Найти уравнение оси симметрии графика

Как найти ось симметрии квадратичной функции

Как найти ось симметрии квадратичной функции — Разница Между

Содержание:

Что такое квадратичная функция

Полиномиальная функция второй степени называется квадратичной функцией. Формально f (x) = ax 2 + bx + c — квадратичная функция, где a, b и c — действительные постоянные и a ≠ 0 для всех значений x. График квадратичной функции является параболой.

Как найти ось симметрии квадратичной функции

Любая квадратичная функция показывает поперечную симметрию поперек оси y или линии, параллельной ей. Ось симметрии квадратичной функции может быть найдена следующим образом:

F (X) = ах 2 + bx + c, где a, b, c, x∈R и a ≠ 0

Написание х терминов в виде полного квадрата у нас есть,

Переставляя члены вышеприведенного уравнения

Это означает, что для каждого возможного значения f (x) есть два соответствующих значения x. Это хорошо видно на диаграмме ниже.

расстояние влево и вправо от значения -b / 2a. Другими словами, значение -b / 2a всегда является средней точкой линии, соединяющей соответствующие значения x (точки) для любого заданного f (x).

Следовательно ,
x = -b / 2a — уравнение оси симметрии для заданной квадратичной функции в виде f (x) = ax 2 + BX + C

Как найти ось симметрии квадратичной функции — Примеры

• Квадратичная функция определяется как f (x) = 4x 2 + Х + 1. Найдите симметричную ось.

х = -b / 2a = -1 / (2 × 4) = — 1/8

Следовательно, уравнение оси симметрии имеет вид х = -1 / 8

• Квадратичная функция задается выражением f (x) = (x-2) (2x-5)

Упрощая выражение, мы получаем f (x) = 2x 2 -5x-4x + 10 = 2x 2 -9x + 10

Мы можем сделать вывод, что a = 2 и b = -9. Следовательно, мы можем получить ось симметрии как

Симметрии графиков функций

Прямая х=а является осью симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $x\in D(f)$ выполняется равенство f(x)=f(2a-x).

Прямая х=а является осью симметрии графика функции f в том и только в том случае, когда для любого х из ее области определения выполняется равенство f(a+х)=f(a-х).

Точка (а, b) является центром симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $x\in D(f)$ выполняется равенство f(x)+f(2а-х)=b.

Точка (а, b) является центром симметрии графика функции f в том и только в том случае, когда для любого х из ее области определения выполняется равенство f(a+х)+f(a-х)=b.

Пример 1: Сколько вертикальных осей симметрии может иметь график периодической функции?

Ответ: Если график функции f с периодом Т имеет ось симметрии х=а, то скорее всего — из геометрических соображений — осью симметрии будет и прямая х=а+Т. Но так как прямая х=с является осью симметрии графика функции у=f(x) тогда и только тогда, когда для любого $x\in D(f)$ выполняется равенство f(x)=f(2с-х), то для прямой х=а+Т надо проверить выполнение равенства f(а+Т)=f(2а-а-Т), или f(a+Т)=f(aТ), a это равенство верно.

Так как периодов у периодической функции бесконечно много, то и осей симметрии бесконечно много, если, конечно, есть хотя бы одна.

Пример 2: График функции у=f(x) имеет вертикальную ось и центр симметрии. Что можно сказать о графике функции у=2f(x)-1?

Ответ: Так как график функции у=f(x) имеет вертикальную ось симметрии, например х=а, то для всякого х имеет место равенство f(a+х)=f(а-х), а тогда очевидно 2f(a+х)-1=2f(а-x)-1, так что функция у=2f(x)-1 имеет ту же ось симметрии. Если же график функции у=f(x) имеет центр симметрии, например, Q=(а, b), то для всякого х имеет место равенство f(а+х)+f(а-х)=2b, и в этом случае (2f(а+х)-1)+(2f(а-х)-1)=2b

Параллельный перенос и симметричные отображения графиков функций

Параллельный перенос графика по оси OX

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x+a) $$

где $a \gt 0$, произвольное положительное число.

