Найти уравнение траектории точки построить ее

iSopromat.ru

Пример решения задачи по определению траектории равноускоренного движения точки, заданного уравнениями, скорости и ускорения в некоторые моменты времени, координаты начального положения точки, а также путь, пройденный точкой за время t.

Задача

где x и y – в см, а t – в с. Определить траекторию движения точки, скорость и ускорение в моменты времени t₀=0 с, t₁=1 с и t₂=5 с, а также путь, пройденный точкой за 5 с.

Решение

Расчет траектории

Определяем траекторию точки. Умножаем первое заданное уравнение на 3, второе – на (-4), а затем складываем их левые и правые части:

Получилось уравнение первой степени – уравнение прямой линии, значит движение точки – прямолинейное (рисунок 1.5).

Для того, чтобы определить координаты начального положения точки A₀, подставим в заданные уравнения значения t₀=0; из первого уравнения получим x₀=2 см, из второго y₀=1 см. При любом другом значении t координаты x и y движущейся точки только возрастают, поэтому траекторией точки служит полупрямая 3x-4y=2 с началом в точке A₀ (2; 1).

Расчет скорости

Расчет ускорения

Определяем ускорение точки. Его проекции на оси координат:

Проекции ускорения не зависят от времени движения,

т.е. движение точки равноускоренное, векторы скорости и ускорения совпадают с траекторией точки и направлены вдоль нее.

С другой стороны, поскольку движение точки прямолинейное, то модуль ускорения можно определить путем непосредственного дифференцирования уравнения скорости:

Определение пути

Определяем путь, пройденный точкой за первые 5с движения. Выразим путь как функцию времени:

Проинтегрируем последнее выражение:

Если t=t₀=0, то C=s₀; в данном случае s₀=0, поэтому s=2,5t 2 . Находим, что за 5с точка проходит расстояние

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Найти уравнение траектории точки построить ее

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО КИНЕМАТИКЕ

1.1. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

4. Найти закон движения точки по траектории , принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение в уравнения движения:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осями нет.

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

видим, что с выходом из начального положения координата х увеличивается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:

1.2. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;9).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

видим, что с выходом из начального положения координата х уменьшается, а координата y увеличивается. Это направление примем за положительное, тогда:

1.3. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , траектория пересекает ось ОХ при , и ось OY и

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.4. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;3,375), а с осью OY (0;-4,5).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.5. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;-0,75) и пересечение с осью OY (-1;0).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.6. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осями нет.

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.7. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , ,

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой , при , видим, что с выходом из начального положения координата х увеличивается, а координата y уменьшается. Это направление примем за положительное, тогда ,

откуда .

1.8. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , траектория пересекает ось ОХ при ,

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.9. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;-0,75) и пересечение с осью OY (-1;0).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.10. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осями в точке (0;0).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.11. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осями в точке (0;0).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.12. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0; ) и пересечение с осью OY (-3;0).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.13. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OY в точке (0;11,75).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.14. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;0,75) и пересечение с осью OY (1;0).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.15. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;-6,5).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

1.16. Даны уравнения движения точки.

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

5. Построить график движения точки.

Дано: , .

Решение: 1. Для получения уравнения траектория вида исключим из уравнений движения время t :

Строим уравнение траектории:

Точка при занимает положение .

3. Так как x может принимать значения , а y , Пересечение с осью OX в точке (0;3,75) и пересечение с осью OY (9;0).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой:

, при ,

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

Координатный способ задания движения точки

Введение

Выводы приведенных ниже формул и изложение теории приводится на странице “Кинематика материальной точки”. Здесь мы применим основные результаты этой теории к координатному способу задания движения материальной точки.

Пусть мы имеем неподвижную прямоугольную систему координат с центром в неподвижной точке . При этом положение точки M однозначно определяются ее координатами (x, y, z). Координатный способ задания движения точки – это такой способ, при котором заданы зависимости координат от времени. То есть заданы три функции от времени (при трехмерном движении):

Далее мы приводим формулы вычисления кинематических величин и пример решения задачи для координатного способа задания движения.

