Найти уравнение движения шатуна если кривошип

Найти уравнения движения, траекторию и скорость средней точки М шатуна 2

В кривошипно-ползунном механизме (рис. 2.1.2) кривошип 1 вращается с постоянной угловой скоростью рад/с. Найти уравнения движения, траекторию и скорость средней точки М шатуна 2, если ОА = АВ = 80 см.

1. Запишем уравнения движения точки M в координатной форме (рис. 2.1.3)

2. Уравнение траектории получим, исключив время t из уравнения движения:

Траектория точки М – эллипс с центром в начале координат и полуосями 120 см и 40 см.

3. Скорость точки определим по проекциям на оси координат

Устройство автомобилей

Кинематика и динамика КШМ

Кривошипно-шатунный механизм (КШМ) является основным механизмом поршневого двигателя внутреннего сгорания (ДВС), который воспринимает и передает значительные по величине нагрузки. Поэтому расчет прочности КШМ имеет важное значение. В свою очередь расчеты многих деталей двигателя зависят от кинематики и динамики КШМ.
Кинематический анализ КШМ устанавливает законы движения его звеньев, в первую очередь поршня и шатуна.

Типы КШМ

В поршневых ДВС применяются три типа КШМ:

• центральный (аксиальный);
• смешанный (дезаксиальный);
• с прицепным шатуном.

В центральном КШМ ось цилиндра пересекается с осью коленчатого вала (рис. 1).
Угловая скорость рассчитывается по формуле

Важным конструктивным параметром КШМ является отношение радиуса кривошипа R к длине шатуна L :

Установлено, что с уменьшением λ (за счет увеличения длины шатуна L ) происходит снижение инерционных и нормальных сил. При этом увеличивается высота двигателя и его масса, поэтому в автомобильных двигателях принимают значение λ от 0,23 до 0,3.

В дезаксиальном КШМ (рис. 2) ось цилиндра не пересекает ось коленчатого вала и смещена относительно ее на расстояние а .
Дезаксиальные КШМ имеют некоторые преимущества в сравнении с центральными КШМ:

• увеличенное расстояние между коленчатым и распределительным валами, в результате чего увеличивается пространство для перемещения нижней головки шатуна;
• более равномерный износ цилиндров двигателя из-за уменьшения давления поршня на гильзу во время такта рабочего хода;
• при одинаковых значениях R и λ у дезаксиального двигателя больше ход поршня, что способствует снижению содержания токсичных веществ в отработавших газах;
• увеличенный рабочий объем двигателя.

КШМ с прицепным шатуном применяется на двигателях с большим числом цилиндров, когда хотят уменьшить длину двигателя (рис. 3).
Конструкция такого КШМ содержит главный шатун 12, соединенный непосредственно с шейкой коленчатого вала, и прицепной шатун 3, который соединен с главным шатуном посредством шарнира 11, расположенного на его головке. При этом поршни, соединенные с главным и прицепным шатуном имеют не одинаковый рабочий ход, Так, в V-образном двенадцатицилиндровом двигателе Д-12 разница в ходе поршней составляет 6,7 мм.

Кинематика центрального КШМ

При кинематическом анализе КШМ считается, что угловая скорость коленчатого вала постоянна. В задачу кинематического расчета входит определение перемещения поршня, скорости его движения и ускорения.

Перемещение поршня в зависимости от угла поворота кривошипа для двигателя с центральным КШМ рассчитывается по формуле:

x = R[1 – cos φ) + (λ/4)(1 — cos 2φ)] .

Перемещение поршня для каждого угла поворота коленчатого вала может быть определено графическим способом, который получил название метод Брикса.

Скорость поршня может быть определена, как производная уравнения (1) по времени. Максимальных значений скорость достигает при углах поворота коленчатого вала меньше 90˚ и больше 270˚. Точное значение этих углов зависит от величины λ .
Для λ от 0,2 до 0,3 максимальные скорости поршня соответствуют углам поворота коленчатого вала от 70˚ до 80˚ и от 280˚ до 287˚.

