Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Введение
Если найдена такая функция U ( x, y ) , то уравнение принимает вид:
dU ( x, y ) = 0 .
Его общий интеграл:
U ( x, y ) = C ,
где C – постоянная.
Если дифференциальное уравнение первого порядка записано через производную:
,
то его легко привести к форме (1). Для этого умножим уравнение на dx . Тогда . В результате получаем уравнение, выраженное через дифференциалы:
(1) .
Свойство дифференциального уравнения в полных дифференциалах
Для того, чтобы уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:
(2) .
Доказательство
Далее мы полагаем, что все функции, используемые в доказательстве, определены и имеют соответствующие производные в некоторой области значений переменных x и y . Точка x 0 , y 0 также принадлежит этой области.
Докажем необходимость условия (2).
Пусть левая часть уравнения (1) является дифференциалом некоторой функции U ( x, y ) :
.
Тогда
;
.
Поскольку вторая производная не зависит от порядка дифференцирования, то
;
.
Отсюда следует, что . Необходимость условия (2) доказана.
Докажем достаточность условия (2).
Пусть выполняется условие (2):
(2) .
Покажем, что можно найти такую функцию U ( x, y ) , что ее дифференциал:
.
Это означает, что существует такая функция U ( x, y ) , которая удовлетворяет уравнениям:
(3) ;
(4) .
Найдем такую функцию. Проинтегрируем уравнение (3) по x от x 0 до x , считая что y – это постоянная:
;
;
(5) .
Дифференцируем по y считая, что x – это постоянная и применим (2):
.
Уравнение (4) будет выполнено, если
.
Интегрируем по y от y 0 до y :
;
;
.
Подставляем в (5):
(6) .
Итак, мы нашли функцию, дифференциал которой
.
Достаточность доказана.
В формуле (6), U ( x 0 , y 0) является постоянной – значением функции U ( x, y ) в точке x 0 , y 0 . Ей можно присвоить любое значение.
Как распознать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах
Рассмотрим дифференциальное уравнение:
(1) .
Чтобы определить, является ли это уравнение в полных дифференциалах, нужно проверить выполнение условия (2):
(2) .
Если оно выполняется, то это уравнение в полных дифференциалах. Если нет – то это не уравнение в полных дифференциалах.
Пример
Проверить, является ли уравнение в полных дифференциалах:
.
Здесь
, .
Дифференцируем по y , считая x постоянной:
.
Дифференцируем по x , считая y постоянной:
.
Поскольку:
,
то заданное уравнение – в полных дифференциалах.
Методы решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах
Метод последовательного выделения дифференциала
Наиболее простым методом решения уравнения в полных дифференциалах является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого мы применяем формулы дифференцирования, записанные в дифференциальной форме:
du ± dv = d ( u ± v ) ;
v du + u dv = d ( uv ) ;
;
.
В этих формулах u и v – произвольные выражения, составленные из любых комбинаций переменных.
Пример 1
Ранее мы нашли, что это уравнение – в полных дифференциалах. Преобразуем его:
(П1) .
Решаем уравнение, последовательно выделяя дифференциал.
;
;
;
;
.
Подставляем в (П1):
;
.
Метод последовательного интегрирования
В этом методе мы ищем функцию U ( x, y ) , удовлетворяющую уравнениям:
(3) ;
(4) .
Проинтегрируем уравнение (3) по x , считая y постоянной:
.
Здесь φ ( y ) – произвольная функция от y , которую нужно определить. Она является постоянной интегрирования. Подставляем в уравнение (4):
.
Отсюда:
.
Интегрируя, находим φ ( y ) и, тем самым, U ( x, y ) .
Пример 2
Решить уравнение в полных дифференциалах:
.
Ранее мы нашли, что это уравнение – в полных дифференциалах. Введем обозначения:
, .
Ищем Функцию U ( x, y ) , дифференциал которой является левой частью уравнения:
.
Тогда:
(3) ;
(4) .
Проинтегрируем уравнение (3) по x , считая y постоянной:
(П2)
.
Дифференцируем по y :
.
Подставим в (4):
;
.
Интегрируем:
.
Подставим в (П2):
.
Общий интеграл уравнения:
U ( x, y ) = const .
Объединяем две постоянные в одну.