Определение кинематических величин

Зная зависимости координат от времени , мы автоматически определяем радиус-вектор материальной точки M по формуле:
,
где – единичные векторы (орты) в направлении осей x, y, z .

Дифференцируя по времени , находим проекции скорости и ускорения на оси координат:
;
;
Модули скорости и ускорения:
;
.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
.
Его можно определить двумя способами – по направлению скорости, или в противоположную сторону. Поэтому здесь в знаменателе стоит не модуль скорости, а алгебраическая величина скорости, которая, по абсолютной величине, равна модулю скорости, но может принимать как положительные, так и отрицательные значения: . Она является проекцией скорости на направление единичного вектора .

Алгебраическая величина тангенциального (касательного) ускорения – это проекция полного ускорения на направление единичного вектора касательной к траектории:
.
Вектор тангенциального (касательного) ускорения:
.
Здесь также, как и для скорости, – это скалярная величина, которая может принимать как положительные так и отрицательные значения: .

Нормальное ускорение:
.
Вектор нормального ускорения:
; .
Единичный вектор в направлении главной нормали траектории (то есть единичный вектор, перпендикулярный касательной и направленный к центру кривизны траектории):
.
Здесь – это модуль нормального ускорения: . Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории. Оно не может быть направлено в противоположную сторону.

Радиус кривизны траектории:
.
Центр кривизны траектории:
.

Единичный вектор в направлении бинормали:
.

Пример решения задачи

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

По заданным уравнениям движения точки установить вид ее траектории и для момента времени найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Уравнения движения точки:
, см;
, см.

Решение

Определение вида траектории

Исключаем время из уравнений движения. Для этого перепишем их в виде:
; .
Применим формулу:
.
;
;
;
.

Итак, мы получили уравнение траектории:
.
Это уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии .

Поскольку
, то
; или
.
Аналогичным образом получаем ограничение для координаты :
;
;

Таким образом, траекторией движения точки является дуга параболы
,
расположенная при
и .

Строим параболу по точкам.

0	6
± 3	5,625
± 6	4,5
± 9	2,625
± 12	0

Определяем положение точки в момент времени .
;
.

Определение скорости точки

Дифференцируя координаты и по времени , находим компоненты скорости.
.
Чтобы продифференцировать , удобно применить формулу тригонометрии:
. Тогда
;
.

Вычисляем значения компонент скорости в момент времени :
;
.
Модуль скорости:
.

Определение ускорения точки

Дифференцируя компоненты скорости и по времени , находим компоненты ускорения точки.
;
.

Вычисляем значения компонент ускорения в момент времени :
;
.
Модуль ускорения:
.

Алгебраическая величина тангенциального ускорения – это проекция полного ускорения на направление единичного вектора касательной к траектории. Выберем направление совпадающим с направлением скорости . Тогда ; алгебраическая величина тангенциального ускорения – это проекция полного ускорения на направление скорости :
.
Поскольку , то вектор тангенциального ускорения направлен противоположно скорости .

Нормальное ускорение:
.
Вектор и направлен в сторону центра кривизны траектории.

Радиус кривизны траектории:
.

Траекторией движения точки является дуга параболы
; .
Скорость точки: .
Ускорение точки: ; ; .
Радиус кривизны траектории: .

Определение остальных величин

При решении задачи мы нашли:
вектор и модуль скорости:
; ;
вектор и модуль полного ускорения:
; ;
тангенциальное и нормальное ускорения:
; ;
радиус кривизны траектории: .

Определим остальные величины.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
.
Вектор тангенциального ускорения:

.
Вектор нормального ускорения:

.
Единичный вектор в направлении главной нормали:
.
Координаты центра кривизны траектории:

Введем третью ось системы координат перпендикулярно осям и . В трехмерной системе
; .
Единичный вектор в направлении бинормали:

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 22-02-2016 Изменено: 29-01-2020

источники:

http://www.teoretmeh.ru/primerkinematika.htm

http://1cov-edu.ru/mehanika/kinematika/tochki/koordinatnyj-sposob-zadaniya-dvizheniya/