Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Вторая часть.
В первой части мы рассматривали системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), все коэффициенты которых были известны. В этой же части разберём СЛАУ, среди коэффициентов которых есть некий параметр. Для исследования СЛАУ на совместность станем использовать теорему Кронекера-Капелли. В процессе решения примеров на данной странице будем применять метод Гаусса или же метод Крамера. Сформулируем теорему и следствие из неё ещё раз:
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $\rang A=\rang\widetilde$.
Следствие из теоремы Кронекера-Капелли
Параметр $n$, использованный выше, равен количеству переменных рассматриваемой СЛАУ.
Исследовать СЛАУ $ \left \ <\begin
Чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы $A$ и ранг расширенной матрицы системы $\widetilde$. Сделать это можно несколькими путями. Стоит учесть, что в данном примере нам требуется не только исследовать систему на совместность, но и указать её решения. Мне кажется наиболее удобным в таких задачах применять метод Гаусса, однако это вовсе не является обязательным. Для разнообразия данный пример решим методом Гаусса, а следующий – методом Крамера. Итак, запишем и начнём преобразовывать расширенную матрицу системы. При записи расширенной матрицы системы поменяем местами первую и вторую строки. Это нужно для того, чтобы первым элементом первой строки стало число -1.
$$ \left(\begin
Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Напомню, что до черты расположена преобразованная матрица матрица системы: $\left(\begin
Каким бы ни было значение параметра $k$, полученная нами после преобразований матрица будет содержать не менее двух ненулевых строк (первая и вторая строки точно останутся ненулевыми). Вопрос о количестве решений зависит лишь от третьей строки.
В следствии из теоремы Кронекера-Капелли указаны три случая, и в данном примере легко рассмотреть каждый из них. Начнём с варианта $\rang A\neq\rang\widetilde$, при котором система не имеет решений, т.е. несовместна.
$\rang A\neq\rang\widetilde$
Ранги будут не равны друг другу лишь в одном случае: когда $1-k^2=0$, при этом $2k-2\neq<0>$. В этом случае преобразованная матрица системы будет содержать две ненулевых строки (т.е. $\rang A=2$), а преобразованная расширенная матрица системы будет содержать три ненулевых строки (т.е. $\rang \widetilde=3$). Иными словами, нам требуется решить систему уравнений:
Из первого уравнения имеем: $k=1$ или $k=-1$, однако $k\neq<1>$, поэтому остаётся лишь один случай: $k=-1$. Следовательно, при $k=-1$ система не имеет решений.
$\rang A=\rang\widetilde<3$
Рассмотрим второй пункт следствия из теоремы Кронекера-Капелли – ранги равны между собой, но меньше, чем количество переменных (т.е. меньше 3). Это возможно лишь в том случае, если последняя строка преобразованной расширенной матрицы системы полностью станет нулевой, т.е.
Из данной системы имеем: $k=1$. Именно при $k=1$ третья строка преобразованной расширенной матрицы системы станет нулевой, поэтому $\rang=\rang\widetilde=2$. При этом, повторюсь, у нас всего три переменных, т.е. имеем случай $\rang A=\rang\widetilde=2<3$.
Система имеет бесконечное количество решений. Найдём эти решения. Подставим $k=1$ в преобразованную матрицу и продолжим операции метода Гаусса. Третью строку (она станет нулевой) просто вычеркнем:
$$ \left(\begin
$\rang A=\rang\widetilde=3$
Рассмотрим третий пункт следствия из теоремы Кронекера-Капелли – ранги равны между собой и равны количеству переменных. Это возможно лишь в том случае, если $1-k^2\neq<0>$, т.е. $k\neq<-1>$ и $k\neq<1>$. Продолжаем решение методом Гаусса:
$$ \left(\begin
Исследовать СЛАУ $\left\ <\begin
Вновь, как и в предыдущем примере, для того, чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы $A$ и ранг расширенной матрицы системы $\widetilde$. Чтобы исследовать систему на совместность и указать количество решений применим метод Крамера. Можно было бы решить и методом Гаусса, однако в предыдущем примере мы его уже использовали, поэтому для разнообразия решим задачу с помощью метода Крамера. Начнём с вычисления определителя матрицы системы. Этот определитель мы получим с помощью готовой формулы.
Значения переменных $x_1$, $x_2$, $x_3$ будут такими:
Нам остаётся исследовать совместность системы при условии $\Delta=0$. Это равенство возможно при $k=0$ или $k=1$.
Случай $k=0$
Нам остаётся рассмотреть последний случай: $k=1$.
Случай $k=1$
Для наглядности я запишу здесь матрицу системы $A$ и расширенную матрицу системы $\widetilde$, подставив $k=1$:
Если $k=1$, то $\Delta=0$. Это значит, что $\rang≤2$. Рассмотрим миноры второго порядка матрицы $A$. Например, возьмём минор, образованный на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2: $M=\left|\begin
Задача решена, осталось лишь записать ответ.
Разберём ещё один пример, в котором рассмотрим СЛАУ с четырьмя уравнениями.
Исследовать СЛАУ $ \left \ <\begin
Применим метод Гаусса. При записи расширенной матрицы системы поместим первую строку вниз, на место четвёртой строки. А дальше начнём стандартные операции метода Гаусса.
$$ \left(\begin
Здесь можно было бы остановиться и рассмотреть случаи $k=1$ и $k\neq<1>$ отдельно. Цель таких действий: разделить вторую, третью и четвёртую строки на $k-1$ при условии $k-1\neq<0>$. Однако пока что полученная нами матрица содержит не столь уж громоздкие элементы, поэтому сейчас отвлекаться на частности я не вижу смысла. Продолжим преобразования в общем виде:
$$ \left(\begin
Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. До черты расположена преобразованная матрица системы. Ранги матриц $A$ и $\widetilde$ зависят от значения параметра $k$. Рассмотрим три случая: $k=1$, $k=-3$ и случай $k\neq<1>$, $k\neq<-3>$.