$y_2=y_1 при x_2=x_1-3$

График смещается влево на 3 по оси OX

$ y_2 = y_1 при x_2 = x_1-3 $

График смещается влево на 3 по оси OX

$y_2 = y_1 при x_2 = x_1-3$

График смещается влево на 3 по оси OX

Теперь сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x-a) $$

где $a \gt 0$, произвольное положительное число.

$y_2 = y_1 при x_2 = x_1+2$

График смещается вправо на 2 по оси OX

$ y_2 = y_1 при x_2 = x_1+2$

График смещается вправо на 2 по оси OX

$y_2=y_1 при x_2 = x_1+2$

График смещается вправо на 2 по оси OX

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x+a), \quad a \gt 0 $$

график второй функции смещается влево на a по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), y_2 = f(x-a), a \gt 0 $$

график второй функции смещается вправо на a по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)

Параллельный перенос графика по оси OY

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x)+a$$

где $a \gt 0$, произвольное положительное число.

$y_2 = y_1+1 при x_2 = x_1$

График смещается вверх на 1 по оси OY

$ y_2 = y_1+1 при x_2 = x_1 $

График смещается вверх на 1 по оси OY

$y_2 = f(x)+1 = \sqrt+1$

$y_2 = y_1+1 при x_2 = x_1$

График смещается вверх на 1 по оси OY

Теперь сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x)-a $$

где $a \gt 0$, произвольное положительное число.

$y_2 = y_1-2 при x_2 = x_1$

График смещается вниз на 2 по оси OY

$ y_2 = y_1-2 при x_2 = x_1$

График смещается вниз на 2 по оси OY

$y_2 = f(x)-2 = \sqrt-2$

$y_2 = y_1-2 при x_2 = x_1$

График смещается вниз на 2 по оси OY

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x)+a, \quad a \gt 0 $$

график второй функции смещается вверх на a по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

При сравнении графиков двух функций

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(x)-a, \quad a \gt 0 $$

график второй функции смещается вниз на a по оси OY по сравнению с графиком первой функции.

Заметим, что данные утверждения справедливы не только для рассмотренных функций, но и для любых других (синусов, косинусов, логарифмов и т.п.)

Симметрия относительно оси OX

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = -f(x)$$

$y_2 = -y_1 при x_2 = x_1$

График симметричен относительно оси OX

$y_2 = -y_1 при x_2 = x_1$

График симметричен относительно оси OX

Графики функций $y_1 = f(x), \quad y_2 = -f(x)$ симметричны относительно оси OX.

Это справедливо для любой функции f(x).

Симметрия относительно оси OY

Сравним графики пар функций, которые в общем виде можно записать так:

$$ y_1 = f(x), \quad y_2 = f(-x)$$

$y_2=y_1 при x_2 = -x_1$

График симметричен относительно оси OY

$y_2 = y_1 при x_2 = -x_1$

График симметричен относительно оси OY

Графики функций $y_1 = f(x), \quad y_2 = f(-x)$ симметричны относительно оси OY.

Это справедливо для любой функции f(x).

Примеры

Пример 1. Постройте в одной координатной плоскости функции

$$ y = x^2, \quad y = (x-3)^2, \quad y = (x-3)^2+2, \quad y = -x^2 $$

По сравнению с графиком $y = f(x) = x^2$:

• график функции $y = f(x-3) = (x-3)^2$ сдвинут вправо на 3 по OX(→)
• график функции $y = f(x-3)+2 = (x-3)^2+2 $ сдвинут вправо на 3 по OX и вверх на 2 по OY(↑)
• график функции $y = -f(x) = -x^2$ симметричен относительно оси OX.

Пример 2. Постройте в одной координатной плоскости функции

$$ y = \sqrt, \quad y = \sqrt<-x+1>, \quad y = — \sqrt, \quad y = — \sqrt-3 $$

По сравнению с графиком $y = f(x) = \sqrt$:

• график функции $y = f(-x) = \sqrt<-x+1>$ симметричен относительно оси OY
• график функции $y = -f(x) = — \sqrt$ симметричен относительно оси OX
• график функции $y = -f(x)-3 = -x^2$ симметричен относительно оси OX и сдвинут вниз на 3 по оси OY(↓).