Функция Лагранжа
Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для нахождения экстремума функции через множители Лагранжа в онлайн режиме (см. пример и пример решения графическим способом). При этом решаются следующие задачи:
- составляется функция Лагранжа L(X) в виде линейной комбинации функции F(X) и ограничений gi(x);
- находятся частные производные функции Лагранжа, ∂L/∂xi, ∂L/∂λi;
- составляется система из (n + m) уравнений, ∂L/∂xi = 0.
- определяются переменные xi и множители Лагранжа λi.
- Шаг №1
- Шаг №2
- Видеоинструкция
- Оформление Word
Метод множителей Лагранжа применяется как в линейном программировании, так и в нелинейном. В экономике этот метод используется в задаче потребительского выбора.
Правило множителей Лагранжа
Пример 1 . Методом множителей Лагранжа решить следующую задачу оптимизации:
min f(x) = x1 2 + x2 2
h1(x) = 2x1 + x2 -2 = 0
Соответствующая задача оптимизации без ограничений записывается в следующем виде:
L(x, λ) = x1 2 + x2 2 + λ(2x1 + x2 – 2) → min
Решение:
Для того чтобы проверить, соответствует ли стационарная точка X минимуму, вычислим матрицу Гессе функции L(x, λ), рассматриваемой как функция от x,
,
которая оказывается положительно определенной (2*2 – 0*0 = 4 > 0).
Это означает, что L(x, λ) – выпуклая функция. Следовательно, координаты x * = (-λ, λ/2) определяют точку глобального минимума. Оптимальное значение λ находится путем подстановки значений x1 * и x2 * в уравнение ограничений 2x1 + x2 -2 = 0, откуда вычисляем значение λ:
2λ + λ/2 = -2, откуда λ = -0.8
Таким образом, минимум достигается в точке x * с координатами x1 * = 0.8 и x2 * = 0.4. Значение ЦФ:
min f(x) = 0.8
Ответ: x * = [0.8; 0.4] T , f(x * ) = 0.8
Пример 2 . Исследовать на условный экстремум функцию f(x,y)max = x 2 + 8xy+3y 2 при данных уравнениях связи.
9x +10y = 29
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Первая часть.
Для начала рассмотрим случай функции двух переменных. Условным экстремумом функции $z=f(x,y)$ в точке $M_0(x_0;y_0)$ называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные $x$ и $y$ в окрестности данной точки удовлетворяют уравнению связи $\varphi (x,y)=0$.
Название «условный» экстремум связано с тем, что на переменные наложено дополнительное условие $\varphi(x,y)=0$. Если из уравнения связи можно выразить одну переменную через другую, то задача определения условного экстремума сводится к задаче на обычный экстремум функции одной переменной. Например, если из уравнения связи следует $y=\psi(x)$, то подставив $y=\psi(x)$ в $z=f(x,y)$, получим функцию одной переменной $z=f\left(x,\psi(x)\right)$. В общем случае, однако, такой метод малопригоден, поэтому требуется введение нового алгоритма.
Метод множителей Лагранжа для функций двух переменных.
Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (параметр $\lambda$ называют множителем Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки:
Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, служит знак $d^2 F=F_
Примечание относительно формы записи определителя $H$. показать\скрыть
Некоторые авторы записывают определитель $H$ в иной форме (с знаком «-«):
В этой ситуации сформулированное выше правило изменится следующим образом: если $H > 0$, то функция имеет условный минимум, а при $H m$):
Обозначив множители Лагранжа как $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, составим функцию Лагранжа:
Необходимые условия наличия условного экстремума задаются системой уравнений, из которой находятся координаты стационарных точек и значения множителей Лагранжа:
Выяснить, условный минимум или условный максимум имеет функция в найденной точке, можно, как и ранее, посредством знака $d^2F$. Если в найденной точке $d^2F > 0$, то функция имеет условный минимум, если же $d^2F 0.$$
Следовательно, в точке $M_1(1;3)$ функция $z(x,y)=x+3y$ имеет условный максимум, $z_<\max>=z(1;3)=10$.
Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ найдем:
$$H=8\cdot\left| \begin
Так как $H 0$. Следовательно, знак $H$ противоположен знаку $\lambda$. Можно и довести вычисления до конца:
Вопрос о характере экстремума в стационарных точках $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$ можно решить и без использования определителя $H$. Найдем знак $d^2F$ в каждой стационарной точке:
Отмечу, что запись $dx^2$ означает именно $dx$, возведённый в вторую степень, т.е. $\left( dx \right)^2$. Отсюда имеем: $dx^2+dy^2>0$, посему при $\lambda_1=-\frac<1><2>$ получим $d^2F 0$, посему в данной точке функция имеет условный максимум, $z_<\max>=\frac<500><243>$.
