Найти уравнение проходящей через точку и вектор

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Пусть дана некоторая точка M₀ и ненулевой вектор n. Через точку M₀ можно провести только одну плоскость р перпендикулярную вектору n (рис. 201).

Выведем уравнение плоскости р. Пусть М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М принадлежит плоскости р тогда и только тогда, когда вектор \(\overrightarrowM>\) перпендикулярен вектору n. Как известно, необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Поэтому уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ перпендикулярно вектору n, может быть записано в виде

Вектор n в уравнении (1) называется нормальным вектором плоскости. В качестве нормального вектора можно взять любой вектор, перпендикулярный плоскости.

Пусть точка M₀ и вектор n заданы своими координатами в некоторой прямоугольной системе координат:

Обозначим координаты произвольной точки М плоскости р через х, у и z. Тогда вектор \(\overrightarrowM>\) имеет координаты х — х₀, у — у₀ и z — z₀, а уравнение (1) в координатах записывается следующим образом:

Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через точку (х₀; у₀; z₀) перпендикулярно вектору (А; В; С).

Задача 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(-3; 4; 7) перпендикулярно вектору n = (1; —2; 6).

В данном случае х₀ = -3, у₀ = 4, z₀ = 7; А = 1, В = -2, С = 6. Подставив эти значения в уравнение (2), получим искомое уравнение

3адачa 2. Даны точки M₁ (2; -1; 3) и M₂(4; 5; 0). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₂ перпендикулярно вектору \(\overrightarrowM_2>\).

За нормальный вектор плоскости можно взять вектор n = \(\overrightarrowM_2>\) = (2; 6; -3). После подстановки координат нормального вектора и координат точки М₀ = М₂(4; 5; 0) в уравнение (2) получим

Задача 3. В треугольнике с вершинами в точках А₁<-5; 2; 7), А₂(5; 0; 6), А₃(0; -1; 2) проведена медиана А₁М₀. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ перпендикулярно медиане А₁М₀.

За нормальный вектор плоскости можно принять вектор n = \(\overrightarrowM_0>\). Определим его координаты. Точка М₀ — середина отрезка А₂А₃, поэтому, если (х₀; у₀; z₀) — ее координаты, то

Координаты нормального вектора n = (А; В; С), следовательно, равны

A = 5 /₂ + 5 = 15 /₂, В = — 1 /₂ — 2 = — 5 /₂, С = 4 — 7 = — 3.

Уравнения прямой, проходящей через точку коллинеарно вектору

Параметрическое уравнение прямой

Направляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, т.е. принадлежащий или параллельный ей.

Пусть на координатной плоскости заданы точка и ненулевой вектор (рис. 3.13). Требуется составить уравнение прямой, коллинеарной вектору и проходящей через точку .

Выберем на прямой произвольную точку . Обозначим и — радиус-векторы точек и (рис.3.14).

Точка принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. Запишем условие коллинеарности : , где — некоторое действительное число (параметр). Учитывая, что , получим векторное параметрическое уравнение прямой :

где — направляющий вектор прямой, а — радиус-вектор точки, принадлежащей прямой.

Координатная форма записи уравнения (3.11) называется параметрическим уравнением прямой

где — координаты направляющего вектора прямой. Параметр в уравнениях (3.11),(3.12) имеет следующий геометрический смысл : величина пропорциональна расстоянию от начальной точки до точки . Физический смысл параметра в параметрических уравнениях (3.11), (3.12) — это время при равномерном и прямолинейном движении точки по прямой. При точка совпадает с начальной точкой , при возрастании движение происходит в направлении, определяемым направляющим вектором .

Каноническое уравнение прямой

Выразим параметр из каждого уравнения системы (3.12): , а затем исключим этот параметр:

Уравнение (3.13) называется каноническим уравнением прямой . В этом уравнении коэффициенты и не равны нулю одновременно, так как это координаты направляющего вектора прямой.

1. Если один из знаменателей дробей в (3.13) равен нулю, то считается, что соответствующий числитель дроби равен нулю:

– каноническое уравнение – это уравнение прямой , параллельной оси ординат (рис.3.15,а);

– каноническое уравнение — это уравнение прямой , параллельной оси абсцисс (рис.3.15,6).

2. Поскольку направляющий вектор коллинеарен прямой, а нормаль ей перпендикулярна, то векторы и ортогональны. Следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

т.е. координаты направляющего вектора прямой и ее нормали связаны однородным уравнением: . Подставим, например, решение этого уравнения в общее уравнение прямой (3.7):

Это соотношение позволяет по координатам направляющего вектора и координатам точки записать уравнение прямой без промежуточных вычислений.

3. Направляющий вектор прямой определяется неоднозначно. Например, любой ненулевой вектор , где , также является направляющим вектором для той же прямой.

4. Для перехода от общего уравнения прямой (3.8) к каноническому (3.13) нужно выполнить следующие действия:

1) найти любое решение уравнения , определяя тем самым координаты точки , принадлежащей прямой;

2) найти любое ненулевое решение однородного уравнения , определяя тем самым координаты направляющего вектора , в частности, можно взять ;

3) записать каноническое уравнение (3.13).