Метод интегрирования вдоль кривой
Функцию U , определяемую соотношением:
dU = p ( x, y ) dx + q ( x, y ) dy ,
можно найти, если проинтегрировать это уравнение вдоль кривой, соединяющей точки ( x 0 , y 0) и ( x, y ) :
(7) .
Поскольку
(8) ,
то интеграл зависит только от координат начальной ( x 0 , y 0) и конечной ( x, y ) точек и не зависит от формы кривой. Из (7) и (8) находим:
(9) .
Здесь x 0 и y 0 – постоянные. Поэтому U ( x 0 , y 0) – также постоянная.
Пример такого определения U был получен при доказательстве свойства уравнения в полных дифференциалах:
(6) .
Здесь интегрирование производится сначала по отрезку, параллельному оси y , от точки ( x 0 , y 0 ) до точки ( x 0 , y ) . Затем интегрирование производится по отрезку, параллельному оси x , от точки ( x 0 , y ) до точки ( x, y ) .
В более общем случае, нужно представить уравнение кривой, соединяющей точки ( x 0 , y 0 ) и ( x, y ) в параметрическом виде:
x 1 = s ( t 1) ; y 1 = r ( t 1) ;
x 0 = s ( t 0) ; y 0 = r ( t 0) ;
x = s ( t ) ; y = r ( t ) ;
и интегрировать по t 1 от t 0 до t .
Наиболее просто выполняется интегрирование по отрезку, соединяющим точки ( x 0 , y 0 ) и ( x, y ) . В этом случае:
x 1 = x 0 + ( x – x 0) t 1 ; y 1 = y 0 + ( y – y 0) t 1 ;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = ( x – x 0) dt 1 ; dy 1 = ( y – y 0) dt 1 .
После подстановки, получается интеграл по t от 0 до 1 .
Данный способ, однако, приводит к довольно громоздким вычислениям.
Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 10-08-2012 Изменено: 02-07-2015
Уравнение в полных дифференциалах
Вы будете перенаправлены на Автор24
Уравнение в полных дифференциалах и его решение
Дифференциальное уравнение, имеющее стандартный вид $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, в котором левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции $F\left(x,y\right)$, называется уравнением в полных дифференциалах.
Уравнение в полных дифференциалах всегда можно переписать в виде $dF\left(x,y\right)=0$, где $F\left(x,y\right)$ — такая функция, что $dF\left(x,y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.
Проинтегрируем обе части уравнения $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; интеграл от нулевой правой части равен произвольной постоянной $C$. Таким образом, общее решение данного уравнения в неявной форме имеет вид $F\left(x,y\right)=C$.
Для того, чтобы данное дифференциальное уравнение представляло собой уравнение в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие $\frac<\partial P> <\partial y>=\frac<\partial Q> <\partial x>$. Если указанное условие выполнено, то существует такая функция $F\left(x,y\right)$, для которой можно записать: $dF=\frac<\partial F> <\partial x>\cdot dx+\frac<\partial F> <\partial y>\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, откуда получаем два соотношения: $\frac<\partial F> <\partial x>=P\left(x,y\right)$ и $\frac<\partial F> <\partial y>=Q\left(x,y\right)$.
Интегрируем первое соотношение $\frac<\partial F> <\partial x>=P\left(x,y\right)$ по $x$ и получаем $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, где $U\left(y\right)$ — произвольная функция от $y$.
Подберем её так, чтобы удовлетворялось второе соотношение $\frac<\partial F> <\partial y>=Q\left(x,y\right)$. Для этого продифференцируем полученное соотношение для $F\left(x,y\right)$ по $y$ и приравняем результат к $Q\left(x,y\right)$. Получаем: $\frac<\partial > <\partial y>\left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U’\left(y\right)=Q\left(x,y\right)$.
Дальнейшее решение таково:
- из последнего равенства находим $U’\left(y\right)$;
- интегрируем $U’\left(y\right)$ и находим $U\left(y\right)$;
- подставляем $U\left(y\right)$ в равенство $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ и окончательно получаем функцию $F\left(x,y\right)$.
Чтобы получить частное решение уравнения в полных дифференциалах, начальное условие $y=y_ <0>$ при $x=x_ <0>$ нужно подставить в общее решение $F\left(x,y\right)=C$. Получаем $F\left(x_ <0>,y_ <0>\right)=C$. Таким образом, частное решение имеет вид $F\left(x,y\right)=F\left(x_ <0>,y_ <0>\right)$.
Интегрирующие множители
Если для дифференциального уравнения $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$ условие $\frac<\partial P> <\partial y>=\frac<\partial Q> <\partial x>$ не выполняется, то такое уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Но в некоторых случаях его можно преобразовать в уравнение в полных дифференциалах посредством умножения на некоторую функцию $\mu \left(x,y\right)$, которая называется интегрирующим множителем.
Будем искать интегрирующий множитель в следующих двух простейших случаях:
- когда он зависит только от $x$, то есть $\mu =\mu \left(x\right)$;
- когда он зависит только от $y$, то есть $\mu =\mu \left(y\right)$.
Первый случай имеем тогда, когда отношение $\frac<\frac<\partial P> <\partial y>-\frac<\partial Q> <\partial x>> =\phi _ <1>\left(x\right)$ зависит только от $x$. Тогда интегрирующий множитель можно найти по следующей формуле $\mu =e^ <\int \phi _<1>\left(x\right)\cdot dx > $.
Второй случай имеем тогда, когда отношение $\frac<\frac<\partial P> <\partial y>-\frac<\partial Q> <\partial x>>
=\phi _ <2>\left(y\right)$ зависит только от $y$. Тогда интегрирующий множитель можно найти по следующей формуле $\mu =e^ <-\int \phi _<2>\left(y\right)\cdot dy > $.
В обоих формулах для интегрирующего множителя допустимо взять какое-то конкретное значение неопределенного интеграла. Если интегрирующий множитель найти удалось, то на него следует умножить данное дифференциальное уравнение, представленное в стандартном виде. После этого оно становится дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, и к нему можно применить соответствующий метод решения.
Алгоритмы решения
Рассмотренный метод решения может быть представлен в виде следующего алгоритма:
- Данное дифференциальное уравнение следует представить в стандартном виде $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$. Оно может быть уравнением в полных дифференциалах. Чтобы убедиться в этом, следует проверить условие $\frac<\partial P><\partial y>=\frac<\partial Q><\partial x>$. Если это условие не выполняется, нужно перейти к поиску интегрирующего множителя. Иначе выполнение алгоритма продолжаем.
- Вычисляем интеграл $V\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx $ и выбираем для него какое-то простое значение.
- Находим частную производную $V’_
\left(x,y\right)=\frac<\partial ><\partial y>V\left(x,y\right)$. - Находим разность $U’\left(y\right)=Q\left(x,y\right)-V’_
\left(x,y\right)$. - Интегрируем $U’\left(y\right)$ по $y$, находим $U\left(y\right)$ и выбираем для неё какое-то простое значение.
- Записываем искомую функцию $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)$.
- Записываем общее решение $F\left(x,y\right)=C$ и частное решение $F\left(x,y\right)=F\left(x_ <0>,y_ <0>\right)$, где $y=y_ <0>$ при $x=x_ <0>$ — начальное условие.
Поиск интегрирующего множителя может быть представлен в виде следующего алгоритма:
- Вычисляем вспомогательную функцию $R=\frac<\partial P><\partial y>-\frac<\partial Q><\partial x>$.
- Находим функции $\phi _ <1>\left(x\right)=\frac
$ и $\phi _ <2>\left(y\right)=\frac
$. Если функция $\phi _ <1>\left(x\right)$действительно зависит только от $x$, то интегрирующий множитель находим по формуле $\mu =e^ <\int \phi _<1>\left(x\right)\cdot dx > $. Если функция $\phi _ <2>\left(y\right)$ действительно зависит только от $y$, то интегрирующий множитель находим по формуле $\mu =e^ <-\int \phi _<2>\left(y\right)\cdot dy > $. В обоих случаях для интегрирующего множителя выбираем какое-то конкретное значение неопределенного интеграла.
