Найти уравнение асимптот кривой онлайн
Наш калькулятор позволяет исследовать график функции. Но пока что нет возможности находить область определения функции
Что умеет находить этот калькулятор:
- Область определения функции: Да. Умеет определять только точки, в которых знаменатель функции обращается в нуль, но в остальных случаях:
- Умеет определять точки пересечения графика функции с осями координат: Да
- Экстремумы функции: интервалы (отрезки) возрастания и убывания функции: Да
- Точки перегибов графика функции: перегибы: интервалы выпуклости, вогнутости (впуклости): Да
- Вертикальные асимптоты : Да (это завязано с областью определения функции, на точки, где знаменатель функции обращается в нуль)
- Горизонтальные асимптоты графика функции: Да
- Наклонные асимптоты графика функции: Да
- Четность и нечетность функции: Да
Правила ввода выражений и функций
3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно
2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Асимптоты
п.1. Понятие асимптоты
Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Например:
Вертикальная асимптота x=3 | Горизонтальная асимптота y=1 |
Наклонная асимптота y=x |
п.2. Вертикальная асимптота
Таким образом, практически каждой точке разрыва 2-го рода (см. §40 данного справочника) соответствует вертикальная асимптота.
Вертикальных асимптот может быть сколько угодно, в том числе, бесконечное множество (например, как у тангенса – см. §6 данного справочника).
Например:
Исследуем непрерывность функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\)
ОДЗ: \(x\ne \left\<-3;1\right\>\)
\(\left\
Исследуем \(x_0=-3\). Найдем односторонние пределы: \begin
Точка \(x_0=-3\) — точка разрыва 2-го рода.
Исследуем \(x_1=1\). Найдем односторонние пределы: \begin
Точка \(x_1=1\) — точка разрыва 2-го рода.
Вывод: у функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\) две точки разрыва 2-го рода \(\left\
п.3. Горизонтальная асимптота
Число горизонтальных асимптот не может быть больше двух.
Например:
Исследуем наличие горизонтальных асимптот у функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\)
Ищем предел функции на минус бесконечности: \begin
Ищем предел функции на плюс бесконечности: \begin
Вывод: у функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\) одна горизонтальная асимптота \(y=0\). На плюс и минус бесконечности функция стремится к асимптоте сверху.
Итоговый график асимптотического поведения функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\):
п.4. Наклонная асимптота
Число наклонных асимптот не может быть больше двух.
Чтобы построить график асимптотического поведения, заметим, что у функции \(y=\frac
График асимптотического поведения функции \(y=\frac
п.5. Алгоритм исследования асимптотического поведения функции
На входе: функция \(y=f(x)\)
Шаг 1. Поиск вертикальных асимптот
Исследовать функцию на непрерывность. Если обнаружены точки разрыва 2-го рода, у которых хотя бы один односторонний предел существует и бесконечен, сопоставить каждой такой точке вертикальную асимптоту. Если таких точек не обнаружено, вертикальных асимптот нет.
Шаг 2. Поиск горизонтальных асимптот
Найти пределы функции на плюс и минус бесконечности. Каждому конечному пределу сопоставить горизонтальную асимптоту. Если оба предела конечны и равны, у функции одна горизонтальная асимптота. Если оба предела бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
Шаг 3. Поиск наклонных асимптот
Найти пределы отношения функции к аргументу на плюс и минус бесконечности.
Каждому конечному пределу k сопоставить наклонную асимптоту, найти b. Если только один предел конечен, у функции одна наклонная асимптота. Если оба значения k конечны и равны, и оба значения b равны, у функции одна наклонная асимптота. Если оба предела для k бесконечны, наклонных асимптот нет .
На выходе: множество всех асимптот данной функции.
п.6. Примеры
Пример 1. Исследовать асимптотическое поведение функции и построить схематический график:
a) \( y=\frac<4x>
1) Вертикальные асимптоты
Точки, подозрительные на разрыв: \(x=\pm 1\)
Односторонние пределы в точке \(x=-1\) \begin
Односторонние пределы в точке \(x=1\) \begin
Функция имеет две вертикальные асимптоты \(x=\pm 1\)
График асимптотического поведения функции \(y=\frac<4x>
2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: \begin
График асимптотического поведения функции \(y=e^<\frac<1>
в) \( y=\frac
Заметим, что \( \frac
3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: \begin
Ищем свободный член: \begin
График асимптотического поведения функции \(y=\frac
2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: \begin
Функция не имеет горизонтальных асимптот.
График асимптотического поведения функции \(y=xe^<\frac<1><2-x>>\)
Калькулятор для исследования функций
С помощью данных калькуляторов можно по шагам провести исследование функции онлайн, и построить график функции онлайн с асимптотами.
Для этого скопируйте исследуемую функцию в каждый калькулятор, как показано в примере, и получите ответ. Если что пишите в комментариях
1. Находим область определения функции.
2. Выясняем, не является ли функция:
а) четной, нечетной • Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными (neither even nor odd), называются функциями общего вида.
б) периодической
3. Находим точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.
Для того, чтобы найти точки пересечения с осью Ох выбираем знак «=», для нахождения интервалов на которых функция положительна — зак «>», для интервалов на которых функция отрицательна — знак «
4. Находим вертикальные, наклонные, горизонтальные асимптоты графика функции.
5. Находим точки экстремума
6. Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
7. Построить график функции, используя все полученные результаты исследования.
118,263 просмотров всего, 23 просмотров сегодня
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/asimptoty/
http://otvet-prost.ru/%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%82%D0%BE%D1%80-%D0%B4%D0%BB%D1%8F-%D0%B8%D1%81%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F-%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8/