Средняя скорость поршня может быть определена по формулам:

V_ср = Sn/30 = 2Rπn/30 = 2Rɷ/π ,

где S – ход поршня, м;
n – частота вращения коленчатого вала, об/мин;
R – радиус кривошипа, м;
ɷ — угловая скорость вращения коленчатого вала, с -1 .

Средняя скорость поршня в автомобильных двигателях находится в пределах от 8 до 15 м/с.

Значение максимальной скорости поршня с достаточной степенью точности может быть определено по формулам:

Ускорение поршня определяется, как первая производная скорости по времени или как вторая производная перемещения поршня по времени:

j = Rɷ₂(cos φ + λcos 2φ) .

Ускорение достигает максимальных значений в верхней и нижней мертвых точках (ВМТ и НМТ), а в средней части хода поршня уменьшается до нуля. Максимальное ускорение поршня в автомобильных ДВС составляет 10000 м/с 2 .

Отношение хода поршня к диаметру цилиндра

Отношение хода поршня S к диаметру цилиндра D является одним из основных параметров, который определяет размеры и массу двигателя. В автомобильных двигателях значения S/D варьируют от 0,8 до 1,2. Двигатели, у которых S/D больше единицы, называют длинноходными, а у которых S/D меньше единицы – короткоходными. Данное соотношение непосредственно влияет на скорость поршня, а значит и на мощность двигателя.
С уменьшением значения S/D очевидны следующие преимущества:

• уменьшается высота двигателя;
• снижаются механические потери и износ деталей (за счет уменьшения средней скорости поршня);
• улучшаются условия размещения клапанов ГРМ и создаются предпосылки для увеличения их размеров;
• появляется возможность увеличения диаметров коренных и шатунных шеек, что повышает жесткость коленчатого вала.

Однако есть и отрицательные моменты:

• увеличивается длина двигателя и длина коленчатого вала;
• повышаются нагрузки на детали от сил давления газов и сил инерции;
• уменьшается высота камеры сгорания и ухудшается ее форма, что в бензиновых двигателях способствует детонации, а в дизелях ухудшает качество смесеобразования.

При выборе значений S/D конструкторы учитывают назначение и конструктивные особенности двигателя. Так, для быстроходных двигателей целесообразно уменьшить значения S/D . Выгодно уменьшать это соотношение и для V-образных двигателей, где благодаря короткоходности можно получить оптимальные массовые и габаритные показатели.
Следует, также, учитывать, что силы, действующие в КШМ, в большей степени зависят от диаметра цилиндра, и в меньшей – от хода поршня.

Динамика КШМ

При работе двигателя в КШМ действуют силы и моменты, которые не только воздействуют на детали КШМ и другие узлы, но и вызывают неравномерность работы двигателя.
К таким силам относятся:

• сила давления газов (уравновешивается в самом двигателе и на его опоры не передается);
• сила инерции приложена к центру возвратно-поступательно движущихся масс и направлена вдоль оси цилиндра; эта сила воздействует на корпус двигателя через подшипники коленчатого вала, вызывая вибрацию двигателя на опорах в направлении оси цилиндра;
• центробежная сила от вращающихся масс направлена по кривошипу в средней его плоскости, воздействуя через опоры коленчатого вала на корпус двигателя, вызывает колебания двигателя на опорах в направлении кривошипа.

Кроме того, возникают такие силы, как давление на поршень со стороны картера, и силы тяжести элементов КШМ, которые в расчетах не учитываются в виду относительно малой величины.

Все действующие в двигателе силы взаимодействуют с сопротивлением на коленчатом валу, силами трения и воспринимаются опорами двигателя.
В течение каждого рабочего цикла (720˚ – для четырехтактного и 360˚ – для двухтактного двигателей) силы, действующие в КШМ, непрерывно меняются по величине и направлению. Для установления характера изменения данных сил от угла поворота коленчатого вала их определяют через каждые 10˚ – 30˚ для определенных положений коленчатого вала.
Эти данные необходимы для устранения причин вибраций двигателя во время работы, т. е. для уравновешивания двигателя.

