Найти уравнение движения точки по окружности

Движение по окружности

Движение по окружности — простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆ φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах.

Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело.

Если угол поворота мал, то ∆ l ≈ ∆ s .

Угловая скорость

При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω , то есть скорости изменения угла поворота.

Определение. Угловая скорость

Угловая скорость в данной точке траектории — предел отношения углового перемещения ∆ φ к промежутку времени ∆ t , за которое оно произошло. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Единица измерения угловой скорости — радиан в секунду ( р а д с ).

Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:

Нормальное ускорение

При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.

При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру.

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:

a n = v 2 R = ω 2 R

Докажем эти соотношения.

Рассмотрим, как изменяется вектор v → за малый промежуток времени ∆ t . ∆ v → = v B → — v A → .

В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.

По определению ускорения:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Взглянем на рисунок:

Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что O A A B = B C C D .

Если значение угла ∆ φ мало, расстояние A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Принимая во внимание, что O A = R и C D = ∆ v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:

R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R

При ∆ φ → 0 , направление вектора ∆ v → = v B → — v A → приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆ t → 0 , получаем:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .

При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности.

Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:

Здесь R → — радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.

Тангенциальное ускорение

В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов — нормальное, и тангенциальное.

Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0

Здесь ∆ v τ = v 2 — v 1 — изменение модуля скорости за промежуток ∆ t

Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.

Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие v x и v y .

Если движение равномерное, величины v x и v y а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T = 2 π R v = 2 π ω

I. Механика

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено — это есть период T. Путь, который преодолевает точка — это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Вращение Земли

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Связь со вторым законом Ньютона

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна v_A и v_B соответственно. Ускорение — изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Разница векторов есть . Так как , получим

Движение по циклоиде*

В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.

Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

Мгновенная скорость определяется по формуле

Движение точки по окружности. Линейная и угловая скорости точки. Центростремительное ускорение точки

Опубликовано 16.10.2020Подготовка к ЕГЭ

Движение точки по окружности. Линейная и угловая скорости точки. Центростремительное ускорение точки

В данной статье рассмотрим темы из раздела кинематики по физике. Мы подробно изучим теоретический материл, основные характеристики и моменты тем, решим подобные задачи, которые могут встретиться на ЕГЭ, а также рассмотрим необходимые для их решения формулы.

Движение по окружности

Начнём с рассмотрения рисунка (рис. 1).

Траекторией движения здесь является окружность. Скоростью называют величину вектора, которая зависит от его направления, а также модуля значения. В некоторых случаях, движение по окружности называют равноускоренным. Например, при движении тела с одной и той же скорость, направление окружности будет постоянно меняться.

Существует также криволинейное движение. Его относят к разным движениям по окружности. Например, забег на стадионе, стрелка от часов и так далее.

Линейная и угловая скорости

Рассмотрим основные характеристики, свойственные линейной и угловой скорости.

Линейную скорость также называют мгновенной. Ей свойственно менять направление в соответствии с касательной по траектории.

Траекторией движения точки является окружность.

Формула, применяемая для вычисления мгновенной скорости: v = 2пR / T, при этом Т – является периодом.

Угловая скорость представляет собой значение, с помощью которого определяют, как изменяется перемещение с течением определённого времени.

Рассмотрим рисунок, а также соответствующие формулы для вычисления (рис. 2).

В данной формуле (рис. 3):

— является угловой скоростью точки (её скорость составляет 1/с);

— обозначают углом поворота вектора;

— является определённым промежутком времени (измеряется в секундах).

Существует формула, которая связывает угловое и центростремительное ускорение (рис. 7).

Перейдём к рассмотрению следующих характеристик, таких как:

Периодом вращения называют величину, которая определяет время совершения телом одного полного вращения.

Периодом называют скалярную величину. Одна единица периода равна одной секунде.

Период вычисляют по следующей формуле:

T = t / N, T = 1 / v, при этом N – является количество совершаемых оборотов, t – временем их совершения.

Частоту вращения применяют для вычисления частоты совершаемых оборотов за единицу времени.

Частотой является скалярная величина, она обозначается в n ( n = 1 с.^-1).

Частоту вычисляют по следующим формулам:

v = N / t, v = 1 / T.

Угловым перемещением является величина, определяющаяся с помощью угла поворота радиуса, который соединяет центр окружности и точку, в которой находится тело, в соответствии с её начальным положением.

Такую величину обычно измеряют в градусной или радианной мере.

Для закрепления материала рассмотрим примеры задач.

1. Тело движется по окружности с ускорением 2,5 м / с^2. Радиус окружности равен 40 метрам.

