Найти все корни уравнения принадлежащие отрезку видео

Как решать задание 13

О чем задача?

Задачи на решение тригонометрических уравнений, более сложных, чем в задании 5. В большинстве задач требуется не только решить уравнение, но и отобрать корни, принадлежащие определенному отрезку.

Как решать?

Шаг 1. Найдите область определения

Шаг 2. Приведите уравнение к виду простейших тригонометрических уравнений

Для того чтобы привести уравнение к виду простейших тригонометрических уравнений, применяйте следующие стандартные приемы:

Мы свели исходное уравнение к совокупности простейших тригонометрических уравнений [ cos x = − 1 , cos x = − 1 2 . \left[\begin \cos x = -1 <,>\\\cos x = -\frac<1> <2><.>\end\right. [ cos x = − 1 , cos x = − 2 1 ​ . ​

Шаг 3. Решите простейшие тригонометрические уравнения

О решении простейших тригонометрических уравнений читайте в отдельной статье .

Убедитесь, что найденные вами корни принадлежат области определения уравнения.

Остается решить уравнение cos x = − 1 2 \cos x =-\frac<1> <2>cos x = − 2 1 ​ .

Шаг 4. Выберите корни, принадлежащие отрезку, данному в условии

Корни, принадлежащие данному в условии отрезку, можно найти либо методом перебора, либо путем решения неравенства относительно k k k .

Найдем подходящие корни методом перебора. Для этого рассмотрим две серии корней по отдельности.

ЕГЭ. Задание 13. Тригонометрические (и не только) уравнения

Подготовка к профильному уровню единого государственного экзамена по математике. Полезные материалы по тригонометрии, большие теоретические видеолекции, видеоразборы задач и подборка заданий прошлых лет.

Полезные материалы

Подборки видео и онлайн-курсы

Тригонометрические формулы

Геометрическая иллюстрация тригонометрических формул

Арк-функции. Простейшие тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения

1. Необходимая теория для решения задач.
2. а) Решите уравнение $7\cos^2 x — \cos x — 8 = 0$.
   б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\dfrac<7\pi><2>; -\dfrac<3\pi><2>\right]$.
3. а) Решите уравнение $\dfrac<6><\cos^2 x>— \dfrac<7><\cos x>+ 1 = 0$.
   б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -3\pi; -\pi \right]$.
4. Решите уравнение $\sin\sqrt <16 - x^2>= \dfrac12$.
5. а) Решите уравнение $2\cos 2x — 12\cos x + 7 = 0$.
   б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\pi; \dfrac<5\pi><2>\right]$.
6. а) Решите уравнение $\dfrac<5><\mathrm^2 x> — \dfrac<19><\sin x>+ 17 = 0$.
   б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\dfrac<7\pi><2>; -2\pi \right]$.
7. Решите уравнение $\dfrac<2\cos^3 x + 3 \cos^2 x + \cos x><\sqrt<\mathrmx>> = 0$.
8. Решите уравнение $\dfrac<\mathrm^3x — \mathrmx><\sqrt<-\sin x>> = 0$.
9. а) Решите уравнение $\cos 2x = 1 — \cos\left(\dfrac<\pi><2>— x\right)$.
   б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\dfrac<5\pi><2>; -\pi \right)$.
10. а) Решите уравнение $\cos 2x = \sin\left(\dfrac<3\pi><2>— x\right)$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ \dfrac<3\pi><2>; \dfrac<5\pi><2>\right]$.
11. а) Решите уравнение $2\sin^2\left(\dfrac<3\pi><2>+ x\right) = \sqrt3\cos x$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\dfrac<7\pi><2>; -2\pi \right]$.

Видеоразборы задач

а) Решите уравнение $x — 3\sqrt + 1 = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \sqrt<3>; \sqrt <20>\right]$.

а) Решите уравнение $\dfrac<\sin x><\sin^2\dfrac<2>> = 4\cos^2\dfrac<2>$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\dfrac<9\pi><2>; -3\pi \right]$.

а) Решите уравнение $\sqrt = 3 — x$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\sqrt<3>; \sqrt <30>\right]$.

а) Решите уравнение $\cos 2x = 1 — \cos\left(\dfrac<\pi> <2>— x\right)$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -\dfrac<5\pi><2>; -\pi \right)$.

а) Решите уравнение $\cos^2 (\pi — x) — \sin \left( x + \dfrac<3\pi> <2>\right) = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\dfrac<5\pi><2>; 4\pi \right]$.

