Найти уравнение и длину высоты параллелограмма

По какой формуле вычисляется высота параллелограмма? Геометрия

Содержание:

К параллелограммам относят четырёхугольники с попарно параллельными сторонами. Частными случаями таких геометрических фигур являются квадраты, ромбы и прямоугольники. В публикации рассмотрим, что такое высота параллелограмма, как её провести и вычислить через стороны, диагонали и углы. Рассмотрим признаки и свойства фигуры.

Особенности геометрической фигуры

Определение высоты параллелограмма

Высота параллелограмма – это перпендикуляр – линия, опущенная из одной стороны на другую, противоположную или параллельную ей. Обозначится двумя буквами, например, DE, либо одной – h.

Перпендикуляр проводится не из каждой точки геометрической фигуры, ведь иногда находится за её пределами. Тогда высоту (BE) опускают на продолжение стороны (CE).

Как провести высоту в параллелограмме

Для построения высоты одна сторона угольника ставится на основание, перпендикулярная ей пересекает противоположную в месте, где будет проводиться перпендикуляр. Точки, принадлежащие параллелограмму, соединяются.

В итоге получается высота FG.

Также она может проводиться с одной боковой стороны на вторую.

Все формулы высоты параллелограмма

Как найти высоту параллелограмма, зная его стороны

Высота – отношение площади геометрической фигуры к длине стороны, из которой опущен перпендикуляр:

• S = площадь фигуры;
• a – размер основания, на который опущен перпендикуляр.

Вторая формула вычисления высоты параллелограмма: через стороны и угол. Равняется произведению стороны на угол, который она образовывает с основанием, куда опущена высота.

Узнать высоту параллелограмма можно, зная один из катетов и гипотенузу треугольника, который она образовывает, по теореме Пифагора. Равняется квадратному корню разности квадратов боковой стороны и отрезка, отсекающего высотой от основания – катета прямоугольного треугольника:

Она же применяется, когда даны или можно вычислить диагональ правильного четырёхугольника – гипотенузу треугольника, который образуется благодаря высоте, и его катет. Равняется корню квадратному из разности возведённых в квадрат диагонали и отрезка между основанием высоты и диагональю.

Существует более сложная формула, позволяющая найти одну высоту параллелограмма через другую и стороны. Обратно пропорциональное отношение одной высоты ко второй равно соотношению длин оснований:

Задача

Дан параллелограмм с высотой BE, проведённой из тупого угла 4-угольника. Она делит основание на равные отрезки. Острый угол между ней и стороной равен 30°, а диагональ, проведённая между вершинами тупых углов – 10 см. Вычислить h геометрической фигуры и градусную меру ∠ABD.

Начнём из рассмотрения получившихся треугольников: ABE, BED – в соответствии с первым признаком их равенства, эти 3-угольники равны между собой: имеют равные катеты AE = ED и углы BEA = BED = 90°. Отсюда следует, что AB = BD. Получим равнобедренный треугольник BDA с равными 30° углами при основании: BAD = BDA.

Расположенный накрест угол при параллельных отрезках DA с CB тоже равняется 30°.

Присмотримся к треугольнику ABE. Сумма углов равна 180°. Если один угол прямой, второй – 30°, значит третий – ABE – находится по формуле: ABE = 80 – 90 – 30 = 60°. Он такой, как DBE = 60°.

∠ABD = ∠ABE + ∠DBE = 60 = 60 = 120°.

∠CDB = ∠ABD = 120° ведь он внутренний накрест лежащий.

Для нахождения высоты параллелограмма подойдёт формула:

EB / DB = cos (EBD), градусная мера EBD = 60°.

DB из условий задачи равняется 10 см. Подставим в формулу.

Формулы параллелограмма

Для расчёта всех основных параметров параллелограмма воспользуйтесь калькулятором.