Случай $k=-3$
Случай $k=1$
Если $k=1$, то преобразованная матрица станет такой: $\left(\begin
$$x_1+x_2+x_3+x_4=1\; \Rightarrow \; x_1=-x_2-x_3-x_4+1.$$
Случай $k\neq<1>$ и $\neq<-3>$
Продолжим решение методом Гаусса. Так как $k\neq<1>$ и $\neq<-3>$, то $(1-k)(k+3)\neq<0>$. Следовательно, мы можем разделить вторую и третью строки на $1-k$, четвёртую строку – на выражение $(1-k)(k+3)$. С полученной после этого матрицей продолжим операции обратного хода метода Гаусса:
$$ \left(\begin
Из последней матрицы имеем: $x_1=x_2=x_3=x_4=\frac<1>
- При $k=-3$ система несовместна.
- При $k=1$ система является неопределённой. Общее решение системы: $\left\<\begin
& x_1=-x_2-x_3-x_4+1;\\&x_2\in ,\;x_3\in ,\;x_4\in . \end \right.$ - При $k\neq<-3>$ и $k\neq<1>$ система является определённой. Решение системы: $x_1=x_2=x_3=x_4=\frac<1>
$.
Задания по теме «Системы уравнений с параметром»
Открытый банк заданий по теме системы уравнений с параметром. Задания C6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Задание №1227
Условие
Найдите все значения a > 0, при каждом из которых система \begin
Решение
Если y \geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность \phi _1 с центром в точке C_1 (4; 4) радиуса 3 , а если y то оно задаёт окружность \phi _2 с центром в точке C_2 (4; -4) того же радиуса.
При a > 0 второе уравнение задаёт окружность \phi с центром в точке C(0; 4) радиуса a . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a , при каждом из которых окружность \phi имеет ровно две общие точки с объединением окружностей \phi _1 и \phi _2.
Координаты точки касания окружностей \phi и \phi _1 явно видны на чертеже — точки A_1 (1; 4) и B_1 (7; 4) . То есть при a=CA_1=1 и a=CB_1=7 окружности \phi и \phi _1 касаются. При a > 7 и a окружности \phi и \phi _1 не пересекаются, при 1 окружности \phi и \phi _2 имеют 2 общие точки.
Далее, из точки C проведём луч CC_2 и обозначим A_2 и B_2 точки его пересечения с окружностью \phi_2 , где A_2 лежит между C и C_2. Заметим, что длина отрезка CC_2= \sqrt <4^2+(4-(-4))^<2>>= \sqrt <80>= 4\sqrt 5.
При a или a > CB_2 окружности \phi и \phi_2 не пересекаются. При CA_2 окружности \phi и \phi _2 имеют 2 общие точки. При a =CA_2=4\sqrt 5-3 или a=CB_2=4\sqrt 5+3, окружности \phi и \phi _2 касаются.
Исходная система имеет ровно 2 решения тогда и только тогда, когда окружность \phi с одной из окружностей \phi _1 и \phi _2 имеет 2 общие точки, а с другой не пересекается, либо касается одновременно двух окружностей.
Так как 1 то условию задачи удовлетворяют значения a\in (1;4\sqrt 5-3) \cup (7; 4\sqrt 5+3).
Системы уравнений с двумя переменными и параметрами
п.1. Решение системы линейных уравнений с параметром
Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: \( \left\< \begin
Система имеет одно решение, если главный определитель не равен нулю: $$ \Delta = \begin
Ответ: при всех действительных a, кроме a ≠ ± 1.
п.2. Решение системы нелинейных уравнений с параметром
При решении системы нелинейных уравнений с параметром чаще всего используем графический метод (см. §15 данного справочника).
Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: \( \left\< \begin
\( \mathrm
\( \mathrm
Система имеет одно решение, если прямая является касательной к окружности:
Точка A является решением: x = 1, y = 1.
Подставляем найденное решение в уравнение для окружности: 1 2 + 1 2 = 2 $$ \mathrm> $$
п.3. Примеры
Пример 2. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
\( \left\< \begin
Первое уравнение – квадрат с вершинами (±4; 0),(0; ±4); второе уравнение – окружность переменного радиуса с центром в точке (3; 3).
Единственное решение соответствует радиусу \( \mathrm
При увеличении радиуса будет 2, 3 или 4 точки пересечения. При дальнейшем увеличении окружность становится слишком большой, пересечений с квадратом нет.
Получаем:\( \mathrm<|a+1|=\sqrt<2>\Rightarrow a+1=\pm\sqrt<2>\Rightarrow a_<1,2>=-1\pm\sqrt<2>>. \)
Пример 3. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
\( \left\< \begin
При (a – 1) 2 2 = 4 одно решение.
При (a – 1) 2 > 4 два решения.
Получаем:\( \mathrm <(a-1)^2=4\Rightarrow a-1=\pm 2\Rightarrow>\left[\begin
http://academyege.ru/theme/sistemy-uravnenij-s-parametrom.html
http://reshator.com/sprav/algebra/9-klass/sistemy-uravnenij-s-dvumya-peremennymi-i-parametrami/