а) Решите уравнение $8^x — 9 \cdot 2^ + 2^ <5 - x>= 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\log_5 2; \log_5 20 \right]$.

а) Решите уравнение $8 \sin^2 x + 2\sqrt <3>\cos \left( \dfrac<3\pi> <2>— x\right) = 9$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[- \dfrac<5\pi><2>; -\pi \right]$.

а) Решите уравнение $2\log_3^2 (2 \cos x) — 5\log_3 (2 \cos x) + 2 = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\pi; \dfrac<5\pi> <2>\right]$.

а) Решите уравнение $\left( \dfrac<1> <49>\right)^ <\sin x>= 7^<2 \sin 2x>$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\dfrac<3\pi><2>; 3\pi \right]$.

а) Решите уравнение $\sin x + \left(\cos \dfrac <2>— \sin \dfrac<2>\right)\left(\cos \dfrac <2>+ \sin \dfrac<2>\right) = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\pi; \dfrac<5\pi><2>\right]$.

а) Решите уравнение $\log_4 (\sin x + \sin 2x + 16) = 2$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -4\pi; -\dfrac<5\pi> <2>\right]$.

Задание №12. Уравнения — профильный ЕГЭ по математике

Задание 12 Профильного ЕГЭ по математике – это решение уравнений. Чаще всего, конечно, это тригонометрические уравнения. Но встречаются и другие типы – показательные, логарифмические, комбинированные.

Сейчас задание 12 Профильного ЕГЭ на решение уравнения состоят из двух пунктов: собственно решения и отбора корней на определенном отрезке.

Что нужно знать, чтобы справиться с этой задачей на ЕГЭ? Вот необходимые темы для повторения.

Что необходимо помнить при решении уравнений?

1) Помним про область допустимых значений уравнения! Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы или арксинусы с арккосинусами — сразу записываем ОДЗ. А найдя корни, проверяем, входят они в эту область или нет. Есть в уравнении есть — помним, что он существует, только если

2) Стараемся записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

3) Если есть возможность сделать замену переменной — делаем замену переменной! Уравнение сразу станет проще.

4) Если еще не выучили формулы тригонометрии — пора это сделать! Много формул не нужно. Самое главное — тригонометрический круг, формулы синусов и косинусов двойных углов, синусов и косинусов суммы (разности), понижения степени. Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо знать, как они получаются.

5) Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка . От нее и будем отсчитывать. Получим:

6) Получив ответ, проверьте его правильность. Просто подставьте найденные решения в исходное уравнение!

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Упростим левую часть по формуле приведения.

Вынесем за скобки. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Видим, что указанному отрезку принадлежат решения

Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка От нее и отсчитываем.

2. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.

Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.

Это ответ в пункте (а).

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку

Отметим на тригонометрическом круге отрезок и найденные серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки и из серии

Точки серии не входят в указанный отрезок.

А из серии в указанный отрезок входит точка

Ответ в пункте (б):

3. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Применим формулу косинуса двойного угла:

Перенесем всё в левую часть уравнения и разложим по формуле разности квадратов.

Обратите внимание: мы отметили серии решений на тригонометрическом круге. Это помогло нам увидеть, как их записать одной формулой.

б) Для разнообразия отберем корни на отрезке с помощью двойного неравенства.

Какой способ отбора корней лучше — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства? У каждого из них есть «плюсы» и «минусы».

Пользуясь тригонометрическим кругом, вы не ошибетесь. Вы видите и интервал, и сами серии решений. Это наглядный способ.

Зато, если интервал больше, чем один круг, удобнее отбирать корни с помощью двойного неравенства. Например, надо найти корни из серии на отрезке Это больше 10 кругов! Конечно, в таком случае лучше решить двойное неравенство.

4. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Самое сложное здесь — область допустимых значений (ОДЗ). Условие заметно сразу. А условие появляется, поскольку в уравнении есть

Уравнение равносильно системе:

Отберем решения с помощью тригонометрического круга. Нам нужны те серии решений, для которых , то есть те, что соответствуют точкам справа от оси .

Ответ в пункте а)

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что указанному промежутку принадлежат точки

5. а) Решите уравнение

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Это значит, что уравнение равносильно системе:

Решим эту систему с помощью тригонометрического круга. Отметим на нем углы, для которых или . Заметим, что среди них находятся и углы, для которых

Числа серии не могут быть корнями исходного уравнения, т.к. для этих чисел не выполнено условие . Остальные серии решений нас устраивают.

Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку любым способом — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства.