Найти уравнение кривой второго порядка проходящей через точки

Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а — правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р — положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число — мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а — его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

— каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Кривые второго порядка

Кривая второго порядка — это некоторая линия на плоскости, которая в декартовой системе координат задается общим уравнением:

Имеем дело с уравнением второй степени, в котором коэффициенты при старших членах — при вторых степенях одновременно не нули.

или можно встретить следующую форму записи:

К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Покажем на примере определение значений коэффициентов.

Рассмотрим кривую второго порядка:

Вычислим определитель из коэффициентов:

Если Δ = 0, кривая второго порядка параболического типа,

если Δ > 0, кривая второго порядка эллиптического типа,

если Δ F₁ и F₂ — фокусы.

с — фокальное расстояние,

Каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат:

2а — большая ось эллипса, 2b — малая ось эллипса.

а — большая полуось эллипса, b — малая полуось эллипса.

Если a = b, то имеем окружность с радиусов R = a = b:

Если центр эллипса находится не в начале координат, а в некоторой точке C(x₀;y₀), оси эллипса параллельны осям координат, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Эксцентриситет — число, равное отношению фокального расстояния к большей полуоси:

Эксцентриситет характеризует отклонение эллипса от окружности, т.е. чем эксцентриситет больше, тем эллипс более сплющен, вытянут.

Гипербола — множество точек на плоскости для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная, меньшая расстояния между этими точками.

с — фокальное расстояние,

Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.

Каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат:

x — действительная ось, y — мнимая ось.

а — действительная полуось, b — мнимая полуось.

Если центр гиперболы находится в некоторой точке C(x₀;y₀), оси симметрии параллельны осям координат, то каноническое уравнение имеет вид:

Эксцентриситет гиперболы — число, равное отношению фокусного расстояния к действительной полуоси.

Чем эксцентриситет меньше, тем гипербола более вытянута, сплюшена вдоль оси Ох.

Директриса гиперболы — прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящая от нее на расстоянии a/Ε.

f₁ — правая директриса, f₂ — левая директриса.

Порядок построения гиперболы :

1. Строим прямоугольник со сторонами 2a и 2b.

2. Провести асимптоты гиперболы — диагонали построенного прямоугольника.

3. Строим гиперболу с вершинами в точках А 1 (-а;0), А 2 (а;0).

Парабола — множество точек на плоскости для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой f.

F — фокус параболы, f — директриса параболы.

Уравнение кривой второго порядка

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Диаметры кривой. Главные оси. Асимптоты. Уравнение кривой, отнесенной к сопряженным направлениям; уравнение кривой, отнесенной к асимптотам.

Если в кривой второго порядка провести все хорды одного и того же направления, то геометрическое место середин этих хорд представит некоторую прямую, которую называют диаметром, сопряженным данным хордам. Уравнение диаметра:

где есть угловой коэффициент сопряженных хорд. Меняя , т.е. меняя направление хорд, получим бесчисленное множество диаметров; все они проходят через центр кривой. У параболы все диаметры параллельны между собой.

Направление хорд и направление сопряженного им диаметра называются сопряженными направлениями относительно данной кривой. Зависимость между двумя сопряженными направлениями следующая:

Сопряженными диаметрами называются такие два диаметра, из которых каждый делит пополам хорды, параллельные другому. У параболы сопряженных диаметров нет, так как все диаметры имеют одно и тоже направление.

Главными осями кривой называются диаметры, перпендикулярные к сопряженным хордам; их направления называются главными направлениями.

В случае прямоугольной системы координат главные направления определяются из уравнения:

где – угол между одним из главных направлений и направлением оси .

В случае косоугольной системы координат имеем:

Всякая кривая второго порядка имеет два главных направления, за исключением окружности, для которой главные направления неопределенные.

Угловой коэффициент определяется для всех диаметров параболы по формуле:

если для старших коэффициентов параболы введены обозначения:

Главная ось параболы как один из ее диаметров имеет это же направление и в случае прямоугольных координат она изображается уравнением

Второе главное направление параболы перпендикулярно к ее диаметрам, но второй главной оси у параболы нет. Если отнести кривую у двум сопряженным направлениям, т.е. выбрать за оси координат прямые, имеющие сопряженные направления относительно этой кривой, то в уравнение кривой не войдет член с произведением координат (). У параболы кроме того, исчезнет ещё один из старших членов ().

Если центральную кривую отнести к двум сопряженным диаметрам (или к главным осям), то уравнение ее примет вид:

Простейшее уравнение параболы мы получим, поместив начало координат в вершину, т.е. в точку пересечения параболы с главной осью (), выбрав главную ось за ось абсцисс (, и ) и касательную в вершине (она перпендикулярна к оси) за ось ординат:

При таком же выборе осей координат центральная кривая изобразится уравнением

Асимптоты кривой можно рассматривать как те ее диаметры, которые сами себе сопряжены. Угловые коэффициенты асимптот определяются из уравнения

Асимптоты могут быть только у центральных кривых: гипербола имеет две действительные асимптоты, эллипс – две мнимые; в случае пересекающихся прямых асимптоты совпадают с этими прямыми.

