Найти все действительные корни уравнения комбинированным методом

Вычисление комбинированным методом действительного корня заданного уравнения

Страницы работы

Содержание работы

Министерство образования и науки Украины

Национальный аэрокосмический университет им.Н.Е.Жуковского

Отчёт по лабораторной работе №3

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений комбинированным методом

Цель: вычислить комбинированным методом с точностью до действительный корень заданного уравнения.

1. Графически найти интервал изоляции корня для заданного уравнения

2. Нахождение корня уравнения методом хорд:

— интервал изоляции корня уравнения

Неподвижной является точка, в которой знак функции и второй производной совпадает.

Вычисления до заданной точности проводятся, пока не выполнится неравенство:

3. Нахождение корня уравнения методом Ньютона (метод касательных):

— интервал изоляции корня уравнения

Неподвижной является точка, в которой знак функции и второй производной совпадает.

Вычисления до заданной точности проводятся, пока не выполнится неравенство:

4. Нахождение корня уравнения модифицированным методом Ньютона:

— интервал изоляции корня уравнения

Неподвижной является точка, в которой знак функции и второй производной совпадает.

Вычисления до заданной точности проводятся, пока не выполнится неравенство:

5. Нахождение корня уравнения методом секущих:

Если итерации и достаточно близки друг к другу то, производная

в алгоритме Ньютона можно заменить её приближённым значением в виде отношения:

Для использования этого метода необходимо знать два начальных приближения и .

Вычисления до заданной точности проводятся, пока не выполнится неравенство:

6. Нахождение корня уравнения комбинированным методом:

— интервал изоляции корня уравнения

Вычисления до заданной точности проводятся, пока не выполнится неравенство:

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ — Тема: Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методами хорд и касательных.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ В СПО

Разработал преподаватель: Игнатьева Елена Сергеевна

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методами хорд и касательных.

— применить умения отделять корни алгебраических уравнений;

— применить умения решать алгебраические уравнений приближенными методами (метод хорд и касательных);

1. Рабочая тетрадь в клетку.

2. Раздаточный материал: инструкционные карты-20шт.

3. Калькулятор простой.

1. Методом хорд с точностью до 0,01 найдите приближенное значение наибольшего действительного корня следующего алгебраического уравнения.

2. Методом касательных с точностью до 0,01 найдите приближенное значение наибольшего действительного корня следующего алгебраического уравнения.

3. Комбинированным методом хорд и касательных решить уравнение с точностью до 0,01.

1. Методом хорд с точностью до 0,01 найдите приближенное значение наибольшего действительного корня следующего алгебраического уравнения.

2. Методом касательных с точностью до 0,01 найдите приближенное значение наибольшего действительного корня следующего алгебраического уравнения.

3. Комбинированным методом хорд и касательных решить уравнение с точностью до 0,01.

1. Внимательно прочитать тему и цель практической работы .

2. Изучить учебный материал по теме.

3. Ответить на вопросы.

4. Выполнить задания.

5. Подготовить отчет.

Пояснения к работе (учебный материал):

Предположим, что удалось найти достаточно малый промежуток , содержащий ровно один действительный корень уравнения (1).

Тогда, согласно теореме 5, непрерывная и дифференцируемая функция принимает на его концах значения разных знаков, т.е. .

Предположим, также, что промежуток столь мал, что во всех его точках сохраняют постоянный знак.

На рис. 1 – 4 изобразим схематические графики четырёх типов расположения дуги кривой.

Отдельно рассмотрим и опишем два случая.

Случай 1. на , т.е. либо и на , либо и на

Случай 2. на , т.е. либо и на , либо и на

Приведем алгоритм решения задачи в первом случае:

а) через точки и кривой проведем хорду AB . Ее уравнение имеет вид:

или ;

б) найдём абсциссу точки пересечения хорды АВ с осью Ох. Положив , получим ;

в) подставив значение в уравнение кривой , получим . Точка имеет координаты ;

г) через точки и кривой проведем хорду . Ее уравнение имеет вид:

или

д) найдем абсциссу точки пересечения хорды с осью . Положив , будем иметь:

;

е) в результате получим последовательность значений , , ,…, сходящуюся к .

