Не совместное система линейных уравнений
линейных уравнений называется совместной, если у неё есть хотя бы одно решение, и несовместной, если решений нет. В примере 14 система совместна, столбик является её решением:
Это решение можно записать и без матриц: x = 2, у = 1.
Систему уравнений будем называть неопределённой, если она имеет более одного решения, и определённой, если решение единственно.
Пример 15. Система является неопределённой. Например, . являются её решениями. Читатель может найти и много других решений этой системы.
Научимся решать системы линейных уравнений сначала в частном случае. Систему уравнений AX = B будем называть крамеровской, если её основная матрица А — квадратная и невырожденная. Другими словами, в крамеровской системе число неизвестных совпадает с числом уравнений и |A| = 0.
Теорема 6 (правило Крамера). Крамеровская система линейных уравнений имеет единственное решение, задаваемое формулами:
где Δ = |A| — определитель основной матрицы, Δi — определитель, полученный из A заменой i-го столбика столбиком свободных членов.
Доказательство проведём для n = 3, так как в общем случае рассуждения аналогичны.
Итак, имеется крамеровская система:
Допустим сначала, что решение системы существует, т. е. имеются
Умножим первое . равенство на алгебраическое дополнение к элементу aii, второе равенство — на A2i, третье — на A3i и сложим полученные равенства:
Исследование СЛАУ. Общие сведения
В данной статье мы расскажем о методах, видах, условиях и определениях исследований решений систем линейных уравнений, что такое метод Кронекера-Капели, а также приведем примеры.
Общие сведения (определения, условия, методы, виды)
Системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными могут иметь:
- единственное решение;
- бесконечное множество решение (неопределенные СЛАУ);
- ни одного решения (несовместные СЛАУ).
Пример 1
Система x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 3 не имеет решений, поэтому она несовместна.
Система x + y = 1 2 x + 7 y = — 3 имеет единственное решение x = 2 ; y = 1 .
Система x + y = 1 2 x + 2 y = 2 3 x + 3 y = 3 имеет бесконечное множество решений x = t y = 1 — t при — ∞ t ∞ .
Перед решением системы уравнений необходимо исследовать систему, т.е. ответить на следующие вопросы:
- Совместна ли система?
- Если система совместна, то, какое количество решений она имеет — одно или несколько?
- Как найти все решения?
Если система малоразмерна при m = n , то ответить на поставленные вопросы можно при помощи метода Крамера:
- если основной определитель системы, то система совместна и имеет единственное решение, которое вычисляется методом Крамера;
- если, и один из вспомогательных определителей, то система не является совместной, т.е. не имеет решений;
- если и все, и один из коэффициентов СЛАУ, то система не является определенной и имеет бесконечное множество решений.
Ранг матрицы и его свойства
Бывают случаи, которые выбиваются из представленных вариантов решения СЛАУ, например, линейные уравнения с большим количеством уравнений и неизвестных.
Для такого варианта решения существует ранг матрицы, который представляет собой алгоритм действий в случае решения системы матрицы, когда
В математике выделяют следующие подходы к определению ранга матрицы:
- при помощи понятия линейной зависимости/независимости строк/столбцов матрицы. Ранг равен максимальному количеству независимых строк (столбцов) матрицы
- при помощи понятия минора матрицы в качестве наивысшего порядка минора, который отличается от нуля. Минор матрицы порядка k — определитель k-го порядка, составленный из элементов, которые стоят на пересечении вычеркиваемых k-строк и k-столбцов матрицы;
- при помощи метода Гаусса. По завершении прямого хода ранг матрицы равняется количеству ненулевых строк.
Обозначение ранга матрицы: r ( A ) , r g ( A ) , r A .
Свойства ранга матрицы:
- квадратная невырожденная матрица обладает рангом, который отличается от нуля;
- если транспонировать матрицу, то ранг матрицы не изменяется;
- если поменять местами 2 параллельные строки или 2 параллельных столбца, ранг матрицы не изменяется;
- при удалении нулевого столбца или строки ранг матрицы не изменяется;
- ранг матрицы не изменяется, если удалить строку или столбец, которые являются линейной комбинацией других строк;
- при умножении все элементов строки/столбца на число k н е р а в н о н у л ю ранг матрицы не изменяется;
- ранг матрицы не больше меньшего из ее размеров: r ( А ) ≤ m i n ( m ; n ) ;
- когда все элементы матрицы равны нулю, то только тогда r ( A ) = 0 .
Пример 2
А 1 = 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , B 1 = 1 0 0 0 0 0
r ( A 1 ) = 1 , r ( B 1 ) = 1
А 2 = 1 2 3 4 0 5 6 7 0 0 0 0 ; В 2 = 1 1 3 1 2 1 4 3 1 2 5 0 5 4 13 6
Системы линейных уравнений
Классификация систем линейных уравнений
Определение. Две системы называются эквивалентными, если решение первой является решением второй и наоборот.
Определение. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.
Определение. Система, имеющая единственное решение, называется определенной, а имеющая более одного решения – неопределенной.
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/issledovanie-slau/slau/
http://math.semestr.ru/gauss/system.php