Исследуем характер экстремума в каждой из точек иным методом, основываясь на знаке $d^2F$:
Из уравнения связи $x+y=0$ имеем: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
Так как $ d^2F \Bigr|_
Все дальнейшие преобразования осуществляются с учетом $x > 0; \; y > 0$ (это оговорено в условии задачи). Из второго уравнения выразим $\lambda=-\frac<5x>
Так как $y=1$, то $x=2$, $\lambda=-10$. Характер экстремума в точке $(2;1)$ определим, исходя из знака $d^2F$.
В принципе, здесь можно сразу подставить координаты стационарной точки $x=2$, $y=1$ и параметра $\lambda=-10$, получив при этом:
Однако в других задачах на условный экстремум стационарных точек может быть несколько. В таких случаях лучше $d^2F$ представить в общем виде, а потом подставлять в полученное выражение координаты каждой из найденных стационарных точек:
Подставляя $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, получим:
Ответ: в точке $(2;1)$ функция имеет условный максимум, $z_<\max>=6$.
В следующей части рассмотрим применение метода Лагранжа для функций большего количества переменных.
Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).
Условный экстремум
Понятие условного экстремума.
Пусть на открытом множестве \(G \subset \boldsymbol
Точка \(x^ <0>= (x_<1>^<0>, \ldots, x_
Точка \(x^ <0>\in G\) называется точкой строгого условного минимума функции \(f_<0>(x)\) при наличии связей \eqref_<\delta>(x^<0>) \cap G\) выполнено неравенство \(f_<0>(x) \geq f_<0>(x^<0>)\).
Аналогично определяются точки условного максимума. Точки условного максимума и минимума называются точками условного экстремума.
Прямой метод отыскания точек условного экстремума.
Предположим, что из системы уравнений \eqref
Задача о нахождении точек экстремума функции \(f_<0>(x)\) при наличии связей \eqref
Найти точки условного экстремума функции \(z = 1-x^<2>-y^<2>\), если \(x+y = 1\).
\(\vartriangle\) Уравнение связи \(x+y = 1\) легко разрешается относительно переменной \(y\), а именно \(y = 1-x\). Подставив это выражение для \(y\) в функцию \(z = 1-x^<2>-y^<2>\), получаем, что \(z = 1-x^<2>-(1-x)^ <2>= 2x-2x^<2>\). Функция \(2x-2x^<2>\) имеет максимум при \(x = \frac<1><2>\). Точка \((\frac<1><2>, \frac<1><2>)\) является точкой условного максимума функции \(z(x, y)\) при наличии связи \(x+y = 1\), причем \(z_ <\max>= \displaystyle\frac<1><2>\). \(\blacktriangle\)
Прямой метод нахождения условного экстремума редко бывает эффективным ввиду трудности разрешения уравнений связей относительно какой-либо группы переменных.
Метод множителей Лагранжа.
Рассмотрим функцию \(n+m\) переменных
$$
L(x, \lambda) = f_<0>(x)+\lambda_<1>f_<1>(x)+\ldots+\lambda_
$$
где \(x \in G\), а \(\lambda = (\lambda_<1>, \ldots, \lambda_
Пусть \(x^<0>\) — точка условного экстремума функции \(f_<0>(x)\) при наличии связей \eqref
$$
A = \begin
$$
равен \(m\).
Тогда найдутся такие множители Лагранжа \(\lambda_<1>^<0>, \ldots, \lambda_
\(\circ\) Так как \(m Теорема 2.
Пусть \(x^<0>\) есть точка условного минимума функции \(f_<0>(x)\) при наличии связей \eqref
Тогда найдутся множители Лагранжа \(\lambda_<1>^<0>, \ldots, \lambda_
\(\circ\) Так как выполнены все условия теоремы 1, то найдутся множители Лагранжа \(\lambda_<1>^<0>, \ldots, \lambda_
Воспользовавшись правилом нахождения второго дифференциала сложной функции и формулой \eqref
$$
\sum_
$$
Если умножить каждое из равенств \eqref
$$
d_
$$
Последняя сумма в неравенстве \eqref
(Достаточные условия условного экстремума).
Пусть функции \(f_(x)\), \(i = \overline<0, m>\), имеют непрерывные частные производные второго порядка в окрестности точки \(x^ <0>\in \boldsymbol
Тогда если \(d_
\(\circ\) Пусть
$$
E = \
$$
По условию теоремы функции \(f_(x)\), \(i = \overline<0, m>\), имеют непрерывные частные производные второго порядка, а ранг функциональной матрицы \eqref
Рассмотрим функцию \(L(x, \lambda^<0>)\) на множестве \(E \cap K(x^<0>)\). Очевидно, что
$$
L(x, \lambda^<0>) = f_<0>(x) = F(x_
$$
В силу инвариантности формы первого дифференциала из формулы \eqref
$$
dF(x_
$$
Пусть \(d_
Из \eqref
Аналогично рассматривается случай, когда \(d_
Если окажется, что \(d_
Найти экстремумы функции \(x-2y+2z = u\) и на сфере \(x^<2>+y^<2>+z^ <2>= 1\).