5. Чтобы перейти от канонического уравнения к общему , достаточно перенести все члены уравнения (3.13) в левую часть:

Полученное уравнение (при ) имеет вид (3.8) с .

6. Чтобы перейти от канонического уравнения к параметрическому , следует приравнять левую и правую части уравнения (3.13) параметру и записать полученное двойное равенство в виде системы (3.12):

7. Параметрическое (3.12) и каноническое (3.13) уравнения прямой, полученные в прямоугольной системе координат, имеют тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях остается прежним.

Пример 3.8. На координатной плоскости (в прямоугольной системе координат) заданы прямая и точка (рис.3.16). Требуется:

а) Нормаль к прямой является направляющим вектором для прямой . Координаты нормали определяем по общему уравнению прямой , тогда , . Составляем параметрическое уравнение (3.12) прямой :

б) Проекция точки является точкой пересечения прямых и . Найдем ее координаты. Для этого подставляем в уравнение прямой выражения координат и из параметрического уравнения прямой . Получим уравнение

Значению параметра отвечает точка с координатами и . Следовательно, искомая точка .

в) В пункте «а» составлено параметрическое уравнение прямой . В этом уравнении при получаем точку , при — точку , значит искомую точку получим при , поскольку в силу симметрии . Вычисляем координаты искомой точки:

Пример 3.9. На координатной плоскости (в прямоугольной системе координат) заданы вершины треугольника (рис.3.17). Составить:

а) каноническое уравнение прямой, содержащей высоту треугольника;

б) каноническое и параметрическое уравнения прямой, содержащей биссектрису треугольника.

а) В примере 3.7 было получено общее уравнение прямой . Перейдем от общего уравнения к каноническому.

1) Найдем любое решение уравнения , например, и (точкам принадлежит прямой ).

2) Найдем ненулевое решение однородного уравнения , например (направляющий вектор прямой имеет координаты ).

3) Запишем каноническое уравнение: .

б) Найдем направляющий вектор биссектрисы . Для этого отложим от вершины единичные векторы и построим на них ромб (изображенный на рис.3.17 штриховой линией). Поскольку диагональ ромба является биссектрисой, то вектор . является направляющим вектором биссектрисы . Находим координаты и длины векторов:

Составляем каноническое уравнение прямой с направляющим вектором , проходящей через точку :

Чтобы получить параметрическое уравнение прямой , приравниваем левую и правую части канонического уравнения параметру . Записываем полученную систему в виде

Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через данную точку и через данную прямую (точка не лежит на этой прямой). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямой (канонический или параметрический) введите координаты точки и коэффициенты уравнения прямой в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L:

.

(1)

Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через точку M₀ и и через прямую L(Рис.1).

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> имеет следующий вид:

Направляющий вектор прямой L имеет вид q=<m, p, l>. Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M₁(x₁, y₁, z₁) имеет вид:

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q прямой L, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:

Решая совместно уравнения (4) и (5) отностительно коэффициентов A, B, C получим такие значения A, B, C, при которых уравнение (2) проходит через точку M₀ и через прямую (1). Для решения систему уравнений (4), (5), запишем их в матричном виде:

.

(6)

Как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн.

Получив частное решение уравнения (6) и подставив полученные значения A, B, C в (2), получим решение задачи.

(7)

Решение. Уравнение плоскости α, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀)=M₀(1, 2, 5) и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> представляется формулой (2).

Вычитая уравнение (3) из уравнения (2), получим:

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n=<A, B, C> должен быть ортогональным направляющему вектору q прямой L, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

(10)

(11)

Решим систему линейных уравнений (10) и (11) отностительно A, B, C. Для этого представим эти уравнения в матричном виде:

(12)

Решив однородную систему линейных уравнений (12) используя метод Гаусса, найдем следующее частное решение:

Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (2), получим:

(13)

Упростим уравнение (13):

(14)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(1, 2, 5) и через прямую (7) имеет вид (14).

Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M₀(4, 3, −6) и через прямую L, заданной параметрическим уравнением:

(15)

Решение. Приведем параметрическое уравнение (15) к каноническому виду:

(16)

Уравнение плоскости α, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> представляется формулой:

Поскольку плоскость проходит через прямую L, то она проходит также через точку M₁(x₁, y₁, z₁)=(0, 2, 4). Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M₁(x₁, y₁, z₁) имеет вид:

Вычитая уравнение (18) из уравнения (17), получим:

Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:

Для того, чтобы плоскость проходила через прямую L, нормальный вектор плоскости n должен быть ортогональным направляющему вектору прямой L :

(21)

(22)

Решим систему линейных уравнений (21) и (22) отностительно A, B, C. Для этого представим эти уравнения в матричном виде:

(23)

Решив однородную систему линейных уравнений (23) используя метод Гаусса, найдем следующее частное решение:

Подставляя значения коэффициентов A, B, C в уравнение плоскости (17), получим:

(24)

Упростим уравнение (24):

(25)

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 23.

(26)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(4, 3, −6) и через прямую (16) имеет вид (26).