Найти ускорение по уравнению расстояния

Ускоренное движение тела

Темп изменения скорости называется ускорением. Другими словами, если скорость возрастала на одну и ту же величину в единицу времени, то такое движение называется движение с равномерным ускорением.

Найти ускорение движения тела

Расстояние, ускорение, скорость

Какое бывает ускорение

Ускорение бывает равномерное, положительное и отрицательное.

• Если скорость изменяется (возрастает или убывает) равномерно, то ускорение называется равномерным;
• Если скорость возрастает, то ускорение положительно;
• Если скорость убывает, то ускорение отрицательно.

Формула для нахождения ускорения: a=v/t

Путь, скорость и ускорение

Формула v=at дает соотношение между скоростью, ускорением и временем, а формула S = at 2 /2 дает соотношение между путем, ускорением и временем. До сих пор, однако, мы не имели соотношения между путем S, скоростью и и ускорением а. Один из способов вывести это соотношение заключается в подстановке t 2 , выраженного через v и а, в формулу S = at 2 /2. Решая относительно t формулу v=at, мы получим t=v/a. Возведя обе части в квадрат: t 2 =v 2 /a 2 , подставляя v 2 /a 2 вместо t 2 , имеем

v 2 = 2aS

Скорость автомобиля 90 см/сек. Через 3 сек его скорость равна нулю. Найдите его отрицательное ускорение (темп равномерного уменьшения скорости).

a=-v/t

a=-90/3=-30 см/сек. за 1 сек.

Ответ можно записать и так: 30 см/сек 2 , это будет означать, что автомобиль уменьшает свою скорость на 30 см/сек за каждую секунду.

Как найти постоянное ускорение в зависимости от расстояния и времени: задачи и примеры

Ускорение движущейся частицы можно описать производной второго порядка расстояния по времени. Это отношение расстояния и времени заставляет нас задуматься о том, как найти постоянное ускорение с расстоянием и временем.

Постоянное ускорение относится к устойчивому изменению движения частицы. Поскольку мы обсудили постоянное ускорение на графике положение-время, мы знаем, что параболический путь, проходимый частицей во времени, дает постоянное ускорение. В этом посте мы узнаем, как найти постоянное ускорение с расстоянием и временем.

Положение частицы, в котором она находится до того, как она начнет прослеживать путь, и через определенное время положение того же объекта дает расстояние, пройденное частицей. Этот расстояние, пройденное частицей с течением времени, дает скорость. Следовательно, мы должны выбрать точный способ нахождения постоянного ускорения. Если мы возьмем линейное расстояние, мы получим постоянную скорость; таким образом, ускорение будет равно нулю.

Как найти постоянное ускорение в зависимости от расстояния и времени?

Вывод постоянного ускорения в зависимости от расстояния и времени включает кинематические уравнения. Поскольку производная второго порядка расстояния по времени дает ускорение, расстояние должно быть функцией квадратичной формы.

Расстояние, пройденное частицей, составляет уравнение как для постоянного, так и для переменного ускорения в кинематическое уравнение движения. Следовательно, при нахождении постоянного ускорения нам нужно предположить, что путь, пройденный частицей, представляет собой параболическую кривую.

Чтобы найти постоянное ускорение, рассмотрим первое уравнение движения:

Где v — конечная скорость, а v₀ — начальная скорость.

Теперь добавьте v₀ в обе стороны уравнения и разделить оба уравнения на 2; следовательно, мы получаем

Из общего выражения скорости

∆x – изменение положения; это можно записать как ∆x=xx₀

∆t – изменение во времени t.

Изменение положения дает уравнение средней скорости, поэтому мы можем переписать уравнение как

Таким образом, мы получаем уравнение расстояния в виде

Но ; средняя скорость

Подставляя значение va в уравнение расстояния,

Приведенное выше выражение имеет квадратичную форму, мы можем дифференцировать приведенное выше уравнение по t как

Снова дифференцируя приведенное выше уравнение,

Из приведенного выше уравнения, чтобы получить постоянное ускорение

Как найти постоянное ускорение через скорость и расстояние?

Соотношение между расстоянием, пройденным телом, и скоростью может помочь нам найти постоянное ускорение. Криволинейное движение тела в 2-мерной плоскости дает установившееся изменение скорости, что дает постоянное ускорение.

Для постоянного ускорения изменение скорости должно быть равномерным. Кинематическое уравнение может дать равномерное изменение скорости с расстоянием. Скорость тела на криволинейном пути определяется следующим образом.

Из первого кинетического уравнения движения мы можем решить не зависящее от времени уравнение скорости и расстояния.

