Корреляционная таблица
Пример 1 . По данной корреляционной таблице построить прямые регрессии с X на Y и с Y на X . Найти соответствующие коэффициенты регрессии и коэффициент корреляции между X и Y .
y/x | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
100 | 2 | 2 | ||||
120 | 4 | 3 | 10 | 3 | ||
140 | 2 | 50 | 7 | 10 | ||
160 | 1 | 4 | 3 | |||
180 | 1 | 1 |
Решение:
Уравнение линейной регрессии с y на x будем искать по формуле
а уравнение регрессии с x на y, использовав формулу:
где x x , y — выборочные средние величин x и y, σx, σy — выборочные среднеквадратические отклонения.
Находим выборочные средние:
x = (15(1 + 1) + 20(2 + 4 + 1) + 25(4 + 50) + 30(3 + 7 + 3) + 35(2 + 10 + 10) + 40(2 + 3))/103 = 27.961
y = (100(2 + 2) + 120(4 + 3 + 10 + 3) + 140(2 + 50 + 7 + 10) + 160(1 + 4 + 3) + 180(1 + 1))/103 = 136.893
Выборочные дисперсии:
σ 2 x = (15 2 (1 + 1) + 20 2 (2 + 4 + 1) + 25 2 (4 + 50) + 30 2 (3 + 7 + 3) + 35 2 (2 + 10 + 10) + 40 2 (2 + 3))/103 — 27.961 2 = 30.31
σ 2 y = (100 2 (2 + 2) + 120 2 (4 + 3 + 10 + 3) + 140 2 (2 + 50 + 7 + 10) + 160 2 (1 + 4 + 3) + 180 2 (1 + 1))/103 — 136.893 2 = 192.29
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
и
Определим коэффициент корреляции:
где ковариация равна:
Cov(x,y) = (35•100•2 + 40•100•2 + 25•120•4 + 30•120•3 + 35•120•10 + 40•120•3 + 20•140•2 + 25•140•50 + 30•140•7 + 35•140•10 + 15•160•1 + 20•160•4 + 30•160•3 + 15•180•1 + 20•180•1)/103 — 27.961 • 136.893 = -50.02
Запишем уравнение линий регрессии y(x):
и уравнение x(y):
Построим найденные уравнения регрессии на чертеже, из которого сделаем следующие вывод:
1) обе линии проходят через точку с координатами (27.961; 136.893)
2) все точки расположены близко к линиям регрессии.
Пример 2 . По данным корреляционной таблицы найти условные средние y и x . Оценить тесноту линейной связи между признаками x и y и составить уравнения линейной регрессии y по x и x по y . Сделать чертеж, нанеся его на него условные средние и найденные прямые регрессии. Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.
Корреляционная таблица:
X / Y | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
1 | 5 | 4 | 2 | 0 | 0 |
2 | 0 | 6 | 3 | 3 | 0 |
3 | 0 | 0 | 1 | 2 | 3 |
5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Уравнение линейной регрессии с y на x имеет вид:
Уравнение линейной регрессии с x на y имеет вид:
найдем необходимые числовые характеристики.
Выборочные средние:
x = (2(5) + 4(4 + 6) + 6(2 + 3 + 1) + 8(3 + 2) + 10(3 + 1) + )/30 = 5.53
y = (2(5) + 4(4 + 6) + 6(2 + 3 + 1) + 8(3 + 2) + 10(3 + 1) + )/30 = 1.93
Дисперсии:
σ 2 x = (2 2 (5) + 4 2 (4 + 6) + 6 2 (2 + 3 + 1) + 8 2 (3 + 2) + 10 2 (3 + 1))/30 — 5.53 2 = 6.58
σ 2 y = (1 2 (5 + 4 + 2) + 2 2 (6 + 3 + 3) + 3 2 (1 + 2 + 3) + 5 2 (1))/30 — 1.93 2 = 0.86
Откуда получаем среднеквадратические отклонения:
σx = 2.57 и σy = 0.93
и ковариация:
Cov(x,y) = (2•1•5 + 4•1•4 + 6•1•2 + 4•2•6 + 6•2•3 + 8•2•3 + 6•3•1 + 8•3•2 + 10•3•3 + 10•5•1)/30 — 5.53 • 1.93 = 1.84
Определим коэффициент корреляции:
Запишем уравнения линий регрессии y(x):
и вычисляя, получаем:
yx = 0.28 x + 0.39
Запишем уравнения линий регрессии x(y):
и вычисляя, получаем:
xy = 2.13 y + 1.42
Если построить точки, определяемые таблицей и линии регрессии, увидим, что обе линии проходят через точку с координатами (5.53; 1.93) и точки расположены близко к линиям регрессии.