Признаки и свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллельны и равны.
2. Противоположные углы равны
3. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.
4. Сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°
5. В четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон
6. Сумма углов параллелограмма равна 360°
7. Каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника
8. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны
9. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)

Формулы стороны параллелограмма

Длины сторон через диагонали и угол между ними

Длина стороны через диагонали и известную сторону

Длины сторон через высоты и угол между сторонами

Формулы диагоналей параллелограмма

Длина диагонали через стороны и углы между ними

Длина диагонали через стороны и известную диагональ

Длина диагонали через площадь параллелограмма, известную диагональ и угол между диагоналями

Формулы углов параллелограмма

Косинус острого угла

Косинус тупого угла

Синус острого и тупого угла через площадь и стороны параллелограмма

Формулы углов между диагоналями параллелограмма

Косинус острого угла через стороны и диагонали

Косинус тупого угла через стороны и диагонали

Синус острого и тупого угла через площадь и диагонали

Высота параллелограмма — формулы и свойства. Висота паралелограма — формули і властивості

Позначення у формулах еквівалентні позначенням на малюнках, а саме:
а — сторони, паралелограма, паралельні один одному
b — бічні сторони паралелограма
h — висота паралелограма
d — дiагональ паралелограма
S — площа паралелограма
α — гострий кут при основі паралелограма

Висота паралелограма дорівнює співвідношенню площі до підстави (Формула 1)

Висота паралелограма дорівнює твору бічної сторони на синус кута при його основі (Формула 2)

Співвідношення підстав паралелограма дорівнює обернено пропорційному співвідношенню висот, опущених на відповідні сторони (Формула 3)

Висоти паралелограма, опущені з однієї вершини, утворюють кут, рівний куту паралелограма при сусідній вершині (Малюнок 2)

Висота паралелограма рівна, корню з різниці квадрата бічної сторони і квадрата довжини відрізка, створюючого прямокутний трикутник, іншими сторонами якого є бічна сторона і висота (Формула 4)

Висота паралелограма дорівнює корню з різниці квадрата діагоналі, з якої опущена висота і квадрата довжини відрізка між точкою, з якої проведена діагональ і точкою пересічення висоти і основання (Формула 5)

Задача

Висота паралелограма проведена з вершини тупого кута і дорівнює 5 см. Висота ділить сторону парелелограма навпіл. Гострий кут паралелограма доривнюе 30 градусів. Знайдіть діагональ паралелограма, проведену з вершини тупого кута, и кути, яки вона утворює зі сторонами паралелограма.

Высота параллелограмма проведена из вершины тупого угла и равняется 5 см. Высота делит сторону параллелограмма пополам. Острый угол равняется 30 градусам. Найдите диагональ параллелограмма, проведенную из вершины тупого угла и углы, которые она образует со сторонами параллелограмма.

Решение.

Поскольку, по условию задачи, AE=ED, то треугольники ABE и DBE равны между собой (по первому признаку равенства треугольников: равны две стороны и угол между ними, AE=ED и BE — общая сторона, а BE образует с AD угол 90 градусов). Таким образом, угол ADB равен 30 градусам. Соответственно, угол DBC также равен 30 градусам как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD.

Из прямоугольного треугольника ABE определим, что угол ABE равен 180 — 90 — 30 = 60 градусов. Откуда (из равенства треугольников ABE и DBE) угол EBD также равен 60 градусов. Таким образом, диагональ образует со вторым основанием угол ABD = 60 + 60 = 120 градусов. BDC = ABD = 120 градусов как внутренние накрест лежащие.

Найдем длину диагонали.
BE / BD = cos ∠EBD
BE / BD = cos 60
Подставим значение косинуса 60 градусов и получим:
BE / BD = 1/2
По условию задачи BE = 5 см, откуда
5 / BD = 1/2
BD = 10

Ответ: длина диагонали параллелограмма равна 10 см, углы, которые образует диагональ с основаниями равны 30 и 120 градусов.