Уравнение задается как v=v₀+ в

Средняя скорость тела, начальная скорость которого равна v0, а конечная скорость равна v, может быть выражена уравнением

Подставляя значение времени и средней скорости в вышеприведенное уравнение, получаем

Уравнение для расстояния можно составить, решив и переставив члены. Таким образом, искомое уравнение будет иметь следующий вид

2 оси = 2 оси₀ + V 2 -v₀ 2

Теперь, дифференцируя по t

С не что иное, как ускорение,

Фактор должна быть ненулевой функцией.

и должна быть линейной функцией времени, чтобы получить постоянное ускорение.

Другой способ найти постоянное ускорение со скоростью и расстоянием приведен ниже.

Из кинематического уравнения движения ускорение частицы можно записать как

Из позиционно-временного уравнения для скорости имеем

Мы должны учитывать среднюю скорость, поскольку существует постоянное изменение скорости частицы со временем, чтобы пройти расстояние x, и, следовательно, среднюю скорость можно записать как

Таким образом, время, затрачиваемое на преодоление расстояния, равно

Подставив значение t в уравнение ускорения, получим

Переставляя термины, мы получаем

Решая вышеприведенное уравнение, получаем

Примеры задач на нахождение постоянного ускорения с расстоянием и временем.

Концепции, обсуждаемые в предыдущих разделах, можно легко понять, решая примеры задач, приведенные в этом разделе.

Задача 1) Автомобиль движется с определенной скоростью, которая определяется расстоянием как функцией времени. Проверьте, постоянно ли ускорение или нет, и найдите скорость автомобиля в момент времени t=9 секунд. Функция задается как X(t)=4t 2 -7т+12.

Решение:

Путь, пройденный телом, определяется как функция времени:

Дифференцируя по времени, получаем

Снова дифференцируя по t, получаем

Поскольку производная второго порядка расстояния по времени есть ускорение, а полученное значение является постоянным числом, ускорение постоянно на пути, проходимом автомобилем. А его ускорение равно 8 м/с. 2 .

Чтобы найти скорость, мы знаем, что

В момент времени t=9 секунд скорость автомобиля определяется выражением

Задача 2) Мяч первоначально движется со скоростью 4 м/с при измерении в положении 6 метров от начала координат. То же сейчас движется со скоростью 7 м/с, а его положение составляет 15 метров. Как найти постоянное ускорение с расстоянием и временем вместе со скоростью мяча.

Решение:

Данные, предоставленные для расчета – начальная скорость мяча v₀ = 4 м / с.

Конечная скорость мяча v = 7 м/с.

Положение мяча при измерении его начальной скорости x₀ = 6 м.

Положение мяча при измерении его конечной скорости x = 15м.

Постоянное ускорение мяча определяется выражением

Задача 3) Гонщик едет на автомобиле с начальной скоростью 33 м/с и преодолевает расстояние 99 метров за 22 секунды. Вычислите постоянное ускорение автомобиля.

Решение:

Данные, необходимые для расчета – Начальная скорость автомобиля v₀ = 33 м / с.

Расстояние, пройденное автомобилем x = 99 м.

Время, за которое автомобиль преодолеет заданное расстояние t = 22 с.

Кинематическое уравнение для заданных данных имеет вид

В этой задаче нам не задано начальное положение автомобиля, поэтому мы предполагаем, что начальное положение автомобиля равно нулю. Следовательно, уравнение можно изменить как

Подставляя данные значения, получаем

Задача 4) измеренная скорость частицы 7 м/с на расстоянии 12 метров. Скорость той же частицы измеряется на расстоянии 39 метров как 11 м/с. Найдите ускорение.

Решение:

Скорость частицы v₁ = 7 м / с.

Скорость той же частицы v₂ = 11 м / с.

Положение частицы со скоростью v₁ это х₁ = 12 м.

Положение частицы со скоростью v₂ это х₂ = 39 м.

Ускорение частицы определяется выражением

Задача 5) Как найти постоянное ускорение с расстоянием и временем, если заданная функция имеет вид x(t)= 8t 2 +12t+4 и, следовательно, найти начальное расстояние t=0 и конечное расстояние в t=4 секунды и, следовательно, найти скорость.

Решение:

Данное уравнение является функцией, зависящей от времени, чтобы найти постоянное ускорение, дифференцированное по времени t

Продифференцировав снова по t

Из приведенного выше уравнения ускорение постоянно, а ускорение равно 16 м/с. 2 .

Расстояние при t=0 равно x(t)= 8t 2 +12т+4

Исходное положение 4 метра.

Расстояние t=4 равно

Скорость определяется выражением

Задача 6) Найти постоянное ускорение функции x(t)=3t 3 + 9т 2 +3т+6.

