Найти уравнение перпендикуляра опущенного из точки на плоскость
Прямая и плоскость
Даны канонические уравнения прямой
Пример. Найти проекцию точки А (2; –1; 3) на плоскость x + 2 y – z – 3 =0.
Решение. Проекцию точки А на плоскость найдем как точку пересечения плоскости перпендикуляром, опущенным из точки А на данную плоскость. Составим уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А (2; –1; 3) на плоскость x + 2 y – z – 3 = 0:
Из условия перпендикулярности прямой и плоскости имеем ,
т.е. m = 1, n = 2, p = –1. Уравнения перпендикуляра примут вид
.
Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, нужно решить систему из уравнений прямой и плоскости:
или или
Решая указанную систему, получим координаты проекции точки А на данную плоскость: (3; 1; 2).
Расстояние от точки до плоскости
Формула для вычисления расстояния от точки до плоскости
Если задано уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 , то расстояние от точки M(M x , M y , M z ) до плоскости можно найти, используя следующую формулу:
d = | |A·M x + B·M y + C·M z + D| |
√ A 2 + B 2 + C 2 |
Примеры задач на вычисление расстояния от точки до плоскости
Решение. Подставим в формулу коэффициенты плоскости и координаты точки
d = |2·0 + 4·3 + (-4)·6 — 6| √ 4 + 16 + 16 = |0 + 12 — 24 — 6| √ 36 = |-18| 6 = 3
Ответ: расстояние от точки до плоскости равно 3.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикуляной данной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения прямой введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости
Наша цель построить уравнение прямой, проходящей через данную точку M0 и перпендикулярной к данной плоскости Ax+By+Cz+D=0.
Общее уравнение плоскости имеет вид:
(1) |
где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:
(2) |
Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и ортогональный плоскости (1) имеет следующий вид:
(3) |
Пример 1. Построить прямую, проходящую через точку M0(5, -4, 4) и перпендикулярной плоскости
Общее уравнение плоскости имеет вид (1), где :
(4) |
Подставляя координаты точки M0(5, -4, 4) и координаты нормального вектора плоскости (4) в (3), получим:
http://ru.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/p_plane/
http://matworld.ru/analytic-geometry/prjamaja-ploskost-online.php