iSopromat.ru
Пример решения задачи по определению траектории равноускоренного движения точки, заданного уравнениями, скорости и ускорения в некоторые моменты времени, координаты начального положения точки, а также путь, пройденный точкой за время t.
Задача
где x и y – в см, а t – в с. Определить траекторию движения точки, скорость и ускорение в моменты времени t0=0 с, t1=1 с и t2=5 с, а также путь, пройденный точкой за 5 с.
Решение
Расчет траектории
Определяем траекторию точки. Умножаем первое заданное уравнение на 3, второе – на (-4), а затем складываем их левые и правые части:
Получилось уравнение первой степени – уравнение прямой линии, значит движение точки – прямолинейное (рисунок 1.5).
Для того, чтобы определить координаты начального положения точки A0, подставим в заданные уравнения значения t0=0; из первого уравнения получим x0=2 см, из второго y0=1 см. При любом другом значении t координаты x и y движущейся точки только возрастают, поэтому траекторией точки служит полупрямая 3x-4y=2 с началом в точке A0 (2; 1).
Расчет скорости
Расчет ускорения
Определяем ускорение точки. Его проекции на оси координат:
Проекции ускорения не зависят от времени движения,
т.е. движение точки равноускоренное, векторы скорости и ускорения совпадают с траекторией точки и направлены вдоль нее.
С другой стороны, поскольку движение точки прямолинейное, то модуль ускорения можно определить путем непосредственного дифференцирования уравнения скорости:
Определение пути
Определяем путь, пройденный точкой за первые 5с движения. Выразим путь как функцию времени:
Проинтегрируем последнее выражение:
Если t=t0=0, то C=s0; в данном случае s0=0, поэтому s=2,5t 2 . Находим, что за 5с точка проходит расстояние
Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
Теоретическая механика: Решебник Яблонского:
Кинематика точки (К1)
Бесплатный онлайн решебник Яблонского. Выберите задание и номер варианта для просмотра решения. Смотрите также способы и примеры решения задач по теме кинематика точки.
Задание К.1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения
По заданным уравнениям движения точки M установить вид ее траектории и для момента времени t=t1 (c) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
Необходимые для решения данные приведены в табл. 20.
Дополнение к заданию К.1. Данное задание может быть использовано для определения скорости и ускорения точки при ее движении по пространственной траектории. Для этого к двум уравнениям движения (см. табл. 20) добавляется третье уравнение (табл. 22).
Найти уравнение траектории точки онлайн
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ
3.1. На проволочной окружности радиусом r надето колечко М, через него проходит стержень ОА, который поворачивается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью.
Определить уравнения движения и уравнение траектории колечка М, если бы в начальный момент стержень ОА был вертикален.
Дано: , .
Найти: , , .
Решение: Из рисунка видно, что амплитуда по оси равна радиусу окружности. При повороте стержня на угол , кольцо М проходит по окружности угол , из чего можно сделать вывод, что угловая скорость кольца М по окружности в два раза больше угловой скорости стержня . Координата в начальный момент равна нулю, так как стержень находится в вертикальном положении, поэтому координата изменяется по синусу и его уравнение:
.
Относительно точки О координата может изменяться от нуля до , поэтому амплитуда по оси равна . В начальный момент координата занимает максимальное значение, поэтому координата изменяется по косинусу и так как ее значение не может быть отрицательно, то, очевидно по квадрату косинуса:
.
Уравнение траектории – круг с центром в точке (0; r ) будет:
.
Второй рисунок – начальное положение.
4. 1 . Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории точки.
2. Определить скорость и ускорение точки при и .
3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.
Дано: , , , .
Решение: 1. Из первого уравнения и из второго .
Уравнение траектории получается суммированием полученных уравнений:
.
2. Модуль скорости точки определяется по формуле , где
и
.
При t =0: , и тогда ,
При t =1 c : и и тогда .
Модуль ускорения точки определяется по формуле , где
и
.
При t =0: , и тогда ,
При t =1 c : , и тогда .
3. Траектория представляет собою эллипс с центром в начале координат (0;0) и полуосями 3и 4.