Уравновешивание двигателей

Уравновешивание двигателя сводится к созданию такой системы, в которой равнодействующие силы и их моменты постоянны по величине или равны нулю.
Уравновешивание двигателей достигается подбором оптимального числа цилиндров, их расположения, порядка работы, выбором соответствующей схемы коленчатого вала, установкой противовесов на коленчатом валу (иногда — на специальных дополнительных валах), а также равенством масс подвижных деталей КШМ, балансировкой коленчатого вала и т. п.

Решения типовых задач из раздела «Кинематика»

Ниже приведены решения типовых задач из раздела «КИНЕМАТИКА» учебника «Краткий курс теоретической механики». М.: «Наука», 19с.

52 (стр. 144). Кинематика точки. Движение точки в плоскости Оху задано уравнениями

; ,

где a и w — постоянные величины. Найти траекторию точки и закон движения вдоль траектории.

Уравнения движения частиц тела (из условия равенства смещений)

; .

Компоненты векторов смещения, скорости и ускорения

; ; ; ; ; .

и пройденный путь («естественный способ описания движения»)

Так как траектория не является прямой, длины векторов смещения и пройденный частицами путь не совпадают: первый изменяется периодический, второй все время возрастает.

Рассматриваемая в условиях задачи точка тела имела начальные координаты , . Точка вращается по окружности с центром в начале координат

.

Компоненты смещения, скорости и ускорения для неё одинаковы, как и для других точек тела, в связи с поступательным характером движения тела (иначе данных о движении одной точки недостаточно, чтобы описать движение всех частиц тела).

53. Движение точки задано уравнениями (х, у – в метрах, t – в секундах):

x = 8t – 4t2; y = 6t – 3t2.

Определить траекторию, скорость и ускорение.

Заданные уравнения соответствуют смещениям точки по осям координат. Уравнения движения произвольных частиц тела

Компоненты скорости и ускорения

Траекториями частиц являются прямые линии

При t 1 они становятся отрицательными. В моменты времени t = 0 и t = 2 частицы находятся в одной и той же точке пространства наблюдателя. Движение гармоническим считать нельзя, так как в дальнейшем тело равноускоренно удаляется от начала координат в третьем квадранте системы отсчета наблюдателя. Пройденный частицами путь все время возрастает в соответствии с уравнениями

При t =1: s = 5[1+(t-1)2].

54. Движение точки задано уравнениями

; ; ,

где a, w и u — постоянные величины. Определить траекторию, скорость, ускорение и путь частиц тела.

; ; .

Компоненты векторов смещения, скорости и ускорения

; ; ;

; ; ;

; ; .

Траекториями движения являются винтовые линии пересечения цилиндрической

и синусоидальной поверхностей

.

Пройденный частицами путь определяет уравнение

.

Так как траектория не является прямой, длины векторов смещения и пройденный частицами путь не совпадают: первый изменяется периодический, второй все время возрастает и на развертке может быть представлен геометрической суммой двух его проекций (перемещения по окружности a w t и образующей цилиндра ut).

55. Человек ростом h удаляется от фонаря, висящего на высоте H, двигаясь прямолинейно со скоростью u. С какой скоростью будет двигаться конец тени человека? ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ.

Задача на преобразование, т. е. в большей степени по математике, чем по механике: найти координату пересечения прямой, проходящей через источник света (фонарь) и точку (x, h) при перемещении последней вдоль оси «х» с заданной скоростью. Таким образом, текущие координаты «вершины головы» удаляющегося от фонаря человека (x=ut, h) и координаты источника света (0, H). Уравнение прямой, проходящей через эти две точки

Прямая пересекает ось «х» при

Это и есть уравнение движения «конца тени».

65. Груз В (рис. 160) приводит во вращение вал радиуса r и сидящую на одной оси с валом шестерню 1 радиуса r1.Движение груза начинается из состояния покоя и происходит с постоянным ускорением «а». Определить, по какому закону будет при этом вращаться находящаяся в зацеплении с шестерней 1 шестерня 2 радиуса r2.