Если принять асимптоты гиперболы за оси координат, то уравнение этой гиперболы примет вид:

587. Найти два сопряженных диаметра кривой , из которых один проходит через начало координат.

Решение . Данная кривая центральная, потому что . Уравнение всякого ее диаметра будет где — угловой коэффициент сопряженного диаметра. Так как искомый диаметр проходит через начало координат, то свободный член его уравнения должен равняться нулю, т.е. откуда . Вставив это значение параметра в общее уравнение диаметра и преобразовав его, получим: . Это уравнение одного из искомых диаметров; его угловой коэффициент ; следовательно, уравнение сопряженного диаметра будет:

588. Через точку (1;-2) проведен диаметр кривой . Найти уравнение этого диаметра и диаметра ему сопряженного.

589. Дана кривая . Найти ее диаметр, параллельный оси абсцисс, и диаметр, ему сопряженный.

590. Найти два сопряженных диаметра кривой , из которых один параллелен оси ординат.

591. Дана кривая и один из ее диаметров . Найти диаметр, ему сопряженный.

592. Составить уравнение диаметра кривой , параллельного прямой .

593. Определить диаметр кривой , образующий угол в с осью абсцисс. Угол .

594. Дана кривая: . Найти геометрическое место середин ее хорд: 1) параллельных оси ; 2) параллельных оси ; 3) параллельных прямой .

595. Найти диаметр кривой , проходжящей через середину хорды, отсекаемой этой кривой на прямой .

596. Найти середину хорды, отсекаемой кривой на прямой .

597. Найти такие сопряженные диаметры кривой , которые образуют между собой угол в . Угол .

598. Найти зависимость между угловыми коэффициентами прямых, имеющих сопряженные направления относительно:

1) эллипса ; 2) гиперболы .

599. Через точку (1;-3) провести хорду эллипса , сопряженную диаметру .

600. Найти направления и длину двух сопряженных диаметров эллипса , из которых один проходит через точку (2;3).

601. Найти угол между двумя сопряженными диаметрами эллипса , из которых один образует угол в с большой осью.

602. Определить длину тех сопряженных диаметров эллипса , которые образуют между собой угол .

Указание . В этой задаче удобно воспользоваться теоремами Аполлония: и , где и – полуоси эллипса; и — сопряженные полудиаметры его; – угол между этими сопряженными диаметрами.

603. Даны размеры двух сопряженных диаметров эллипса и и угол между ними . Вычислить длину его осей.

604. Определить угол между двумя сопряженными диаметрами гиперболы , зная, что действительный из этих диаметров втрое больше действительной оси.

605. Найти уравнения двух сопряженных диаметров гиперболы , угол между которыми равняется .

606. Дана парабола: . Написать уравнение диаметра этой параболы:

1) проходящего через начало координат;

2) сопряженного хордам, параллельным оси ;

3) сопряженного хордам, параллельным оси ;

4) образующего угол с сопряженными хордами;

5) перпендикулярного к сопряженным хордам.

Во всех случаях угол

607. Найти диаметр параболы , сопряженный тем хордам, которые наклонены под углом в к оси параболы.

608. Написать уравнение диаметра параболы , сопряженного с прямой .

609. Найти главные оси кривых:

Во всех случаях угол

610. Каковы будут главные оси распавшейся центральной кривой?

611. Найти ось параболы .

Решение . Все диаметры данной параболы имеют угловой коэффициент . Ось параболы есть диаметр, сопряженный перпендикулярным хордам, т.е. хордам с угловым коэффициентом (система координат предполагается прямоугольной). Уравнение всякого диаметра этой параболы будет при мы получим уравнение оси: .

612. Найти ось симметрии и вершину каждой из следующих парабол:

Во всех случаях угол

Указание . Вершина параболы находится как точка пересечение параболы с ее осью.

613. Найти общий диаметр двух кривых:

614. Составить уравнение кривой второго порядка, проходящей через начало координат, если известны две пары сопряженных ее диаметров:

Решение . Угловые коэффициенты сопряженных диаметров удовлетворяют уравнению: . Угловые коэффициенты данных диаметров: и , , ; вставляя эти значения в указанное уравнение, получим:

Координаты центра искомой кривой мы можем определить, решая совместно уравнения двух диаметров: , . Эти координаты должны удовлетворять уравнениям: и которые данном случае перепишутся так: и ; вставим вместо : и вычисленные их значения и тогда получим: и . Кроме того, кривая проходит через начало координат; значит, , и уравнение кривой будет:

615. Две пары прямых:

служат сопряженными диаметрами кривой второго порядка. Составить уравнение этой кривой, зная, что она проходит через точку (1;1).

616. Выяснить особенности в выборе осей координат, если кривые даны следующими уравнениями:

617. Относительно некоторой прямоугольной системы координат кривая дана уравнением: . Преобразовать это уравнение, приняв за оси координат главные оси кривой.

618. Отнести к главным осям кривые, данные относительно прямоугольной системы координат уравнениями:

619. Уравнение кривой, отнесенной к двум сопряженным диаметрам, составляющим угол , имеет вид: . Найти уравнение той же кривой относительно ее главных осей.

620. Отнести к главным осям кривые:

621. Выяснить особенности в выборе осей координат, если параболы даны следующими уравнениями:

622. привести к простейшему виду уравнение параболы ; .

623. Привести к простейшему виду уравнения следующих парабол:

624. Отнести к вершине следующие центральные кривые:

Во всех случаях .

625. Найти асимптоты следующих гипербол:

626. Доказать, что все кривые, уравнения которых отличаются друг от друга только свободными членами, имеют общие асимптоты. Найти, например, асимптоты кривых при различных значениях параметра λ.

627. Доказать, что если две кривые имеют общие асимптоты, то все члены их уравнений, кроме свободных членов, имеют пропорциональные коэффициенты.

628. Составить общее уравнение для всех кривых. Имеющих прямые и своими асимптотами.

629. кривая второго порядка проходит через точку (1;-1) и имеет своими асимптотами две прямые: и . Составить уравнение этой кривой.

630. Составить уравнение кривой, касающейся прямой и имеющей прямые и своими асимптотами.

630*. Какому условию удовлетворяют коэффициенты общего уравнения гиперболы, если гипербола равносторонняя?

631. Какой вид имеет уравнение гиперболы, если одна из осей координат или обе оси параллельны асимптотам?

632. Составить уравнение гиперболы, проходящей через точки (2;1), (-1;-2) и (), при условии, что одна из ее асимптот совпадает с осью абсцисс.

633. Уравнение гиперболы, отнесенной к главным осям, имеет вид: . Преобразовать это уравнение, приняв асимптоты гиперболы за новые оси координат.

634. Отнести гиперболу к ее асимптотам.

635. Как преобразуется уравнение гиперболы , если за оси координат принять ее асимптоты? Угол .

636. Сколько членов второй степени и какие именно могут войти в уравнение: 1) эллипса4 2) гиперболы; 3) параболы?

Преобразование уравнения кривой второго порядка с помощью инвариантов.

Если одна и та же кривая второго порядка, отнесенная к двум различным произвольно выбранным системам координат с координатными углами и , изображается уравнениями:

то имеют место следующие равенства:

т.е. существуют выражения, составленные из коэффициентов уравнения кривой и соответствующего координатного угла, которые не меняют своей величины ни при каком преобразовании декартовых координат. Такие выражения называются инвариантами кривой второго порядка. Мы можем пользоваться тремя вышеприведенными инвариантами:

для упрощения уравнений кривой второго порядка, если только уравнение кривой после преобразования содержит не более трех коэффициентов.

637. Пользуясь инвариантами, отнести к главным осям кривую , зная что .

Решение . Искомое уравнение имеет следующий вид:

Для прямоугольных систем координат инварианты упрощаются, так как и , и мы будем иметь: ; . Найдем числовое значение этих инвариантов, исходя из данного уравнения:

Составим теперь выражения этих же инвариантов через коэффициенты преобразованного уравнения: . Так как инварианты не меняют своей величины при преобразовании координат, то мы можем приравнять между собой найденные для них выражения, содержащие коэффициенты первоначального и преобразованного уравнения;. Из этой системы уравнений мы определяем неизвестные коэффициенты преобразованного уравнения: ;, и искомое уравнение будет . Таким образом, пользуясь инвариантами, можно привести уравнение кривой к простейшему виду, не отыскивая ее центра, осей и не составляя формул преобразования координат.

638. Пользуясь инвариантами, привести к простейшему виду уравнения следующих кривых:

при условии, что все они отнесены к прямоугольной системе координат.

639. Пользуясь инвариантами, упростить уравнения следующих кривых:

Во всех случаях .

640. Упростить уравнения следующих кривых:

640*. Отнести к главным осям кривую , если известно, что .

641. Отнести гиперболу к ее асимптотам, пользуясь инвариантами. Угол .

Решение . Уравнение кривой, отнесенной к асимптотам, имеет вид:

Нам надо найти два неизвестных коэффициента , и новый координатный угол , т.е. угол между асимптотами. Найдем числовую величину инвариантов, пользуясь данным уравнением, при , : . Выражения этих инвариантов в новых коэффициентах будут:

Для определения трех величин , и имеем три уравнения:

Решив их, получим: , ; и ; искомое уравнение будет: . Выбираем направление осей так, чтобы гипербола была расположена в нормальном угле и вертикальном к нему угле; тогда после упрощений получим: .

642. Отнести к асимптотам гиперболы, данные относительно прямоугольной системы координат уравнениями:

643. Относительно некоторой прямоугольной системы координат кривая изображается уравнением . Составить уравнение этой же кривой относительно ее вершины.

Указание . Отнести кривую к вершине – значит принять одну из осей кривой за ось абсцисс, перенести начало координат в вершину и принять касательную в вершине за ось ординат.