4. 2 . Даны уравнения движения точки:
1. Определить уравнение траектории точки.
2. Определить скорость и ускорение точки при и .
3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.
Дано: , , , .
Найти: , , , , .
Решение Чтобы найти уравнение траектории точки выведем из уравнения время , подставляя во второе уравнение, получим уравнение траектории:
.
Скорость точки по осям:
,
,
Общая скорость точки:
.
Скорости в заданные моменты времени:
,
.
Ускорения точки по осям:
,
,
Общее ускорение точки:
,
Ускорения в заданные моменты времени:
,
.
4. 3 . Даны уравнения движения точки:
1. Определить уравнение траектории точки.
2. Определить скорость и ускорение точки при и .
3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.
Дано: , , , .
Найти: , , , , .
Решение Чтобы найти уравнение траектории точки необходимо из уравнений движения исключить время. Для этого уравнения движения разрешим относительно и и возведем полученные результаты в квадрат:
,
Тогда уравнение траектории — эллипс с полуосями 9 и 18, центр которого в точке (0;0).
Скорость точки по осям:
,
,
Общая скорость точки:
.
Скорости в заданные моменты времени:
,
.
Ускорения точки по осям:
,
,
Общее ускорение точки:
,
Ускорения в заданные моменты времени:
,
.
4. 4 . Даны уравнения движения точки.
1. Определить уравнение траектории точки.
2. Определить скорость и ускорение точки при и .
3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.
Дано: , , , .
Найти: , , ,
Решение: 1. Из уравнений и выражаем:
и
,
Складывая их получим уравнение траектории точки:
.
Траектория является эллипсом с полуосями 8 и 4см с центром в точке (5;0).
2. Скорости точки по осям:
и
.
Модуль скорости точки определяется по формуле:
.
Для момента времени t =0:
и
и
.
Для момента времени t =1 c :
,
и
.
Ускорения по осям:
и
.
Модуль ускорения точки определяется по формуле:
,
Для момента времени t =0:
, и
.
Для момента времени t =1:
, и
.
4. 5 . Даны уравнения движения точки:
1. Определить уравнение траектории точки.
2. Определить скорость и ускорение точки при и .
3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.
Дано: , , , .
Найти: , , , , .
Решение Чтобы найти уравнение траектории точки необходимо из уравнений движения исключить время. Для этого уравнения движения разрешим относительно и и возведем полученные результаты в квадрат:
,
Тогда уравнение траектории — эллипс с полуосями 4 и 8, центр которого в точке (3;2).
Скорость точки по осям:
,
,
Общая скорость точки:
.
Скорости в заданные моменты времени:
,
.
Ускорения точки по осям:
,
,
Общее ускорение точки:
,
Ускорения в заданные моменты времени:
,
.
4. 6 . Даны уравнения движения точки:
1. Определить уравнение траектории точки.
2. Определить скорость и ускорение точки при и .
3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.
Дано: , , , .
Найти: , , , , .
Решение: Из уравнения выразим время:
.
Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :
,
Скорость точки по осям:
,
,
Общая скорость точки:
.
Скорости в заданные моменты времени:
,
.
Ускорения точки по осям:
,
,
Общее ускорение точки: .
4. 7 . Даны уравнения движения точки:
1. Определить уравнение траектории точки.
2. Определить скорость и ускорение точки при и .
3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.
Дано: , , , .
Найти: , , , , .
Решение: Из уравнения выразим: , тогда . Из уравнения выражаем уравнение траектории : .
Скорость точки по осям:
,
,
Общая скорость точки:
.
Скорости в заданные моменты времени:
,
.
Ускорения точки по осям:
,
,
Общее ускорение точки:
,
Ускорения в заданные моменты времени:
,
.
4. 8 . Даны уравнения движения точки:
1. Определить уравнение траектории точки.
2. Определить скорость и ускорение точки при и .
3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.
Дано: , , , .
Найти: , , , , .
Решение: Из уравнения выразим:
.
Распишем уравнение :
,
Подставив в уравнение , получим уравнение траектории:
.
Скорость точки по осям:
,
,
Общая скорость точки:
.