Значимость коэффициента корреляции.
По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=30-m-1 = 28 находим tкрит:
tкрит (n-m-1;α/2) = (28;0.025) = 2.048
где m = 1 — количество объясняющих переменных.
Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически — значим.
Пример 3 . Распределение 50 предприятий пищевой промышленности по степени автоматизации производства Х (%) и росту производительности труда Y (%) представлено в таблице. Необходимо:
1. Вычислить групповые средние i и j x y, построить эмпирические линии регрессии.
2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α= 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить рост производительности труда при степени автоматизации производства 43%.
Скачать решение
Пример . По корреляционной таблице рассчитать ковариацию и коэффициент корреляции, построить прямые регрессии.
Пример 4 . Найти выборочное уравнение прямой Y регрессии Y на X по данной корреляционной таблице.
Решение находим с помощью калькулятора.
Скачать
Пример №4
Пример 5 . С целью анализа взаимного влияния прибыли предприятия и его издержек выборочно были проведены наблюдения за этими показателями в течение ряда месяцев: X — величина месячной прибыли в тыс. руб., Y — месячные издержки в процентах к объему продаж.
Результаты выборки сгруппированы и представлены в виде корреляционной таблицы, где указаны значения признаков X и Y и количество месяцев, за которые наблюдались соответствующие пары значений названных признаков.
Решение.
Пример №5
Пример №6
Пример №7
Пример 6 . Данные наблюдений над двумерной случайной величиной (X, Y) представлены в корреляционной таблице. Методом наименьших квадратов найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X. Построить график уравнения регрессии и показать точки (x;y)б рассчитанные по таблице данных.
Решение.
Скачать решение
Пример 7 . Дана корреляционная таблица для величин X и Y, X- срок службы колеса вагона в годах, а Y — усредненное значение износа по толщине обода колеса в миллиметрах. Определить коэффициент корреляции и уравнения регрессий.
X / Y | 0 | 2 | 7 | 12 | 17 | 22 | 27 | 32 | 37 | 42 |
0 | 3 | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 25 | 108 | 44 | 8 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
2 | 30 | 50 | 60 | 21 | 5 | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 |
3 | 1 | 11 | 33 | 32 | 13 | 2 | 3 | 1 | 0 | 0 |
4 | 0 | 5 | 5 | 13 | 13 | 7 | 2 | 0 | 0 | 0 |
5 | 0 | 0 | 1 | 2 | 12 | 6 | 3 | 2 | 1 | 0 |
6 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 2 | 1 | 0 | 1 |
7 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Решение.
Скачать решение
Пример 8 . По заданной корреляционной таблице определить групповые средние количественных признаков X и Y. Построить эмпирические и теоретические линии регрессии. Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная зависимость:
- Вычислить выборочный коэффициент корреляции и проанализировать степень тесноты и направления связи между переменными.
- Определить линии регрессии и построить их графики.
Скачать
Найти выборочное уравнение регрессии y на x
Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!
Контакты
— формулы для нахождения коэффициента регрессии b:
Для расчета параметров уравнения регрессии также можно решить следующую систему уравнений:
Пример расчета уравнения регрессии
Приведем пример расчета параметров уравнения регрессии для значений, приведенных в следующей таблице (пример условный):
По семи территориям Уральского региона известны значения двух признаков за 201_ год:
Район | Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, y | Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х |
---|---|---|
Удмуртская республика | 66.3 | 41.5 |
Свердловская область | 59.9 | 57.7 |
Республика Башкортостан | 57.3 | 55.8 |
Челябинская область | 53.1 | 59.4 |
Пермский край | 51.7 | 56.7 |
Курганская область | 50.7 | 44.6 |
Оренбургская область | 48 | 52.7 |
1. Для характеристики зависимости y от x рассчитать параметры уравнения парной линейной регрессии;
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и дать его интерпретацию;
3. Рассчитать коэффициент детерминации и дать его интерпретацию;
4. Рассчитать коэффициент эластичности для линейной парной регрессии и дать его интерпретацию.