Решение:

Функция задается как

х(т)=3т 3 + 9т 2 +3т+6

Дифференцировать относительно t

Ускорение в данном уравнении непостоянно. Путь, описываемый данной функцией, не является криволинейным, и имеет место флуктуация скорости. Таким образом, ускорение в данной функции является переменным.

Последние сообщения о передовой науке и исследованиях

Ускорение при равноускоренном прямолинейном движении

теория по физике 🧲 кинематика

• Равноускоренное прямолинейное движение — движение по прямой линии с постоянным ускорением ( a =const).
• Ускорение — векторная физическая величина, показывающая изменение скорости тела за 1 с. Обозначается как a .
• Единица измерения ускорения — метр в секунду в квадрате (м/с 2 ).
• Акселерометр — прибор для измерения ускорения.

Формула ускорения

Ускорение тела равно отношению изменения вектора скорости ко времени, в течение которого это изменение произошло:

v — скорость тела в данный момент времени, v ₀ — скорость тела в начальный момент времени, t — время, в течение которого изменялась скорость

Пример №1. Состав тронулся с места и через 20 секунд достиг скорости 36 км/ч. Найти ускорение его разгона.

Сначала согласуем единицы измерения. Для этого переведем скорость в м/с: умножим километры на 1000 и поделим на 3600 (столько секунд содержится в 1 часе). Получим 10 м/с.

Начальная скорость состава равно 0 м/с, так как изначально он стоял на месте. Имея все данные, можем подставить их в формулу и найти ускорение:

Проекция ускорения

v_x — проекция скорости тела в данный момент времени, v_0x — проекция скорости в начальный момент времени, t — время, в течение которого изменялась скорость

Знак проекции ускорения зависит от того, в какую сторону направлен вектор ускорения относительно оси ОХ:

• Если вектор ускорения направлен в сторону оси ОХ, то его проекция положительна.
• Если вектор ускорения направлен в сторону, противоположную направлению оси ОХ, его проекция отрицательная.

При решении задач на тему равноускоренного прямолинейного движения проекции величин можно записывать без нижнего индекса, так как при движении по прямой тело изменяет положение относительно только одной оси (ОХ). Их обязательно нужно записывать, когда движение описывается относительно двух и более осей.

Направление вектора ускорения

Направление вектора ускорения не всегда совпадает с направлением вектора скорости!

Равноускоренным движением называют такое движение, при котором скорость за одинаковые промежутки времени изменяется на одну и ту же величину. При этом направления векторов скорости и ускорения тела совпадают ( а ↑↑ v ).

Равнозамедленное движение — частный случай равноускоренного движения, при котором скорость за одинаковые промежутки времени уменьшается на одну и ту же величину. При этом направления векторов скорости и ускорения тела противоположны друг другу ( а ↑↓ v ).

Пример №2. Автомобиль сначала разогнался, а затем затормозил. Во время разгона направления векторов его скорости и ускорения совпадают, так как скорость увеличивается. Но при торможении скорость уменьшается, потому что вектор ускорения изменил свое направление в противоположную сторону.

График ускорения

График ускорения — график зависимости проекции ускорения от времени. Проекция ускорения при равноускоренном прямолинейном движении не изменяется (a_x=const). Графиком ускорения при равноускоренном прямолинейном движении является прямая линия, параллельная оси времени.

Зависимость положения графика проекции ускорения относительно оси ОХ от направления вектора ускорения:

• Если график лежит выше оси времени , движение равноускоренное (направление вектора ускорения совпадает с направлением оси ОХ). На рисунке выше тело 1 движется равноускорено.
• Если график лежит ниже оси времени , движение равнозамедленное (вектор ускорения направлен противоположно оси ОХ). На рисунке выше тело 2 движется равнозамедлено.

Если график ускорения лежит на оси времени, движение равномерное, так как ускорение равно 0. Скорость в этом случае — величина постоянная.

Чтобы сравнить модули ускорений по графикам, нужно сравнить степень их удаленности от оси времени независимо от того, лежат они выше или ниже нее. Чем дальше от оси находится график, тем больше его модуль. На рисунке график 2 находится дальше от оси времени по сравнению с графиком один. Поэтому модуль ускорения тела 2 больше модуля ускорения тела 1.

Пример №3. По графику проекции ускорения найти участок, на котором тело двигалось равноускорено. Определить ускорение в момент времени t₁ = 1 и t₂ = 3 с.

В промежуток времени от 0 до 1 секунды график ускорения рос, с 1 до 2 секунд — не менялся, а с 2 до 4 секунд — опускался. Так как при равноускоренном движении ускорение должно оставаться постоянным, ему соответствует второй участок (с 1 по 2 секунду).