Скорости в заданные моменты времени:
,
.
Ускорения точки по осям:
,
,
Общая скорость точки:
.
Скорости в заданные моменты времени:
,
.
4. 9 . Даны уравнения движения точки:
1. Определить уравнение траектории точки.
2. Определить скорость и ускорение точки при и .
3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.
Дано: , , , .
Найти: , , , , .
Решение: Из уравнения выразим время:
.
Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :
,
Скорость точки по осям:
,
,
Общая скорость точки:
.
Скорости в заданные моменты времени:
,
.
Ускорения точки по осям:
,
,
Общее ускорение точки:
.
4.1 0 . Даны уравнения движения точки:
1. Определить уравнение траектории точки.
2. Определить скорость и ускорение точки при и .
3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.
Дано: , , , .
Найти: , , , , .
Решение: Из уравнения выразим время:
.
Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :
,
Скорость точки по осям:
,
,
Общая скорость точки:
.
Скорости в заданные моменты времени:
,
.
Ускорения точки по осям:
,
,
Общее ускорение точки:
.
4.1 1 . Даны уравнения движения точки:
1. Определить уравнение траектории точки.
2. Определить скорость и ускорение точки при и .
3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.
Дано: , , , .
Найти: , , , , .
Решение: Из уравнения выразим время:
.
Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :
,
Скорость точки по осям:
,
,
Общая скорость точки:
.
Скорости в заданные моменты времени:
,
.
Ускорения точки по осям:
,
,
Общее ускорение точки:
.
4.1 2 . Даны уравнения движения точки:
1. Определить уравнение траектории точки.
2. Определить скорость и ускорение точки при и .
3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.
Дано: , , , .
Найти: , , , , .
Решение: Из уравнения выразим время:
.
Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :
,
Скорость точки по осям:
,
,
Общая скорость точки:
.
Скорости в заданные моменты времени:
,
.
Ускорения точки по осям:
,
,
Общее ускорение точки:
.
4. 13 . Даны уравнения движения точки:
1. Определить уравнение траектории точки.
2. Определить скорость и ускорение точки при и .
3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.
Дано: , , , .
Найти: , , , , .
Решение: Из уравнения выразим время:
.
Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :
,
Скорость точки по осям:
,
,
Общая скорость точки:
.
Скорости в заданные моменты времени:
,
.
Ускорения точки по осям:
,
,
Общее ускорение точки:
.
4. 14 . Даны уравнения движения точки:
1. Определить уравнение траектории точки.
2. Определить скорость и ускорение точки при и .
3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.
Дано: , , , .
Найти: , , , , .
Решение: Возведем оба уравнения в квадрат и вычтем:
,
,
,
Это уравнение окружности радиусом 8см.
Скорость точки по осям:
,
,
Общая скорость точки:
.
Скорости в заданные моменты времени:
,
.
Ускорения точки по осям:
,
,
Общее ускорение точки:
Ускорения в заданные моменты времени:
,
.
4. 15 . Даны уравнения движения точки:
1. Определить уравнение траектории точки.
2. Определить скорость и ускорение точки при и .
3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.
Дано: , , , .
Найти: , , , , .
Решение: Из уравнения выразим:
.
Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :
,
Скорость точки по осям:
,
,
Общая скорость точки:
.
Скорости в заданные моменты времени:
,
.
Ускорения точки по осям:
,
,
Общее ускорение точки:
.
Ускорения в заданные моменты времени:
,
.
4. 16 . Даны уравнения движения точки:
1. Определить уравнение траектории точки.
2. Определить скорость и ускорение точки при и .
3. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.
Дано: , , , .
Найти: , , , , .
Решение: Из уравнения выразим время:
.
Подставив время в уравнение , получим уравнение траектории :
,
Скорость точки по осям:
,
,
Общая скорость точки:
.
Скорости в заданные моменты времени:
,
.
Ускорения точки по осям:
,
,
Ускорения в заданные моменты времени:
,
Общее ускорение точки:
и
.
Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21
http://exir.ru/termeh/yablonskij/kinematika_tochki.htm
http://www.teoretmeh.ru/primerkinematika2.htm