Для построения уравнения парной линейной регрессии составим таблицу вспомогательных расчетов, где будут произведены необходимые промежуточные вычисления:
№ района | Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, y | Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х | yx |
---|---|---|---|
1 | 66.3 | 41.5 | 2751.45 |
2 | 59.9 | 57.7 | 3456.23 |
3 | 57.3 | 55.8 | 3197.34 |
4 | 53.1 | 59.4 | 3154.14 |
5 | 51.7 | 56.7 | 2931.39 |
6 | 50.7 | 44.6 | 2261.22 |
7 | 48 | 52.7 | 2529.6 |
Итого | 387 | 368.4 | 20281.37 |
Среднее значение | 55.29 | 52.63 | 2897.34 |
σ | 5.84 | 6.4 | — |
σ 2 | 34.06 | 40.93 | — |
Далее рассчитаем коэффициенты уравнения парной линейной регрессии.
Коэффициент b вычислим по формуле:
Формула расчета коэффициента b уравнения парной линейной регрессии
Пример расчета коэффициента b уравнения парной линейной регрессии: b = (2897.34-55.29*52.63)/40.93 = -0.31
Коэффициент a вычислим по формуле:
Формула расчета коэффициента a уравнения парной линейной регрессии
Пример расчета коэффициента a уравнения парной линейной регрессии: a = 55.29 — -0.31*52.63 = 71.61
Получим следующее уравнение парной линейной регрессии:
Линейный коэффициент парной корреляции рассчитаем по формуле:
Формула расчета линейного коэффициента парной корреляции
Пример расчета линейного коэффициента парной корреляции:
ryx = -0.31*6.4 / 5.84 = -0.3397
Далее вычислим коэффициент детерминации по формуле:
Формула расчета коэффициента детерминации
Пример расчета значения коэффициента детерминации:
r 2 yx = -0.3397*-0.3397 = 0.1154 или 11.54%
Интерпретация значения коэффициента детерминации: согласно полученному значению коэффициента детерминации вариация расходов на покупку продовольственных товаров в общих расходах только на 11.54% определяется вариацией среднедневной заработной платой одного работающего, что является низким показателем.
Далее рассчитаем коэффициент эластичности для линейной регресии по формуле:
Формула расчета коэффициента эластичности для линейной регрессии
Пример расчета величины коэффициента эластичности для линейной регрессии:
Интерпретация значения коэффициента эластичности для линейной регрессии: полученное значение коэффициента эластичности показывает, что с изменением среднедневной заработной платы одного работающего на 1% от своего среднего значения величина расходов на покупку продовольственных товаров изменится на -0.295% в среднем по совокупности.
Далее рассчитаем значение F-критерия Фишера для построенного уравнения парной линейной регрессии. Расчет F-критерия Фишера выполним по формуле:
Формула расчета F-критерия Фишера
Пример расчета F-критерия Фишера: F = 0.1154 / 0.8846*5 = 0.65.
Интерпретация значения F-критерия Фишера. Так как полученное значение F-критерия Фишера меньше табличного критерия, то полученное уравнение парной линейной регрессии является статистически незначимым и не пригодным для описания зависимости доли расходов на покупку продовольственных товаров в общих расходах только от величины среднедневной заработной платой одного работающего. Показатель тесноты связи также признается статистически незначимым.
Онлайн калькулятор расчета уравнения регрессии
В заключении приводим небольшой онлайн калькулятор расчета параметров уравнения линейной регрессии, используя который, Вы можете самостоятельно определить значения соответствующих коэффициентов и построить линейную регрессии онлайн. При заполнении приведенной формы калькулятора внимательно соблюдайте размерность полей, что позволит выполнить построить уравнение регрессии онлайн быстро и точно. В приведенной форме онлайн калькулятора уже содержатся данные условного примера, чтобы пользователь мог посмотреть, как это работает. Для определения значений соответствующих показателей по своим данным просто внесите их в соответствующие поля формы онлайн калькулятора и нажмите кнопку «Выполнить вычисления». При заполнении формы соблюдайте размерность показателей! Дробные числа записываются с точной, а не запятой!
Приведенная форма рассчитана на ввод максимум 10 значений. Если у вас их меньше, то обязательно оставьте «лишние» поля формы пустыми!
Онлайн-калькулятор расчета коэффициента корреляции:
Заказать решение задач на построение уравнения регрессии
Мы можем помочь Вам выполнить построение различных уравнений регрессии, как линейных, так и нелинейных:
http://yukhym.com/ru/sluchajnye-velichiny/postroenie-uravneniya-pryamoj-regressii-y-na-x.html
http://www.rnz.ru/econometrica/regressija.php