Найти вероятность того что квадратное уравнение

Случайное квадратное уравнение

Какова вероятность того, что корни квадратного уравнения x 2 + 2bx + c = 0 вещественны?

Для того чтобы вопрос задачи имел смысл, предположим, что точка (b, c) равномерно распределена на квадрате с центром в начале координат и стороной 2B (рис. 1). Решим задачу при фиксированном B, а затем устремим B к бесконечности, так что b и c могут принимать любые значения.

Рис. 1. Серая область отвечает случаю вещественных корней

Для того чтобы уравнение имело вещественные корни, необходимо и достаточно, чтобы
b 2 — c ≥ 0.

На приведенном рисунке изображена парабола b 2 = c и показана область, где наше уравнение имеет вещественные корни для B = 4.

Нетрудно подсчитать, что площадь незаштрихованной области равна 4/3∙B 3/2 (при B ≥ 1), а площадь всего квадрата, конечно, равна 4B 2 . Следовательно, вероятность того, что корни комплексные, равна 1/3∙√ B . При B = 4 ответ равен 1/6. С ростом B 1/√ B стремится к нулю, так что вероятность того, что корни вещественные, стремится к 1.

Следует заметить, что эта задача отличается от такой же задачи, связанной с уравнением ax 2 + 2bx + c = 0. Конечно, можно разделить на a, но если a, b и c были независимы и равномерно распределены в некотором кубе, то b/a и c/a уже зависимы и распределены неравномерно.

Публикуется по работе: Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Ф.Мостеллер, перев. с англ., издание второе. М. Наука, 1975, 112 с.

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди «Не укради»

Какова вероятность того, что корни этого уравнения будут действительными числами?

Коэффициенты р и q квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0 выбирают наудачу на отрезке [0; 2]. Какова вероятность того, что корни этого уравнения будут действительными числами?

Решение. Обозначим событие: А – корни данного уравнения бу­дут действительными числами. Найдем вероятность события А, применив формулу р(А) = mesD / mesΩ. Пусть коэффициенты р и q квадратного уравнения ‒ наудачу взятые числа. Их воз­можные значения: 0 2 – 4q > 0, откуда следует, что q ≤ р 2 / 4.

Построим границы области, которой принадлежат точки плоскости, удовлетворяющие условиям:

Граничные прямые р = 0, р = 2, q = 0, q = 2 являются сторонами квадрата, ограничивающего область возможных значений р и q. Граничная кривая q = р 2 /4 представляет собой параболу. Решениями состав­ленной системы неравенств являются координа-ты всех точек плоскости, расположенных на рис. 1.14 заштрихованной области, то есть между граничными линиями р = 0, q = 2, q = р 2 /4 и на самих этих линиях. Точки плоскости, принадлежащие заштрихованной области, характеризуют исхо­ды испытания, благоприятст-вующие событию А. Площадь заштрихованной области равна

Таким образом, вероятность события А равна р(А) = S_g / S_G = 1 / 6.

Геометрическая вероятность

Пусть W — множество точек отрезка или ограниченной плоской фигуры, А – заданное подмножество множества W. Будем считать, что испытание состоит в случайном выборе точки этого множества , событие А – выбор точки из подмножества А, причем «попадание» точки в каждую элементарную часть DW одной и той же длины или площади равновозможно. Тогда вероятность случайного события А будет определена по формуле

или

где L(A) – длина отрезка А, L(W) – длина отрезка W,

S(A) – площадь плоской фигуры А, S(W) – площадь фигуры W.

Пример 1. Внутри квадрата с вершинами (0;0), (1;0), (1;1), (0;1) наудачу выбирается точка М (х, у). Найти вероятность события

Решение. Пусть М(х,у) — случайная точка, попавшая внутрь квадрата со стороной 1 и круга с центром в начале координат радиуса а (рис. 5.1). Так как , а то и

Пример 2. Найти вероятность того, что корни квадратного уравнения действительны, если все значения равновероятны и единственно возможны.

Решение. Областью всех возможных пар значений (p , q) является квадрат ABCD с центром в начале координат и стороной, равной 2 (рис. 5.2). Значит, Интересующему нас событию соответствуют те точки, координаты которых удовлетворяют условию существования корней квадратного уравнения: . Эти точки принадлежат криволинейной фигуре AKOLD,

ограниченной сверху кривой . Площадь фигуры равна Отсюда

Пример 3. Наугад взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает 2. Найти вероятность того, что их произведение не меньше 2, а сумма не больше 3.

Решение. Так как числа х и у удовлетворяют условиям 0 ≤ х ≤ 2 и 0 ≤ у ≤ 2, то точки М(х, у), удовлетворяющие этим условиям, образуют квадрат со стороной 2 и площадью S _D = 4.

Найдем множество М(х, у) для которых ху ≥ 2 и х + у ≤ 3. Эти точки, удовлетворяющие указанной системе неравенств, образуют область d, ограниченной гиперболой ху = 2 и прямой х + у = 3 (рис. 5.3). Находим площадь S _d области d:

=

5.1. Два теплохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих теплоходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из них придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого теплохода – один час, а второго – 2 часа.

