе первой части.

1.4.Сумма и пересечение подпространств.

Пусть — данные подпространства пространства. Обычно их задают в виде линейных оболочек систем векторов или как множества решений некоторых однородных систем линейных уравнений, а сами векторы- координатными строками в некотором базисе. Вычисление не составляет особого труда: это ранг объединения базисов или порождающих систем подпространств и . находится по формуле

. (3)

Несколько сложнее обстоит дело с поиском базиса пересечения . В общем виде этот вопрос рассматривается в задаче №1319 [4]. Здесь же мы укажем, как найти решения конкретных задач (№№ 1320-1322 [4]). Задачу 1.6 мы решим двумя способами, второй — с помощью схемы Штифеля (предполагаем, что №1319 вы уже разобрали).

Задача 1.6. Найти базис суммы и пересечения подпространств, натянутых на системы векторов

и

Решение. Обозначим , . Будем считать, что координаты векторов заданы в единичном базисе .

1 способ. Как известно, базисом суммы служит любая база системы векторов , . Его построение сводится к вычислению ранга матрицы, строками которой являются координаты векторов последней системы. Кроме того, базис суммы можно получить, добавляя к базису первого подпространства некоторые из векторов базиса второго подпространства.

Итак, . Базис составляют .

. Базис составляют .

.

Базис составляют . По формуле (3) получаем . Базис пересечения будем искать из условия . Значит, представим в виде и . Приравниваем правые части . Это равенство эквивалентно системе трех линейных однородных уравнений с четырьмя неизвестными. Нужно решить эту систему и построить ФСР. Тогда будет образовывать базис пересечения.

Решив систему, строим ФСР.

Вектор образует базис .

2 способ. 1) Составим таблицу Штифеля для объединенной системы векторов , и перебрасываем наверх сначала векторы , пока это возможно (квадратиками выделены разрешающие элементы). Векторы , переходящие налево, не пишем и их координаты не вычисляем.