Найти уравнение высоты по координатам онлайн калькулятор

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Высота треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Высота треугольника. Определение

Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).

Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты \( \small AA_1 ,\) \( \small BB_1 ,\) \( \small CC_1 \) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник \( \small A_2B_2C_2. \) Покажем, что точки \( \small A, \ B, \ C \) являются серединами сторон треугольника \( \small A_2B_2C_2. \) \( \small AB=A_2C \) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма \( \small ABA_2C. \) \( \small AB=CB_2 \) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма \( \small ABCB_2. \) Тогда \( \small CB_2=CA_2, \) то есть точка \( \small C \) является серединой стороны \( \small A_2B_2 \) треугольника \( \small A_2B_2C_2. \) Аналогично доказывается, что точки \( \small A \) и \( \small B \) являются серединами сторон \( \small B_2C_2 \) и \( \small A_2C_2, \) соответственно.

Далее из \( \small AA_1⊥BC \) следует, что \( \small AA_1⊥B_2C_2 \) поскольку \( \small BC \ ǁ \ B_2C_2 \). Аналогично, \( \small BB_1⊥A_2C_2, \) \( \small CC_1⊥A_2B_2. \) Получили, что \( \small AA_1,\) \( \small BB_1, \) \( \small CC_1\) являются серединными перпендикулярами сторон \( \small B_2C_2, \) \( \small A_2C_2, \) \( \small A_2B_2, \) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.

Высота треугольника по основанию и площади

Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).

Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:

.

.

(1)

Пример 1. Сторона треугольника равна \( \small a=5 \) а площадь \( \small S=7. \) Найти высоту треугольника.

Применим формулу (1). Подставляя значения \( \small a \) и \( \small S \) в (1), получим:

Ответ:

Высота треугольника по трем сторонам

Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):

(2)

где \( \small a, \ b, \ c \) стороны треугольника а полупериод \( \small p \) вычисляется из формулы:

(3)

Высота треугольника, отпущенная на сторону \( \small a\) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:

.

(4)

Пример 2. Известны стороны треугольника: \( \small a=5, \) \( \small b= 4, \) \( \small c=7. \) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону \( \small a. \)

Решение: Найдем, сначала полупериод \( \small p \) треугольника из формулы (3):

Подставляя значения \( \small a , \ b, \ c \) и \( \small p \) в (4), получим:

Ответ:

Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности

Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:

(5)

(6)

Далее, из теоремы синусов имеем:

(7)

Подставляя (6) в (7), получим:

(8)

Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:

Решение: Проверим сначала условие (9):

Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу

Найдем высоту \( \small h_a \) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:

Пример 4. Известны сторона \( \small c=12 \) треугольника и прилежащий угол \( \small \angle B=30°. \) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону \( \small a. \)

Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения \( \small c=12 \) и \( \small \angle B=30° \) в (11). Имеем:

Ортоцентр треугольника

Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой H. В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольных), вне его (в тупоугольных) или совпадать с вершиной (в прямоугольных — совпадает с вершиной при прямом угле).

Пример

В приведенном ниже примере, O это ортоцентр..

Метод расчета ортоцентра треугольника

Пускай даны точки треугольника A(4,3), B(0,5) и C(3,-6).

Шаг 1

Найдем наклоны сторон AB, BC и CA используя формулу y2-y1/x2-x1. Наклон обозначим ‘m’.

• Наклон AB (m) = 5-3/0-4 = -1/2.
• Наклон BC (m) = -6-5/3-0 = -11/3.
• Наклон CA (m) = 3+6/4-3 = 9.

Шаг 2

Теперь, давайте вычислим наклон высоты AD, BE и CF который перпендикулярен сторонам BC, CA и AB соответственно. Наклон высоты = -1/наклон противоположной стороны треугольника.

• Наклон AD = -1/наклон BC = 3/11.
• Наклон BE = -1/наклон CA = -1/9.
• Наклон CF = -1/наклон AB = 2.

Шаг 3

После того, как мы нашли наклон перпендикуляров, мы должны найти уравнение линий AD, BE и CF. Давайте найдем уравнение линии AD с точкой (4,3) и наклоном 3/11.
Формула, для нахождения уравнения ортоцентра треугольника = y-y1 = m(x-x1) y-3 = 3/11(x-4)

1) Упростив выше приведенное уравнение, мы получим 3x-11y = -21

Кроме того, мы должны найти уравнение линий BE и CF. Уравнение для линии BE с точкой (0,5) и наклоном -1/9 = y-5 = -1/9(x-0)

2) Упростив выше приведенное уравнение, мы получим x + 9y = 45

Уравнение для линии CF с точкой (3,-6) и наклоном 2 = y+6 = 2(x-3)

3) Упростив выше приведенное уравнение, мы получим 2x — y = 12

Шаг 4

Найдем значение x и y решив 2 любых из 3 уравнений.

В этом примере, значение x и y (8.05263, 4.10526) которые являются координатами Ортоцентра (o).