Совместим начало координат с осью вала. Тогда поступательное равноускоренное движение груза описывают уравнения

x = — r; y = b — at2/2; xt = 0; yt = at.

Угловая скорость вращения (из кинематической связи – нерастяжимая нить и отсутствие проскальзывания) wr = at; w = at/r. Смещения по окружности на контуре шестерни 1 за время dt: r1*(at/r) dt . Такими же должны быть смещения на контуре шестерни 2. Для угловой скорости тогда находим . Угол поворота за время t при начальном условии y = 0 при t =0: .

66. (Аналогична задаче 327 Мещерского). Ползуны А и В, к которым прикреплена линейка эллипсографа, перемещаются по взаимно перпендикулярным направляющим (рис. 172, стр. 182). Расстояние АВ = L. Определить траекторию точки М линейки.

В приведенной постановке задачи упоминания о кривошипе или другом способе привода линейки нет. Поэтому рассмотрим общий случай плоскопараллельного движения твердого тела, для которого известны:

Так как любое движение твердого тела в общем случае можно рассматривать как вращение вокруг подвижного центра, воспользуемся уравнениями движения

; ,

где С – полюс или центр вращения.

Подставляя приведенные выше соотношения для двух точек, двигающихся по осям координат, получаем систему 4-х уравнений

;

; (а)

;

.

Расстояние между точками А и В в процессе движения остается постоянным

или

и смещения точек должны быть связаны соотношением

, (в)

т. е. смещения u и v должны иметь противоположные знаки.

С учетом полученной связи (в) уравнения (а) содержат 4 независимых известных величины (2 начальные координаты точек А и В, а также их смещения), а также 4 неизвестных: 2 начальные координаты центра вращения, 2 текущие его координаты и угол поворота для каждого момента времени, задаваемого смещением, например точка А.

Можно показать, что записанная система имеет решение

т. е. центр вращения остается неподвижным и находится посредине между точками А и В. Тогда система преобразуется к двум уравнениям

; .

В качестве проверки покажем, что условие постоянства расстояния между этими точками выполняется

Траектория произвольной точки М

;

,

с учетом полученных выше соотношений координат А, В и центра вращения С определяется уравнениями

или, после преобразований,

; (c)

При условии, что точка М находится на линии АВ, т. е.

; или = const

и переходя к фиксированным в процессе движения расстояниям АВ = L и AM = b, когда

; ; ; ,

;

.

Таким образом, траекторией точки М является эллипс с полуосями b и (L — b), симметричный относительно осей координат

.

Окончательный результат непосредственно следует из последних двух уравнений и весь предшествующий анализ можно считать излишним. Вместе с тем, он позволяет получить траектории и любых других точек твердого тела, две из которых перемещаются вдоль осей координат наблюдателя, в том числе не расположенных на прямой АВ. Для этого из системы уравнений (с) следует определить тригонометрические функции и

; ;

,

а затем воспользоваться, как и в уравнении (d), условием

.

В этом случае решение является достаточно громоздким, более просто его можно получить, рассматривая траектории частиц шатуна механизма из задачи 327 (Мещерский 1965).

67. Найти скорость точки обода колеса, катящегося по прямолинейному рельсу без скольжения (рис. 175), если скорость центра колеса С равна v , а угол DKM=f.

Общий вид уравнений движения твердого тела, вращающегося относительно подвижного центра

; .

Компоненты скорости и ускорения

; .

; .

Приведенные в условиях задачи данные позволяют рассматривать только один начальный момент времени, т. е. заданы начальные координаты. Совместим начало координат с точкой контакта колеса и рельса, тогда

; ; ; .

Из условия движения без проскальзывания следует, что скорость нижней точки равна 0 (мгновенный центр скоростей), тогда угловая скорость колеса составляет

.

Для компонент скорости рассматриваемой точки находим

; .

При этом модуль скорости составит

.

Учитывая, что , можно утверждать, что вектор скорости ортогонален прямой, соединяющей точку с мгновенным центром скоростей.