\(\vartriangle\) Строим функцию Лагранжа
$$
L(x, y, z, \lambda) = x-2y+2z+\lambda(x^<2>+y^<2>+x^<2>-1)\nonumber
$$
Стационарные точки функции Лагранжа находим, решая систему уравнений
$$
\frac<\partial L> <\partial x>= 1+2\lambda x = 0,\quad \frac<\partial L> <\partial y>= -2+2\lambda y = 0,\quad \frac<\partial L> <\partial z>= 2+2\lambda z = 0,\nonumber
$$
$$
\frac<\partial L> <\partial \lambda>= x^<2>+y^<2>+z^<2>-1 = 0.\nonumber
$$
Исключая из этой системы \(x, y, z\), получаем \(\displaystyle\left(\frac<1><2\lambda>\right)^<2>+\left(\frac<1><\lambda>\right)^<2>+\left(\frac<1><\lambda>\right)^<2>-1 = 0\), откуда \(\lambda_ <1>= \displaystyle\frac<3><2>\), \(\lambda_ <2>= -\displaystyle\frac<3><2>\).
У функции Лагранжа есть две стационарные точки,
$$
M_ <1>= \left(-\frac<1><3>, \frac<2><3>, -\frac<2><3>, \frac<3><2>\right)\quad \mbox<и>\quad M_ <2>= \left(\frac<1><3>, -\frac<2><3>, \frac<2><3>, -\frac<3><2>\right).\nonumber
$$
Так как \(d^<2>L(M_<1>) = 3(dx^<2>+dy^<2>+dz^<2>) > 0\), a \(d^<2>L(M_<2>) = -3(dx^<2>+dy^<2>+dz^<2>) 0\), тo \(\displaystyle\left(-\frac<1><3>, \frac<2><3>, -\frac<2><3>, \frac<3><2>\right)\) — точка условного минимума, a \(\displaystyle\left(\frac<1><3>, -\frac<2><3>, \frac<2><3>, -\frac<3><2>\right)\) — точка условного максимума функции \(u = x-2y+2x\) при наличии ограничения \(x^<2>+y^<2>+z^<2>-1 = 0\), Причем \(u_ <\min>= -3\), \(u_ <\max>= 3\). \(\blacktriangle\)
Найти условные экстремумы функции \(f_<0>(x, y) = e^
\(\vartriangle\) Построим функцию Лагранжа:
$$
L(x, y) = e^
$$
Стационарные точки функции Лагранжа определяются из системы уравнений
$$
\begin
& \displaystyle\frac<\partial L> <\partial x>= aye^
&\\
& \displaystyle\frac<\partial L> <\partial y>= axe^
&\\
& \displaystyle\frac<\partial L> <\partial \lambda>= x^<3>+y^<3>+x+y-4 = 0.
\end
$$
Умножая первое уравнение на \(x\), а второе на \(y\) и вычитая, получаем
$$
\lambda(3x^<3>-3y^<3>+x-y) = \lambda(x-y)(3x^<2>+3xy+3y^<2>+1) = 0.\label
$$
Если \(\lambda = 0\), то из первых двух уравнений \eqref
Поэтому при \(a 0\) — условный максимум функции \(f_<0>(x, y)\) при наличии связи \(x^<3>+y^<3>+x+y = 4\), причем экстремальное значение функции равно \(e^\). \(\blacktriangle\)
Уравнение связи \(x^<3>+y^<3>+x+y = 4\) было бы затруднительно разрешить относительно одной из переменных. Метод Лагранжа для примера 2 более эффективен, чем прямой метод исключения зависимых переменных.
Несколько замечаний о методе множителей Лагранжа.
Задачи об отыскании экстремумов функций (как числовых, так и функций более общей природы) при наличии ограничений являются весьма распространенными. Теория экстремальных задач интенсивно развивается и находит широкий круг приложений. Здесь были рассмотрены ограничения типа равенств, задаваемые достаточно гладкими функциями (гладкие связи). Метод множителей Лагранжа имеет глубокие обобщения и на более общий случай, когда ограничения задаются системой равенств и неравенств при помощи недифференцируемых в обычном смысле функций.
В конкретных прикладных вопросах множители Лагранжа имеют содержательную интерпретацию. Так, в механике множители Лагранжа задают реакции связей, а в математической экономике — цены на продукты производства. Широко развиты приближенные методы решения экстремальных задач, использующие современную вычислительную технику.
http://math1.ru/education/funct_sev_var/lagranj.html
http://univerlib.com/mathematical_analysis/extremum_functions_multiple_variables/conditional_extremum/