Симметричные окружности

Как найти уравнение окружности, симметричной данной?

Симметричные окружности имеют равные радиусы. Следовательно, остаётся найти координаты центра симметричной окружности (как точки, симметричной данной).

1) Окружность задана уравнением (x-3)²+(y+2)²=16. Составить уравнение окружности, симметричной данной относительно точки (7; 10).

Центр окружности (x-3)²+(y+2)²=16 — точка с координатами (3;-2). Найдём точку, симметричную ей относительно точки (7; 10).

Таким образом, центр окружности, симметричной данной, — точка с координатами (11;22). Подставляем в формулу уравнения окружности a=11, b=22, R²=16:

2) Окружность задана уравнением (x+5)²+(y+1)²=9. Составить уравнение окружности, симметричной данной относительно начала координат.

Центром данной окружности является точка (-5;-1). Точка, симметричная данной относительно начала координат — (5;1). Таким образом, для окружности, симметричной данной относительно точки O(0;0) a=5, b=1, R²=9:

3) Окружность задана уравнением (x-7)²+(y-2)²=12. Составить уравнение окружности, симметричной данной относительно прямой y=x.

Центр окружности (x-7)²+(y-2)²=12 — точка (7;2) — при симметрии относительно прямой y=x переходит в точку (2;7). Следовательно, a=2, b=7, R²=12 и искомое уравнение окружности:

4) Окружность задана уравнением (x+4)²+(y-5)²=19. Составить уравнение окружности, симметричной данной относительно прямой y=2x+4.

Центр окружности (x+4)²+(y-5)²=19 — точка (-4;5). Точку, симметричную точке (-4;5) относительно прямой y=2x+4, нашли в прошлый раз — (3,2; 1,4). Таким образом, a=3,2, b=1,4, R²=19 и уравнение симметричной окружности

5) Окружность задана уравнением (x+8)²+(y+3)²=4. Составить уравнение окружности, симметричной данной относительно прямой y= -1.

Центр окружности (x+8)²+(y+3)²=4 — (-8; -3). Точка, симметричная точке (-8; -3) относительно прямой y= -1, имеет такую же абсциссу, x= -8. Расстояние от точки (-8; -3) до прямой y= -1 равно -1-(-3)=2. Расстояние от прямой y= -1 до центра симметричной окружности также равно 2, отсюда -1+2=1 — это ордината центра. Таким образом, точка (-8; 1) — центр окружности, симметричной данной, а R²=4.

Следовательно, искомое уравнение окружности

Задачи с решениями

Окружность задана уравнением . Найти уравнение окружности, симметричной данной относительно начала координат.

Центральная симметрия относительно точки задается с помощью равенств , , откуда , . Подставляя эти значения в уравнение окружности, получаем: или . Искомое уравнение имеет вид: .

Уравнение с двумя переменными и его график. Уравнение окружности

п.1. Понятие уравнения с двумя переменными

Мы уже знакомы со многими функциями и умеем их записывать в виде формул:
y = 2x + 5 – прямая, y = 5x 2 + 2x – 1 – парабола, \(\mathrm\) – гипербола.

Если записать такое выражение: x 2 (x + y) = 1 – y – в нём тоже есть две переменные x и y, и постоянная 1.

Для наших примеров:
F(x; y) = 2x – y + 5 = 0 – прямая
F(x; y) = 5x 2 + 2x – y – 1 = 0 – парабола
F(x; y) = \(\mathrm<\frac1x>\) – y = 0 – гипербола
F(x; y)=x 2 (x + y) + y – 1 = 0 – некоторая кривая (график — ниже).

п.2. Обобщенные правила преобразования графика уравнения

Пусть F(x; y) = 0 – исходный график некоторой функции

Симметричное отображение относительно оси OY

Симметричное отображение относительно оси OX

Центральная симметрия относительно начала координат

Параллельный перенос графика на a единиц вправо

Параллельный перенос графика на a единиц влево

Параллельный перенос графика на b единиц вниз

Параллельный перенос графика на b единиц вверх

Сжатие графика к оси OY в a раз

Сжатие графика к оси OX в b раз

F(x; by) = 0
0 Например:

Окружность с центром в точке O(2; 1) и радиусом R = 3 задаётся уравнением: $$ \mathrm <(x-2)^2+(y-1)^2=9>$$

п.4. Примеры

Пример 1. Постройте график уравнения:
а) 2x + 7y – 14 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm<7>=-\frac<2> + 2 > \) – это прямая

б) xy + 4 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm> \) – это гипербола

в) ( x+ 2) 2 + y 2 = 4
Это – уравнение окружности с центром O(–2; 0), радиусом \( \mathrm=2> \)

г) x 2 + 5y – 2 = 0
Выразим y из уравнения: \( \mathrm<5>> \) – это парабола

Пример 2*. Постройте график уравнения:
а) 2|x| + 5y = 10
\( \mathrm<5>=-\frac25|x|+2> \)
Строим график для \( \mathrm \), а затем отражаем его относительно оси OY в левую полуплоскость.

б) 3x + |y| = 6
|y| = –3x + 6
Строим график для y > 0: y = –3x + 6, а затем отражаем его относительно оси OX в нижнюю полуплоскость.

в) |x| + |y| = 2
|y| = –|x| + 2
Строим график для x > 0, y > 0: y = –x + 2, а затем отражаем его относительно осей OX и OY.

г) |x – 1| + |y – 2| = 4
Получим тот же ромб (квадрат), что и в (в), но его центр будет перенесен из начала координат в точку O(1; 2).

д) \(\mathrm<\frac<|x-1|><2>+2|y-2|=4>\)
Ромб по x растянется в 2 раза по диагонали, а по y – сожмётся в 2 раза по диагонали.

Пример 3. Постройте график уравнения:
а) x 2 + y 2 + 4x – 6y + 4 = 0
Выделим полные квадраты:
(x 2 + 4x + 4) + (y 2 – 6y + 9) – 9 = 0
(x + 2) 2 + (y – 3) 2 = 3 2 – уравнение окружности с центром (–2; 3), радиусом 3.