70. Определить скорость центра С подвижного блока радиуса r и его угловую скорость w (рис. 184, стр. 190, Тарг 1968), если груз А поднимается со скоростью vA, а груз В опускается со скоростью vB. Нить при своем движении по подвижному блоку не проскальзывает, а её ветви вертикальны.

Блок С вращается относительно подвижного центра, перемещающегося по вертикали, которую совместим с осью «у». Пусть в начальном состоянии ось С совпадает с началом отсчета. Тогда уравнения движения частиц блока

; .

Компоненты скорости и ускорения

; .

; .

Так как по условиям задачи требуется найти скорость центра С только в один момент времени, его можно принять за начальный и рассмотреть уравнения движения при t=0.

Скорости точек А и В при их начальных координатах А(r, 0) и B(-r, 0) соответственно будут

; ;

;

Скорости точек А и В (нить движется по блокам без проскальзывания) равны скоростям подъема и опускания соответствующих грузов с обратным знаком. Два уравнения содержат 2 неизвестных: угловую скорость вращения блока С и линейную скорость перемещения его центра. Из решения системы находим

; .

Решение отличается от приведенного в учебнике знаками, так как в приведенном анализе все величины рассматриваются как алгебраические. Если оба груза поднимаются (или опускаются) с одной скоростью, с такой же скоростью опускается (или поднимается) блок С, т. е. их скорости будут равны по величине, но противоположны по знаку.

72. Кривошип ОА (рис. 187), вращающийся вокруг оси О с угловой скоростью =, несет на себе ось подвижной шестерни 1, катящейся по неподвижной шестерне 2. Радиусы шестерен (в условии задачи – одинаковы) равны R (шестерня 2) и r (шестерня 1). К шестерне 1 шарнирно прикреплен шатун ВD длиной L, соединенный с коромыслом DC. Определить угловую скорость шатуна в момент, когда он перпендикулярен к кривошипу ОА, если в этот момент угол BDC = 450.

Совместим начало координат с осью кривошипа. В качестве начального примем момент времени, когда кривошип горизонтален (см. рис. 187).

По условиям шестерня 2 неподвижна, её угловая скорость равна 0. Шестерня 1 катится по шестерни 2 без проскальзывания, следовательно скорость точки их контакта Р1 равна также 0, тогда как скорость её оси А, как и всех других частиц кривошипа, определяются угловой скоростью его вращения =.

; .

Уравнения движения частиц шестерни 1 (точка А – ось вращения) можно получить, используя принцип суперпозиции. Вложенным является вращение тела относительно точки А с угловой скоростью

; .

Наложенным – не вращение относительно начала координат с угловой скоростью , а относительно перемещение оси А по заданной кривой – дуге окружности с радиусом ОА = (R+r)

.

Уравнения совмещенного движения, с учетом , совпадают с уравнениями вращения твердого тела относительно подвижного центра. Следовательно, для уравнений движения частиц шестерни 1 (вращение относительно подвижного полюса, точка А – ось вращения)

; .

с учетом текущих координат оси А следует записать

;

.

Скорости точек кривошипа

; .

Скорости точек шестерни 1:

; .

Угловую скорость находим из условия равенства 0 компонент скорости в точке контакта шестерен 1 и 2 (aP1 = R, bP1 = 0: 0=) или независимости определения скорости центра вращения А относительно центра О и МЦС Р1

(но не , см. ниже).

Аналогичные уравнения описывают и движение точки В, расположенной на радиусе r шестерни 1 и имеющей начальные координаты (R+r, —r). Таким образом, координаты точки В при любом заданном угле поворота кривошипа

;

.

Для приведенных выше переменных Лагранжа они принимают вид

;

.

Точка В перемещается по сложной кривой (см. Excel), но не по окружности (см. ниже). При повороте кривошипа на 900 и равных радиусах шестерен координаты точки В составят (0, R+2r). При повороте кривошипа на -900 и равных радиусах шестерен координаты точки В составят (0, — R).

Компоненты скорости точки В в начальный момент времени (учтен отрицательный знак угловой скорости кривошипа)

; ,

т. е. скорость точки В ортогональна прямой, соединяющей её с МЦС.

