Найти все корни уравнения z
Квадратный корень из комплексного числа
Корни четвертой и пятой степени
Возведение в степень
Мнимая и действительная часть
Можно использовать следующие функции от z (например, от z = 1 + 2.5j):
Правила ввода выражений и функций
3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно
2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Где учитесь?
Для правильного составления решения, укажите:
Решение уравнений с комплексными числами
Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.
Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:
где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = <0, 1, 2, 3, …n-1 >.
Пример 1. Найти все корни уравнения
Выразим z из уравнения:
Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа
Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.
Пример 2. Найти все корни уравнения
Найдем дискриминант уравнения:
Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:
Найдем корни уравнения:
Ответ:
Пример 3. Найти все корни уравнения
Выразим z из уравнения:
Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа
Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = <0, 1, 2, 3>. Найдем модуль комплексного числа:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:
Пример 4. Найти корни уравнения
Решение кубического уравнения комплексными числами:
Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.
Найдем все необходимые значения для формулы:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:
Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.
Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.
После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.
Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.
Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.
Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.
Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.
Комплексные числа по-шагам
Результат
Примеры комплексных выражений
- Деление комплексных чисел
- Умножение комплексных чисел
- Комплексные уравнения
- Возведение комплексного числа в степень
- Корень из комплексного числа
Указанные выше примеры содержат также:
- квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x) - тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - показательные функции и экспоненты exp(x)
- обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x) - натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) - гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) - обратные гиперболические функции:
asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x) - число Пи pi
- комплексное число i
Правила ввода
Можно делать следующие операции
2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5
Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:
http://matematyka.ru/reshenie-uravnenij-s-kompleksny-mi-chislami/
http://mrexam.ru/complex