После выполнения неравенства , где — выбранная нами точность приближения, процесс следует закончить.

Итак, в первом случае вычисления производятся по формулам:

;

(2)

Приведем алгоритм решения задачи во втором случае:

а) значения и находятся так же, как и в первом случае. Точка имеет координаты ;

б) через точки и кривой проведем хорду . Ее уравнение имеет вид: или ;

в) найдем абсциссу точки пересечения хорды с осью Ox . Положив , будем иметь: ;

г) дальнейшие действия такие же, как и в первом случае. Итак, во втором случае вычисления производятся по формулам:

Метод касательных (метод Ньютона).

При тех же предложениях, что и в методе хорд на рис. 5 и 8, изобразим схематически графики четырех типов расположения дуги кривой.

Отдельно рассмотрим и опишем два случая.

Случай 1. . на (см. рис. 5 и 8), т.е. либо и на , либо и на .

Случай 2. на (см. рис. 6 и 7), т.е. либо и на , либо и на .

Приведем алгоритм решения задачи в первом случае:

а) через точку проведем касательную к кривой . Ее уравнение имеет вид:

или ;

б) найдём абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Ox . Положив , получим ;

в) подставив значение в уравнении кривой получим: . Точка имеет координаты ;

г) через точку проведем касательную к кривой . Ее уравнение имеет вид:

или ;

д) найдём абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Ox . Положив , получим ;

е) в результате получим последовательность значений , , …, сходящуюся к .

После выполнения неравенства , где — выбранная нами точность приближения, процесс следует закончить.

Итак, в первом случае вычисления производятся по формулам:

Алгоритм решения задачи во втором случае будет таким же, как и в первом случае, только первая касательная будет проводиться через точку .

Итак, во втором случае вычисления проводятся по формулам:

Комбинированный метод хорд и касательных.

Пусть требуется найти действительный корень уравнения изолированный на отрезке . Предполагается, что и имеют разные знаки, а каждая из производных сохраняет определенный знак на отрезке изоляции. Возьмем на отрезке такую точку что и (при x, принадлежащем промежутку изоляции) имеют одинаковые знаки.

Воспользуемся формулами методов хорд и касательных:

Величины и принадлежат промежутку изоляции, причем и

Построим новую пару приближений к корню:

.

Точки и на числовой оси расположены между точками и , причем и имеют разные знаки.

Вычислим теперь значения

и т.д.

Каждая из последовательностей

…, …; …, …

стремится к искомому корню, причем одна из последовательностей монотонно возрастает, а другая – монотонно убывает. Пусть, например, тогда . Задав заранее достаточно малое мы можем, увеличивая добиться выполнения неравенства следовательно, при этом же значении будет выполняться неравенство Таким образом, является приближенным значением корня вычисленным с погрешностью, не превышающей

Так, например, для нахождения приближенного значения с точностью до 0,001 нужно определить таким образом, чтобы значения и вычисленные с точностью до 0,001, совпадали.

При выполнении практической работы рассмотрите следующие примеры:

Методом хорд найти положительный корень уравнения

С точностью

Прежде всего, отделяем корень. Так как

и

То искомый корень х лежит в интервале . Полученный интервал велик, поэтому разделим его пополам. Так как

и

То искомый корень х лежит в интервале . Полученный интервал велик, поэтому разделим его пополам. Так как

то

Так как при и , то воспользуемся формулой (5) для решения поставленной задачи:

следовательно , продолжаем вычисления;

Таким образом, можно принять с точностью .

Заметим, что точный корень уравнения .

С помощью графического метода отделить корни трансцендентного уравнения и уточнить их методом Ньютона с точностью е=0,00001.

.

Решение. Запишем наше уравнение в виде . Строим графики данных функций.

Из рис. 3 видно, что данное уравнение имеет два корня: первый корень принадлежит отрезку [0,1; 1], а второй [1,1; 2].

Уточним корни методом касательных. Для этого вычислим производные.

Итерационная формула метода Ньютона в данном случае принимает вид.

Результаты вычислений представим в виде таблиц