Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным пересекающимся плоскостям.
В этой статье содержится ответ на вопрос: «Как написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным плоскостям»? Сначала приведены необходимые теоретические сведения, а также рассуждения, помогающие составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям. После этого разобраны решения характерных примеров и задач.
Навигация по странице.
Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к двум заданным плоскостям.
Начнем с постановки задачи.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , задана точка и две пересекающиеся плоскости и . Требуется написать уравнение плоскости , проходящей через точку М1 перпендикулярно к плоскостям и .
Заметим, что плоскость , уравнение которой нам требуется составить, перпендикулярна к прямой, по которой пересекаются плоскости и . Действительно, из признака перпендикулярности двух плоскостей следует, что плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей. Более того, существует только одна плоскость, проходящая через заданную точку пространства перпендикулярно двум пересекающимся плоскостям, так как существует только одна плоскость, проходящая через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.
Теперь приступим именно к решению поставленной задачи.
Из условия нам известны координаты точки , через которую проходит плоскость . Если мы найдем координаты нормального вектора плоскости , то сможем записать общее уравнение плоскости, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором, в виде , где — нормальный вектор плоскости .
Итак, наша задача сводится к нахождению координат нормального вектора плоскости . В свою очередь нормальный вектор плоскости есть направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две заданные плоскости и , так как плоскость перпендикулярна к пересекающимся плоскостям и . В частности, если плоскости и заданы общими уравнениями плоскостей вида и соответственно, то направляющим вектором прямой, по которой пересекаются плоскости и , является векторное произведение векторов и (об этом написано в разделе координаты направляющего вектора прямой, по которой пересекаются две заданные плоскости).
Чтобы написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям и , нужно
- найти координаты направляющего вектора прямой, по которой пересекаются заданные плоскости и ;
- принять эти координаты за соответствующие координаты А , В и С нормального вектора плоскости, уравнение которой мы ищем;
- написать уравнение плоскости вида — это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям и .
Чтобы все стало понятно, предлагаем перейти к следующему пункту и ознакомиться с подробным решением примеров, в которых находится уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к двум заданным пересекающимся плоскостям.
Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным плоскостям.
Начнем с задачи на нахождение уравнения плоскости, перпендикулярной к двум координатным плоскостям.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикуляной данной прямой. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямой (канонический или параметрический) введите координаты точки и коэффициенты уравнения прямой в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой − теория, примеры и решения
. | (1) |
Построить уравнение плоскости α, проходящей через точку M0 и перпендинулярной прямой L.
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> имеет следующий вид:
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0. | (2) |
Направляющий вектор прямой L имеет вид q=<m, p, l>. Поскольку прямая L и плоскость α перпендикулярны друг другу, следовательно нормальный вектор плоскостти и направляющий вектор прямой должны быть коллинеарны (Рис.1). Тогда вместо координат нормального вектора плоскости нужно подставить координаты направляющего вектора прямой L. Получим следующее уравнение плоскости:
m(x−x0)+p(y−y0)+l(z−z0)=0. | (3) |
Упростим уравнение (3):
mx+py+lz+D=0, | (4) |
Таким образом уравнение (4) определяет плоскость, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и перпендикулярной прямой (1).
Ответ. Уравнение плоскости прпоходящей через точку M0(x0, y0, z0) и перпендикулярной прямой (1) имеет вид (4).
Пример 1. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M0(3, −1, 2) и перпендикулярной прямой L:
(7) |
Решение. Уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> представляется формулой (2).
Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид: :
Для того, чтобы прямая L была перпендикулярна плоскости α, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L, т.е. уравнение плоскости (2) примет следующий вид:
m(x−x0)+p(y−y0)+l(z−z0)=0. | (8) |
Подставляя координаты точки M0 и направляющего вектора q в (8), получим:
(9) |
Упростим уравнение (9):
2x+5y+4z−9=0. | (10) |
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(3, −1, 2) и перпендикулярной прямой (7) имеет вид (10).
Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M0(4, 3, −6) и перпендикулярной прямой L, заданной параметрическим уравнением:
(11) |
Решение. Приведем параметрическое уравнение (11) к каноническому виду:
(11′) |
Уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> представляется формулой:
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0. | (12) |
Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:
Для того, чтобы прямая L была перпендикулярна плоскости α, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L, т.е. уравнение плоскости (12) примет следующий вид:
m(x−x0)+p(y−y0)+l(z−z0)=0. | (13) |
Подставляя координаты точки M0 и направляющего вектора q в (13), получим:
Упростим уравнение (13):
−5x+3y+11z+77=0. | (14) |
Ответ. Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(4, 3, −6) и перпендикулярной прямой (11) имеет вид (14).
Задача 29244 5.2.13) Найти уравнение плоскости.
Условие
5.2.13) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M(1; 1; 1) перпендикулярно к линии пересечения двух плоскостей x-у+2z-3 = 0 и 2x-z+4 = 0.
Решение
Находим прямую, являющуюся пересечением двух плоскостей
x -y +2*(2x+4)-3=0 ⇒ y=5x+5
x=(y-5)/5=(z-4)/2 — уравнение линии пересечения плоскостей.
Направляющий вектор прямой — нормальный вектор искомой плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M_(o)(x_(o);y_(o);z_(o)) с нормальным вектором vector
имеет вид
A*(x-x_(o))+B*(y-y_(o))+C*(z-z_(o))=0
А=1; B=5; C=2
x_(o)=1; y_(o)=1; z_(o)=1
1*(x-1)+5*(y-1)+2*(z-1)=0
x+5y+2z-8=0
О т в е т. x+5y+2z-8=0
http://matworld.ru/analytic-geometry/uravnenie-ploskosti3-online.php
http://reshimvse.com/zadacha.php?id=29244