Уравнения движения шатуна BD аналогичны записанным выше для шестерни 1

; .

Уравнения движения коромысла, совершающего вращение вокруг неподвижной оси С(a, b):

; .

Наложенные кинематические связи для определения угловых координат, скоростей и ускорений шатуна и коромысла в общем случае можно записать в виде

; ,

где a, b – координаты неподвижного шарнира коромысла С. Угловые скорости шатуна и коромысла можно определить из системы уравнений, получаемой из предыдущей путем дифференцирования по времени

; ,

;

.

В аналитической форме дальнейшее решение для произвольных углов поворота кривошипа представляется нецелесообразным. Предпочтительнее использовать численные методы. Вместе с тем, для приведенного в условиях задачи положения механизма при равенстве компонент скорости точки В (см. выше) и значении угла наклона коромысла 450 угловая скорость кривошипа равна , что совпадает с результатом, полученным «общепринятым» методом. Для коромысла отсюда же получаем .

73. На ось О (рис. 188) независимо друг от друга насажены шестерня 1 и кривошип ОА, вращающийся с угловой скоростью. Кривошип несет ось А шестерни 2, наглухо скрепленной с шатуном АВ, проходящим через качающуюся муфту С. Радиусы шестерен 1 и 2 R и r (в задаче – одинаковы). Определить угловую скорость шестерни 1 в момент, когда ОА ортогонально ОС, если при этом угол АСО равен 300.

Решение для кривошипа, шатуна и коромысла является стандартным для кулисных механизмов с неподвижной осью направляющей (качающейся муфты). Угловую скорость шатуна можно найти из дифференцирования по времени уравнений, описывающих кинематические связи (a, b – координаты оси муфты)

; ,

где . После дифференцирования получаем

; .

Любое из приведенных уравнений, с учетом скорости изменения расстояния между шарнирами А и С

,

может быть использовано для расчета угловой скорости шатуна. Для рассматриваемых в задаче условий получаем .

Скорость точки Е, принадлежащей шатуну, находим из общего уравнения (вращение твердого тела относительно подвижного центра)

; .

Рассматриваемый момент времени можно принять за начальный. Тогда

; .

Так как проскальзывание между шестернями 1 и 2 отсутствует, такую же скорость должна иметь точка Е, принадлежащая шестерне 1. При её радиусе она должна иметь угловую скорость . При равенстве радиусов шестерен, как задано в условии, получаем , .

76. По неподвижной шестерне 1 радиуса r1 =0,3 м обкатывается шестерня 2 радиуса r2 = 0,2 м, насаженная на кривошип ОА (рис. 194, а). Кривошип, вращающийся вокруг оси О, имеет в данный момент угловую скорость = 1 с-1 и угловое ускорение = -4 с-2. Определить в этот момент ускорение точки D, лежащей на ободе подвижной шестерни (радиус АD перпендикулярен кривошипу).

Уравнения движения и компоненты скорости для шестерни 2 рассмотрены в задаче 72:

; .

; ;

; .

Для шестерни 2 уравнения движения

; .

Скорости точек шестерни 2:

; .

Угловую скорость шестерни 2 находим из условия равенства 0 компонент скорости в точке контакта шестерен 1 и 2 (aP1 = R, bP1 = 0: 0=) или независимости определения скорости центра вращения А относительно центра О и МЦС Р1

(=1*(0,3+0,2)/0,2=2,5 с-1) .

Уравнения для ускорений получаем дифференцированием по времени компонент скорости шестерни 2

;

.

Начальные (лагранжевы) координаты точки А: (0,R+r), её компоненты скорости = -1*0,5 = -0,5 м/с, и ускорения = -(-4)*0,5= 2 м/с2,

= -0,5*1=-0,5м/с2.

Угловое ускорение шестерни 2 находим из соотношения для скоростей

с-2 .