Чтобы найти ускорение в момент времени t, нужно мысленно провести перпендикулярную прямую через точку, соответствующую времени t. От точки пересечения с графиком нужно мысленно провести перпендикуляр к оси проекции ускорения. Значение точки, в которой пересечется перпендикуляр с этой осью, покажет ускорение в момент времени t.

В момент времени t₁ = 1с ускорение a = 2 м/с 2 . В момент времени t₂ = 3 ускорение a = 0 м/с 2 .

На рисунке показан график зависимости координаты x тела, движущегося вдоль оси Ох, от времени t (парабола). Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение этого тела, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.

К каждой позиции графика подберите соответствующую позицию утверждения и запишите в поле цифры в порядке АБ.

Алгоритм решения

1. Определить, какому типу движения соответствует график зависимости координаты тела от времени.
2. Определить величины, которые характеризуют такое движение.
3. Определить характер изменения величин, характеризующих это движение.
4. Установить соответствие между графиками А и Б и величинами, характеризующими движение.

Решение

График зависимости координаты тела от времени имеет вид параболы в случае, когда это тело движется равноускоренно. Так как движение тела описывается относительно оси Ох, траекторией является прямая. Равноускоренное прямолинейное движение характеризуется следующими величинами:

Перемещение и путь при равноускоренном прямолинейном движении изменяются так же, как координата тела. Поэтому графики их зависимости от времени тоже имеют вид параболы.

График зависимости скорости от времени при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид прямой, которая не может быть параллельной оси времени.

График зависимости ускорения от времени при таком движении имеет вид прямой, перпендикулярной оси ускорения и параллельной оси времени, так как ускорение в этом случае — величина постоянная.

Исходя из этого, ответ «3» можно исключить. Остается проверить ответ «1». Кинетическая энергия равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости. Графиком квадратичной функции является парабола. Поэтому ответ «1» тоже не подходит.

График А — прямая линия, параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости ускорения от времени (или его модуля). Поэтому первая цифра ответа — «4».

График Б — прямая линия, не параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости скорости от времени (или ее проекции). Поэтому вторая цифра ответа — «2».

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения

1. Записать исходные данные.
2. Записать формулу, связывающую известные из условия задачи величины.
3. Выразить из формулы искомую величину.
4. Вычислить искомую величину, подставив в формулу исходные данные.

Решение

Запишем исходные данные:

• Начальная скорость v₀ = 5 м/с.
• Конечная скорость v = 15 м/с.
• Пройденный путь s = 40 м.

Формула, которая связывает ускорение тела с пройденным путем:

Так как скорость растет, ускорение положительное, поэтому перед ним в формуле поставим знак «+».

Выразим из формулы ускорение:

Подставим известные данные и вычислим ускорение автомобиля:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Внимательно прочитайте текст задани я и выберите верный ответ из списка. На рисунке приведён график зависимости проекции скорости тела v_x от времени.

Какой из указанных ниже графиков совпадает с графиком зависимости от времени проекции ускорения этого тела a_x в интервале времени от 6 с до 10 с?

Алгоритм решения

1. Охарактеризовать движение тела на участке графика, обозначенном в условии задачи.
2. Вычислить ускорение движение тела на этом участке.
3. Выбрать график, который соответствует графику зависимости от времени проекции ускорения тела.

Решение

Согласно графику проекции скорости в интервале времени от 6 с до 10 с тело двигалось равнозамедленно. Это значит, что проекция ускорения на ось ОХ отрицательная. Поэтому ее график должен лежать ниже оси времени, и варианты «а» и «в» заведомо неверны.

Чтобы выбрать между вариантами «б» и «г», нужно вычислить ускорение тела. Для этого возьмем координаты начальной и конечной точек рассматриваемого участка:

• t₁ = 6 с. Этой точке соответствует скорость v₁ = 0 м/с.
• t₂ = 10 с. Этой точке соответствует скорость v₂ = –10 м/с.

Используем для вычислений следующую формулу:

Подставим в нее известные данные и сделаем вычисления:

Этому значению соответствует график «г».

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения

1. Записать формулу ускорения.
2. Записать формулу для вычисления модуля ускорения.
3. Выбрать любые 2 точки графика.
4. Определить для этих точек значения времени и проекции скорости (получить исходные данные).
5. Подставить данные формулу и вычислить ускорение.

Решение

Записываем формулу ускорения:

По условию задачи нужно найти модуль ускорения, поэтому формула примет следующий

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Выбираем любые 2 точки графика. Пусть это будут:

• t₁ = 1 с. Этой точке соответствует скорость v₁ = 15 м/с.
• t₂ = 2 с. Этой точке соответствует скорость v₂ = 5 м/с.

Подставляем данные формулу и вычисляем модуль ускорения:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить