Найти уравнение окружности проходящей через фокус параболы

Лекция по математике: линии второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Лекция по математике.

Тема линии второго порядка.

Просмотр содержимого документа
«Лекция по математике: линии второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.»

Раздел 1. Элементы аналитической геометрии.

Тема 1.3 Кривые второго порядка.

Тема занятия: линии второго порядка: окружность; эллипс; гипербола; парабола.

1. Понятие линии второго порядка.

2.Окружность и её уравнение.

3. Эллипс и его уравнение.

4. Гипербола и её уравнение.

5. Парабола и её уравнение.

1. Понятие линии второго порядка.

Всякая кривая второго порядка относительно декартовых координат задается уравнением:

, (18)

Это уравнение задает окружность, эллипс, параболу или гиперболу в зависимости от соотношений между его коэффициентами. Например, если в уравнении: a₁₁= a₂₂ и a₁₂=0, то оно является уравнением окружности.

Если уравнение (18) разлагается на два линейных множителя, то в этом случае оно определяет пару прямых, которые могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

2.Окружность и её уравнение.

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой фиксированной точки плоскости, называемой ее центром.

Каноническое уравнение окружности имеет вид:

, (19)

Где(a,b)– координаты центра, а R– радиус окружности.

Пример 1. Найти центр и радиус окружности

.

Решение. Выделяя полные квадраты по x и по y, приведем уравнение к виду

,

откуда, сравнивая с (19), находим C(3; -1)и R = 6.

Пример 2. Составить уравнение окружности, проходящей через три точки , , .

Решение. Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных через середины хорд. Точка М₁(-1;2) – середина хорды АВ, а

М₁( 1;4) – середина АС и

, .

Уравнения перпендикуляров к хордам АВ и АС, проходящих через их середины, имеют вид:

и

или

и .

Точка пересечения этих прямых Р(-1;2).

Для нахождения радиуса найдем расстояние между точками и :

.

Запишем уравнение окружности:

.

3. Эллипс и его уравнение.

Определение. Эллипсом называется геометрическое место всех точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение эллипса:

,

Где а– большая полуось, в– малая полуось,

– эксцентриситет эллипса.

Прямую, на которой расположены фокусы эллипса F₁ u F₂, называют фокальной осью, а

и – фокальными радиусами.

Прямые x= называют директрисами эллипса.

Пример 3. Убедитесь, что уравнение

определяет эллипс. Найдите полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис.

Решение. Приведем уравнение

к каноническому виду

откуда , . Из условия найдем , то есть .

Тогда , а уравнение директрис x= (±25)/ .

Пример 4. Доказать, что уравнение

определяет эллипс. Найти координаты его центра симметрии.

Решение. Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты по и по :

Обозначим , где – новые переменные. Тогда уравнение примет вид или, приводя к каноническому виду, .

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (20) убеждаемся, что кривая – эллипс. Центр его симметрии находится в точке (-2;2).

4. Гипербола и её уравнение.

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек и плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение гиперболы:

Точки , называются вершинами гиперболы, прямые являются асимптотами гиперболы, – действительная полуось, – мнимая полуось, – эксцентриситет гиперболы, прямые – ее директрисы.

Пример 5. Написать уравнение гиперболы и ее асимптот, если фокусы гиперболы находятся в точках и длина вещественной оси равна 6.

Решение. По условию , тогда из формулы найдем . Каноническое уравнение гиперболы: уравнения асимптот: .

Пример 6. Написать уравнение гиперболы, проходящей через точку , асимптоты которой .

Решение. Из уравнения асимптот следует, что . Уравнение гиперболы будем искать в виде . Так как точка лежит на гиперболе, то . Решая систему найдем , . Получаем или .

Пример 7. Доказать, что уравнение определяет гиперболу. Написать уравнения ее асимптот.

Решение. Выделим полные квадраты по и по :

Обозначая и деля обе части уравнения на 9, получим каноническое уравнение , откуда следует, что , центр находится в точке то есть . Учитывая, что асимптоты проходят через точку и , запишем их уравнения:

5. Парабола и её уравнение.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы

Где (параметр параболы) – расстояние между фокусом и директрисой, а уравнение ее директрисы .

Так как уравнение параболы содержит , то она симметрична относительно оси . Ось симметрии параболы называется осью параболы.

Вершиной параболы называется точка пересечения параболы с ее осью симметрии.

Пример 8. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку и симметрична относительно оси . Написать ее каноническое уравнение.

Решение. Подставляя координаты точки в уравнение (22), найдем, что . Значит, уравнение параболы .

Пример 9. Доказать, что уравнение определяет параболу. Найти значение ее параметра и координаты вершины.

Решение. Выделяя полный квадрат, получим . Если положить то уравнение примет вид . Сравнивая его с каноническим уравнением (22), находим , откуда . Вершина параболы находится в точке , , то есть .

Для самостоятельного решения.

1. Найти координаты центра и радиус окружности .

2. Составить уравнение окружности, если она проходит через точки и , а центр ее лежит на прямой .

3. Найти площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса , а две другие совпадают с концами его малой оси.

4. Составить уравнение хорды параболы , которая проходит через ее вершину перпендикулярно прямой .

5. На параболе найти точку , ближайшую к прямой , и вычислить расстояние от точки до прямой.

6. Найти площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы и прямой .

7. Дана окружность . Найти уравнение радиусов, проведенных из центра в точки пересечения окружности с осью ординат, а также угол между этими радиусами.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Охарактеризуйте уравнение линии второго порядка.

2. Как проверить лежит ли точка на линии?

3. Охарактеризуйте окружность и запишите её уравнение.

4.При каких условиях уравнение линии второго порядка определяет окружность?

5. Охарактеризуйте эллипс и запишите его уравнение

6. Что характеризует эксцентриситет эллипса?

7. При каких условиях уравнение линии второго порядка определяет гиперболу?

8.Какую роль играют асимптоты для гиперболы?

9. Охарактеризуйте параболу и запишите его уравнение

10.При каких условиях уравнение линии второго порядка определяет параболу?

Конспекты :»Кривые второго порядка»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

1. Окружность и ее уравнение

Кривая второго порядка – линия на плоскости, задаваемая уравнением: Ах 2 +2Вху+Су 2 +2Dx+2Ey+F=0 , где коэффициенты А, В, С, D, E, F – любые действительные числа при условии, что А, В, С одновременно не равны нулю.

Выделяют следующие кривые второго порядка:

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром.

Пусть центром окружности является точка О ( a;b ), а расстояние до любой точки М ( x;y ) окружности равно R (рис.1). Составим уравнение окружности.

Расстояние от точки М до центра окружности можно найти, пользуясь формулой расстояния между точками:

Подставив в это выражение координаты точек М и О ,получим:

Поскольку расстояние ОМ равно радиусу R , следовательно, R = .

Возведём обе части уравнения в квадрат:

Это уравнение называется каноническим уравнением окружности с центром О ( a ; b ) и радиусом R .

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение окружности имеет вид: x 2 + y 2 = R 2 .

Пример 1 Составьте уравнение окружности с центром О (3; -2) и радиусом r = 5.

Решение: Подставив a =3, b =-2 и r = 5 в каноническое уравнение окружности , получим: .

Пример 2 Запишите уравнение окружности с центром в точке М(-3;1), которая проходит через точку К(-1;5)

Подставим значения в уравнение окружности

Составьте уравнение окружности

А. О(-2;1) R =4 Б. М ( 1; -4) , R = 2; В. М ( 0; -5) , R = 3; Г. О (-3;2), R =4.

Составьте уравнение окружности с центром в точке М (1; -4), проходящей через точку А(0; 3).

Определите по уравнению окружности координаты ее центра и радиус :

А) (Х+2)² + ( У – 5)² = 49 Б) (Х+7)² + ( У + 1)² = 36

В) (Х- 6)² + ( У + 15)² = 81 Г) Х ² + ( У -9)² = 2

Эллипс и его уравнение

Эллипсом называется множество точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами ) есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы эллипса принято обозначат буквами F 1 и F 2 , расстояние между фокусами – через 2с , сумму расстояний от любой точки эллипса до фокусов- через 2а (2а).

