Параллелограмм. Формулы, признаки и свойства параллелограмма
Рис.1 | Рис.2 |
Признаки параллелограмма
AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)
∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA
∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°
AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2
Основные свойства параллелограмма
∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°
8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:
AO = CO = | d 1 |
2 | |
BO = DO = | d 2 |
2 |
AC 2 + BD 2 = 2AB 2 + 2BC 2
Стороны параллелограмма
Формулы определения длин сторон параллелограмма:
1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:
2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:
a = | √ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 — 4 b 2 |
2 |
b = | √ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 — 4 a 2 |
2 |
3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:
a = | h b |
sin α |
b = | h a |
sin α |
4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:
a = | S |
ha |
b = | S |
hb |
Диагонали параллелограмма
Формулы определения длины диагонали параллелограмма:
d 1 = √ a 2 + b 2 — 2 ab·cosβ
d 2 = √ a 2 + b 2 + 2 ab·cosβ
d 1 = √ a 2 + b 2 + 2 ab·cosα
d 2 = √ a 2 + b 2 — 2 ab·cosα
d 1 = √ 2 a 2 + 2 b 2 — d 2 2
d 2 = √ 2 a 2 + 2 b 2 — d 1 2
4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:
d 1 = | 2S | = | 2S |
d 2· sinγ | d 2· sinδ |
d 2 = | 2S | = | 2S |
d 1· sinγ | d 1· sinδ |
Периметр параллелограмма
Формулы определения длины периметра параллелограмма:
P = 2 a + 2 b = 2( a + b )
P = 2 a + √ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 — 4 a 2
P = 2 b + √ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 — 4 b 2
3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:
P = | 2( b + | h b | ) |
sin α |
P = | 2( a + | h a | ) |
sin α |
Площадь параллелограмма
Формулы определения площади параллелограмма:
3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:
S = | 1 | d 1 d 2 sin γ |
2 |
S = | 1 | d 1 d 2 sin δ |
2 |
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Формулы параллелограмма
Для расчёта всех основных параметров параллелограмма воспользуйтесь калькулятором.
Признаки и свойства параллелограмма
- Противоположные стороны параллельны и равны.
- Противоположные углы равны
- Точка пересечения диагоналей делит их пополам.
- Сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°
- В четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон
- Сумма углов параллелограмма равна 360°
- Каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника
- Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны
- Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)
Формулы стороны параллелограмма
Длины сторон через диагонали и угол между ними
Длина стороны через диагонали и известную сторону
Длины сторон через высоты и угол между сторонами
Формулы диагоналей параллелограмма
Длина диагонали через стороны и углы между ними
Длина диагонали через стороны и известную диагональ
Длина диагонали через площадь параллелограмма, известную диагональ и угол между диагоналями
Формулы углов параллелограмма
Косинус острого угла
Косинус тупого угла
Синус острого и тупого угла через площадь и стороны параллелограмма
Формулы углов между диагоналями параллелограмма
Косинус острого угла через стороны и диагонали
Косинус тупого угла через стороны и диагонали
Синус острого и тупого угла через площадь и диагонали
Найти уравнения всех сторон параллелограмма
Даны уравнения двух сторон параллелограмма x + 2y + 1 = 0 (AB), 2x + y — 3 = 0 (AD) и точка пересечения его диагоналей N(1, 2). Найти уравнения двух других сторон этого параллелограмма.
При решении, замечая, что данные стороны параллелограмма не параллельны, будем следовать такому плану:
1) Найдем координаты точки A пересечения данных сторон.
2) Зная координаты точек A и N, найдем координаты точки C, что мы легко сможем сделать по формуле определения координат середины отрезка.
3) Через найденную точку C проведем сначала прямую, параллельную AD, а потом прямую, параллельную AB.
4) Определим координаты точки A, как точки пересечения прямых AB и AD, и получим, что
5) Формулы для определения координат середины отрезка в данном случае запишутся так:
По этим формулам получим
Итак, точка .
6) Через точку C проведем прямую, параллельную AD, и получим, что уравнение стороны BC будет таким:
http://calc-online24.ru/formula/parallelogram
http://www.pm298.ru/reshenie/ljg83.php