Найти: линейную скорость движущегося тела.

Решение: а = 2,5 м / с^2, r = 40 м.

v = √ (2,5 * 40 ) = 10 (м / с).

Ответ: линейная скорость движущегося тела равна 10 метрам в секунду.

1. Радиус колеса равен 8 см, линейная скорость точки к оси колеса на 3 см больше точки с линейной скоростью.

Найти: во сколько раз линейная скорость колеса больше линейной скорости точки к его оси вращения.

Решение: r1 = 8 см = 0,08 м, r2 = 5 см = 0,05 м.

u1= 2пr1n1; u2 = 2пr2n2. Делим первое уравнения на две части. У обода колеса будут одинаковые частоты вращения, поэтому n1 = n2.

Получается: u1 / u2 = 2пr1n1 / 2пr2n2 = r1 / r2; u1 / u2 = 0,08 м / 0,05м = 1,6.

Ответ: скорость точки обода в 1,6 раз больше точки, находящейся на 3 см ближе по отношению к оси вращения колеса.

Задачи подобного содержания часто встречается в КИМах заданий ЕГЭ по физике, поэтому рекомендуем подробно их рассмотреть, а также решить дополнительные задачи. Так вы сможете закрепить изученный материал.

Таким образом, мы рассмотрели тему движения точек по окружности, скорости точки, являющиеся угловыми, формулы для вычисления, дополнительные характеристики, а

также примеры решения задач по теме.

Твердое тело и его движение

Переходим к рассмотрению темы твёрдых тел и его видов движения.

Твёрдым телом принято называть объект, у которого при различных воздействиях на него не будет изменять форма. К примеру, если рассматривать две точки, принадлежащие этому телу, то расстояние, находящееся между ними будет являться неизменным.

В данной теме важными моментами будут являться:

— Определение характеристик и описания движения твёрдых тел;

— Определение характеристик и описания движения некоторых точек в пределах твёрдого тела.

Считают, что твёрдое тело двигается в следующих направлениях:

— Вокруг определённой точки;

— В произвольном направлении.

В ходе подготовки к ЕГЭ по физике, следует учитывать, что в школьной программе рассматривают только вышеописанные виды движения.

Поступательное движение

Итак, рассмотрим тему поступательного движения. Такой вид движения называют поступательным, если на этом теле возможно протянуть прямую, проходящую через две точки. При этом, прямая должна двигаться в параллельном направлении по отношению к своему исходному положению.

Поступательно двигается любое тело, если его движение проходит по прямой линии и все точки на этом теле будут описывать траекторию окружности либо прямой линии.

Разберём несколько примеров поступательного движения:

— Движение отделения шкафа;

— Колесо обозрения (в данном случае это пример криволинейного движения).

В процессе движения, являющегося поступательным, все точки тела описывают равные траектории, а также имеют одну и ту же для всех точек скорость и ускорение.

Вращательное движение

Вращательным движение тела по отношению к оси, являющейся неподвижной называют движение всех точек тела, которые находятся в плоскости и перпендикулярны прямой, которая неподвижна и называется осью вращения, а также описывания центров окружности, находящихся на данной оси.

Данный вид движения характеризуют две точки и прямая, проходящая через данные точки. При этом если прямая является неподвижной, а точки тела двигаются относительно неё, то это движение будет являться вращательным.

Если тело вращается вокруг прямой, то эта прямая будет являться осью вращения.

Примерами тел вращательного движения являются: юла, колёса велосипеда, а также вращение нашей планеты вокруг своей оси.

Для этого вида движения правдивы все формулы, используемые для точки, которая двигается по окружности.

Формула для вычисления:

При этом, ω = ω ( t ) – является угловой скоростью.

Рассмотрим пример решения задачи по данной теме.

Условие: известно, что изменение угловой скорости является пропорциональным t2, угол исходного поворота равен 2 рад., для этого момента времени t1 = 3, а угловое ускорение ε = — 5п 1 / с^2.

Найти: закон вращения данного тела, совершаемого вокруг оси.

Решение: Обозначим неопределённый коэффициент k, получаем: ω = kt^2.

Далее следует найти ε, возьмём из двух частей неравенства производные по времени: ε = d ω / dt = 2kt.

Затем будем определять k, из условия сказано, что t1 = 3 секундам, значит: ε1 = -5п 1 / с^2.

-5п = 2k * 3 либо k = — 5 / 6 п.

Подставляем k в уравнение: ω = — 5 / 6п^2.

Помним, что ω = d ω / dt.

Умножаем две части на dt: ω = — 5 / 18п^3 + с.