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Где a , b , c – связаннымежду собой равенством или .

Рассмотрим два основных случая расположения эллипса относительно осей координат. Эти случаи представлены в следующей таблице:

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большей оси. Эксцентриситет обозначается буквой .

Так как по определению 2 a , то эксцентриситет всегда выражается правильной дробью, те 0

Если то эллипс сильно вытянут;

если же то эллипс имеет более круглую форму.

если то эллипс вырождается в окружность.

№ 1Найти координаты фокусов, длины осей и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением

Находим фокусы эллипса: а 2 =16 b 2 =32

Откуда а=4; b =или 4.

Так как b , то фокусы эллипса расположены на оси ординат

Находим длины осей:

Найти координаты фокусов, длины осей и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением:

Гипербола и ее уравнение

Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная.

Эта постоянная величина положительна и меньше расстояния меду фокусами.

Фокусы гиперболы принято обозначат буквами F 1 и F 2 , расстояние между фокусами – через 2с , постоянную разность между расстояниями от любой точки гиперболы до ее фокусов — через 2а (2а).

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

Где a , b , c – связанны между собой равенством .

Рассмотрим два основных случая расположения гиперболы относительно осей координат. Эти случаи представлены в следующей таблице:

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояние между фокусами к длине действительной оси.

Так как по определению 2а

Прямые называются асимптотами ; их уравнения имеет вид

№ 1 Найти координаты фокусов, длины осей, эксцентриситет и уравнения асимптот, если гипербола задана уравнением

Приведем уравнение к каноническому виду, т.е. разделим обе его части на 400

Самостоятельно: Найти координаты фокусов, длины осей, эксцентриситет и уравнения асимптот, если гипербола задана уравнением .

Парабола и ее уравнение

Параболой называется множество точек на плоскости, равноудаленных от заданной точки ( называемой фокусом ) и данной прямой ( называемой директрисой ).

Фокус параболы принято обозначать буквой F , директрису буквой d , расстояние от фокуса до директрисы — буквой p ( p ). Рассмотрим основные случаи расположения параболы относительно осей координат.

Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси абсцисс (рис.61,62), имеет вид

Эти два случая представлены в следующей таблице:

Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси ординат (рис.63,64), имеет вид

Эти два случая представлены в следующей таблице:

№1 Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением

№ 2 Найти каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты (0;-3).

Фокус параболы отрицателен, т.к. его координаты (0;-3) следовательно, уравнение параболы имеет вид (ветви параболы направлены вниз ).

Составляем уравнение параболы:

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 224 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 17.12.2018
• 254
• 0

• 17.12.2018
• 216
• 0

• 17.12.2018
• 216
• 0

• 17.12.2018
• 882
• 19

• 17.12.2018
• 387
• 6

• 17.12.2018
• 305
• 9

• 17.12.2018
• 686
• 13

• 17.12.2018
• 458
• 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 17.12.2018 5719
• DOCX 162.3 кбайт
• 89 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Фадина Кристина Валерьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 7 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 61112
• Всего материалов: 63

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Найти уравнение окружности проходящей через фокус параболы

Глава 20. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обозначается буквой F , расстояние от фокуса до директрисы — буквой р. Число р называется параметром параболы.

Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (рис.). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением

(1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы. В этой же системе координат директриса данной параболы имеет уравнение

.

Фокальный радиус произвольной точки М( x; y ) параболы (то есть длина отрезка F(M ) может быть вычислен по формуле

.

Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы с осью называется ее вершиной. При указанном выше выборе координатной системы ось параолы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит в правой полуплоскости.

Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат — с вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости (рис.), то ее уравнение будет иметь вид

(2)

В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение

(3)

если она лежит в верхней полуплоскости (рис.), и

(4)

если в нижней полуплоскости (рис.)

Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравнение (1), называется каноническим.