Начальные координаты точки D: (—r,R+r), её компоненты скорости =-0,5 м/с; =-0,5 м/с и ускорения = 4*0,5+1*0,25/0,2=2+1,25=3,25 м/с2, =

Модуль ускорения при заданных в задаче условиях 3,58 с-2 . Все результаты совпадают с приведенными в учебнике.

77. К кривошипу ОА, равномерно вращающемуся вокруг оси О с угловой скоростью = 4 1/с (рис. 195), прикреплен шатун АВ, соединенный с коромыслом ВС. Даны размеры: ОА=r=0,5 м, АВ = 2r, ВС = r. В положении, изображенном на чертеже, угол ОАВ = 900, угол АВС = 450. Определить для этого положения ускорение точки В шатуна, а также угловую скорость и угловое ускорение коромысла ВС и шатуна АВ.

Уравнения кинематических связей в общем случае

; ,

После дифференцирования по времени получаем

; .

Решая систему линейных относительно угловых скоростей шатуна и коромысла уравнений, получаем

; .

Для приведенных в задаче условий

(, ) получаем

, .

Повторное дифференцирование позволяет определить угловые ускорения (уравнения записаны для постоянной угловой скорости кривошипа)

;

.

Для условий задачи получаем

,

Для определения компонент скорости и ускорения точки В можно воспользоваться уравнения для шатуна или коромысла. Из уравнений для шатуна (записаны для начальных координат, которые заданы в условии) следует (индекс «С» надо поменять на «А»)

; .

; .

(В ответе , vA = 2 м/с)

; .

; .

= -0,5*16=-8 м/с2, .

.

Из уравнений для коромысла

; ,

;

;

; .

(xtt)B =-8*(-1+0,5) -(-4)2*(0,5-1) =4 +8 = +12 м/с2,

(ytt)B = 8*(0,5-*(-1+0,5)=-4+8 = 4 м/с2.

При этом модуль ускорения в точке В равен 12,65 м/с2, что совпадает в ответом в учебнике.

78. Колесо катится по прямолинейному рельсу так, что скорость его центра постоянна. Определить ускорение точки М обода колеса, если хорда, соединяющая его с точкой контакта колеса и рельса составляет с вертикалью (ось «у») угол «fi».

Общий вид уравнений движения твердого тела, вращающегося относительно подвижного центра

; .

Компоненты скорости и ускорения

; .

; .

По условиям задачи (xt)C = v = const. Тогда , ,

;

.

Вектор ускорения направлен к оси колеса и его модуль равен v2/r (совпадает с ответом).

81 (стр. 216). Точка М движется вдоль прямой ОА со скоростью u (рис. 211), а сама прямая вращается в плоскости Ох1у1 вокруг центра О с угловой скоростью w. Определить скорость точки М относительно осей Ох1у1 в зависимости от расстояния ОМ=r.

Принцип суперпозиции: вложенное движение вдоль заданной прямой со скоростью u:

; ;

наложенное движение – вращение относительно начала координат

; ;

; ;

; (1)

.

; ;

с компонентами скорости (u = const)

;

.

Как следует из условий задачи, в исходном состоянии рассматриваемая точка находилась в начале координат, а время определяется расстоянием ОМ: ОМ = s = ut. Тогда ,

;

,

;

.

Несмотря на достаточно громоздкий вид полученных уравнений, после возведения в квадрат и суммирования левых и правых частей уравнений получим простое выражение

Результат совпадает с приведенным в учебнике. Его удобно интерпретировать геометрической суммой скоростей поступательного и вращательного движения.

103. Динамика. Грузу массы m, лежащему на горизонтальной плоскости, сообщают (толчком) начальную скорость v0 . Последующее движение груза тормозится постоянной силой F. Определить, через сколько времени груз остановится и какой путь он пройдет до остановки.

Кинетическая энергия в начале движения Ek = mv2/2. Работа сил сопротивления до полной остановки тела (по условию сила постоянна!) A = Fs. Из закона сохранения энергии s = mv2/(2F). Движение равнозамедленное, что следует из равенства б. м. изменений энергии и работы

d(mv2/2) = mxttdx = Fdx.

При таком характере движения s = xttt2/2, отсюда t = mv/F.