В исходный момент времени t = 0, ω0 = 2 рад, получаем с = 2.

Значит, ω = — 5 / 18п^3 + 2 радиан.

Таким образом, мы закончили рассмотрение раздела кинематики ЕГЭ по физике, рассмотрели три темы, включающие свободное падение, движение точек относительно окружности, виды их скоростей, виды движений твёрдых тел, а также решили задачи по данным темам. Подготовка к сдаче экзамена является важным моментом в завершении школьных программ и закреплении знаний выпускников. Рекомендуем также рассмотреть тренировочные задания ЕГЭ по физике 2020, их вы можете найти на нашем сайте.

Оставить Комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Выбери тему

Самые популярные записи

• Наука. Основные особенности научного мышления. Естественные и социально гуманитарные науки (3 366)
• ЕГЭ по обществознанию: мышление и деятельность; потребности и интересы (2 263)
• Строение растения. Стебель, лист и цветок. (2 248)
• Свобода и необходимость в человеческой деятельности. Свобода и ответственность. (2 221)

StudyWay

Помощь

© 2021 StudyWay. Все права защищены.

Ты можешь попробовать 3 наших закрытых занятия из курса «Прорыв».

Записаться можно через Instagram

Для этого напиши в Direct (в личку) кодовое слово «Пробный«

Что за курс и что тебя там будет ждать?

12 мощнейших онлайн занятий по 2 часа в формате вебинаров.
Содержание вебинара: повторение предыдущей темы, теория, перерыв и практика.

Воркбук (рабочая тетрадь)абсолютно к каждому уроку со всей необходимой теорией к этой теме и практикой.

Личный куратор — это твой помощник во всех учебных вопросах.
Они занимаются проверкой твоих домашних заданий, поддерживают и мотивируют двигаться дальше, даже когда хочется сдаться.

На собственной онлайн платформе тебя ждут
Домашние задания, которые необходимо решать после каждого занятия.
Все задания построены на базе создателей ЕГЭ — Котова / Лискова.

К каждому тестовому вопросу будет подробный разбор от главного куратора.
А задания, где необходимо оценить ответ (вторая часть) — будет проверять твой личный куратор и писать подробный комментарий про ошибки

Общий чат единомышленников, поделенный на команды.
Название даете совместно (например «Воробушки»)

Ты будешь двигаться сообща с однокурсниками, поддерживая и мотивируя друг друга.
За лучшую командную успеваемость всей команде будут выделены призы в конце каждого месяца (скидка на обучение, стикерпаки и т.д).

Личный помощник — это твой верный друг и помощник, который поможет тебе со всеми техническими вопросами, ответит на вопросы про поступление, да и просто может обсудить какие-то личные вопросы, поделиться переживаниями.

Доступ к уникальной «Академии косатиков».

Там ты сможешь найти:
Банк теории, банк планов, банк аргументов, курсы по работе со всей второй частью, термины, курсы по саморазвитию, полезные лайфхаки и всю подробную информация о ЕГЭ.

Игровая система на нашей платформе StudyWay👇

За выполнение заданий получаешь баллы (XP).

При достижении нового уровня у тебя открываются новые персонажи из Marvel, DC Comics, Игра престолов и Star Wars, а также на каждом новом уровне тебя ждут призы от нашей школы.

Основная ценность курса
1. Изучение теории и практики с учетом изменений в ЕГЭ 2022
2. Заложение фундамента и основы предмета
3. Прохождение всей теории для первой части
4. Нарешивание всех возможных типов заданий
5. Повышение результата с 0 до 60 баллов

Отличия тарифа «Стандарт от «Профи».

Дополнительные домашние задания
необходимо выполнять. Это значительно повысит твою успеваемость и улучшит показатели.

Дополнительное объяснение
твой личный куратор объяснит тебе тему повторно, если останется что-то не понятным

Групповые зачеты
у тебя будут зачеты с твоим личным куратором в мини группах по 5 человек. Там спрашиваются пройденные темы, термины и так далее.

Карта памяти
будешь восполнять все пройденные в удобной интеллект карте и в конце учебы у тебя выйдет файл с полноценной теорией по всем темам и разделам.

Персональный звонок куратору
1 раз в месяц ты можешь позвонить своему куратору и обсудить все волнующие тебя вопросы в течении 20 минут.

Секретный квест
1 раз в месяц ты будешь созваниваться с другим учеником курса и проводить совместные зачеты, тем самым познакомишься с новыми ребятами из других городов, уберешь страхи знакомства, повторишь и закрепишь пройденные темы.