5.2. Противник в течение часа делает один десятиминутный налет на участок шоссе. В течение этого же часа нужно преодолеть этот опасный участок шоссе. Какова вероятность того, что можно избежать налета, если время преодоления опасного участка пять минут?

5.3. Два человека договорились о встрече в определенном месте в промежутке времени от 19. 00 до 20. 00. Каждый из них приходит наудачу, независимо от другого и ожидает 15 минут. Какова вероятность того, что они встретятся?

5.4. Два студента условились встретиться между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 10 минут, после чего уходит. Какова вероятность того, что встреча состоится?

5.5. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг: а) квадрата; б) правильного треугольника?

5.6. На площадку, покрытую кафельной плиткой со стороной а = 6см, случайно падает монета радиуса r = 2см. Какова вероятность того, что монета целиком окажется внутри квадрата?

5.7. На отрезке [0,3] наудачу выбраны два числа х и у. Какова вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам х 2 ≤ 3у ≤ 3х?

5.8. Наудачу выбирают два числа из промежутка [0, 1]. Какова вероятность того, что их сумма заключена между 1/4 и 1?

5.9. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает двух. Какова вероятность того, что произведение х · у будет не больше 1, а частное у/х не больше двух?

5.10. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает единицы. Какова вероятность того, что сумма х + у будет не превышает 1, а произведение х · у не меньше 0,09?

5.11. На плоскости нарисованы две концентрические окружности, радиусы которых 3 и 5 см. Какова вероятность того, что точка брошенная наудачу в больший круг, попадет в кольцо, образованное этими окружностями?

5.12. На перекрестке установлен светофор, в котором в течение 25 секунд горит зеленый свет, 19 секунд горит красный свет, а в промежутках между ними в течение 3 секунд – желтый свет. Какова вероятность того, что автомобиль, случайно подъехавший к перекрестку, проедет его без остановки?

5.13. Внутри эллипса расположен круг x 2 + y 2 = 9. Какова вероятность того, что точка попадет в кольцо, образованное эллипсом и кругом?

5.14. В квадрат с вершинами в точках О(0, 0), К(0, 1), L(1, 1), М(1, 0) наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству ?

5.15. В эллипс вписан эллипс . Какова вероятность того, что точка, брошенная в больший эллипс, попадет внутрь малого эллипса?

5.16. На отрезке [0, 2] наудачу выбраны два числа х и у. Какова вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам х 2 ≤ 4у ≤ 4х?

5.17. Круг разделен на 6 равных секторов, через один окрашенный в черный цвет. Какова вероятность того, что точка брошенная в круг попадет в белый сектор?

5.18. Взяты наугад два положительных числа, каждое из которых не больше единицы. Какова вероятность того, что их сумма не превзойдет единицы, а произведение будет не больше 2/9?

5.19. В прямоугольник с вершинами К(-1, 0), L(-1, 5), М(2, 5), N(2, 0) брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам х 2 +1 ≤ у ≤ х + 3?

5.20. В квадрат с вершинами О(0, 0), К(0, 1), L(1, 1), М(1, 0) наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству у > 2x?

5.21. На плоскости область G ограничена эллипсом , а область q – этим эллипсом и эллипсом . В область G брошена точка. Какова вероятность того, что точка попадет в область q?

5.22. В прямоугольник с вершинами К(-2, 0), L(-2, 5), М(1, 5), N(1, 0) брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам х 2 +1 ≤ у ≤ х — 3?

5.23. В прямоугольник с вершинами R(-2, 0), L(-2, 5), M(1, 5), N(1, 0) брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам 0 ≤ у ≤ 2х – х 2 + 8?

5.24. Внутрь круга радиусом R наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг правильного шестиугольника?

5.25. Внутрь равностороннего треугольника со стороной а брошена точка. Какова вероятность того, что точка попадет в круг, вписанный в треугольник?

5.26. Наугад взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает 2. Какова вероятность того, что их произведение не меньше 2, а сумма не больше 3?

5.27. Внутрь круга радиусом R наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что точка окажется в области между кругом и вписанным в него квадратом?

5.28. В квадрат вписан круг. Какова вероятность того, что точка, брошенная в квадрат, попадет внутрь вписанного в него круга?

5.29. На отрезке АВ длины L числовой оси Ох наудачу нанесена точка М(х). Какова вероятность того, что отрезки АМ и МВ имеют длину, большую L/4?

5.30. На отрезке L длины 20 см помещен меньший отрезок l длины 10 см. Какова вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на наименьший отрезок?

ОТВЕТЫ: 5.1. 0,121. 5.2. 0,77. 5.3. 7/16. 5.4. 0,3056. 5.5. 5.6. 1/9. 5.7. 1/6. 5.8. 15/32. 5.9. 0,38. 5.10. 0,2. 5.11. 0,64. 5.12. 0,5. 5.13. 0,55. 5.14. 0,75. 5.15. 0,714. 5.16. 1/3. 5.17. 0,5. 5.18. 0,467. 5.19. 0,3. 5.20. 0,25. 5.21. 5/6. 5.22. 0,3. 5.23. 2/3. 5.24. . 5.25. . 5.26. 0,0284. 5.27. 5.28. π/4. 5.29. 0,5. 5.30. 0,5.