- Если интегрирующий множитель найти удалось, то умножаем на него данное дифференциальное уравнение, представленное в стандартном виде. После этого оно становится дифференциальным уравнением в полных дифференциалах и можно переходить на соответствующий алгоритм его решения. Если интегрирующий множитель найти не удалось, то дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
Дано дифференциальное уравнение, имеющее следующий вид:
\[\left(5\cdot y^ <3>+13\cdot y^ <2>+6\cdot y\right)\cdot dx+\left(10\cdot x\cdot y^ <2>+23\cdot x\cdot y-2\cdot y+6\cdot x-4\right)\cdot dy=0.\]
Найти его общее решение. Найти также его частное решение для начального условия $y=3$ при $x=2$.
Данное дифференциальное уравнение имеет вид $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, где $P\left(x,y\right)=5\cdot y^ <3>+13\cdot y^ <2>+6\cdot y$, $Q\left(x,y\right)=10\cdot x\cdot y^ <2>+23\cdot x\cdot y-2\cdot y+6\cdot x-4$. Оно может быть уравнением в полных дифференциалах. Поэтому проверяем условие $\frac<\partial P> <\partial y>=\frac<\partial Q> <\partial x>$.
Находим частные производные: $\frac<\partial P> <\partial y>=15\cdot y^ <2>+26\cdot y+6$, $\frac<\partial Q> <\partial x>=10\cdot y^ <2>+23\cdot y+6$. Условие $\frac<\partial P> <\partial y>=\frac<\partial Q> <\partial x>$ не выполняется. Следовательно, данное дифференциальное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Поэтому переходим к поиску интегрирующего множителя.
Находим вспомогательную функцию $R=\frac<\partial P> <\partial y>-\frac<\partial Q> <\partial x>$. Получаем$R=15\cdot y^ <2>+26\cdot y+6-10\cdot y^ <2>-23\cdot y-6=5\cdot y^ <2>+3\cdot y$.
Находим функции: $\phi _ <1>\left(x\right)=\frac =\frac <5\cdot y^<2>+3\cdot y> <5\cdot y^<3>+13\cdot y^ <2>+6\cdot y> $. Выполняем упрощение найденных функций посредством сокращения дробей. Оказывается, что для функции $\phi _ <1>\left(x\right)$ сокращение невозможно. Функция $\phi _ <2>\left(y\right)$ в результате сокращения получает вид $\phi _ <2>\left(y\right)=\frac<1> Интегрирующий множитель находим по формуле $\mu =e^ <-\int \phi _<2>\left(y\right)\cdot dy > $. Получаем: $\mu =e^ <-\int \phi _<2>\left(y\right)\cdot dy > =e^<-\int \frac<1> Умножаем полученный интегрирующий множитель на данное дифференциальное уравнение: \[\frac <5\cdot y^<3>+13\cdot y^ <2>+6\cdot y> После деления многочленов имеем: \[\left(5\cdot y^ <2>+3\cdot y\right)\cdot dx+\left(10\cdot x\cdot y+3\cdot x-2\right)\cdot dy=0. \] Получили новое дифференциальное уравнение, в котором $P\left(x,y\right)=5\cdot y^ <2>+3\cdot y$, $Q\left(x,y\right)=10\cdot x\cdot y+3\cdot x-2$. Снова проверяем условие $\frac<\partial P> <\partial y>=\frac<\partial Q> <\partial x>$: получаем $\frac<\partial P> <\partial y>=10\cdot y+3$, $\frac<\partial Q> <\partial x>=10\cdot y+3$. Условие $\frac<\partial P> <\partial y>=\frac<\partial Q> <\partial x>$ выполняется. Следовательно, новое дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Переходим к алгоритму его решения. Вычисляем интеграл: $V\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx =\int \left(5\cdot y^ <2>+3\cdot y\right)\cdot dx =$ \[=\left(5\cdot y^ <2>+3\cdot y\right)\cdot \int dx =\left(5\cdot y^ <2>+3\cdot y\right)\cdot x=5\cdot x\cdot y^ <2>+3\cdot x\cdot y.\] \[V’_ \[U’\left(y\right)=Q\left(x,y\right)-V’_ Интегрируем $U’\left(y\right)$ по $y$ и находим $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$. Находим результат: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^ <2>+3\cdot x\cdot y-2\cdot y$. Записываем общее решение в виде $F\left(x,y\right)=C$, а именно: \[5\cdot x\cdot y^ <2>+3\cdot x\cdot y-2\cdot y=C.\] Находим частное решение $F\left(x,y\right)=F\left(x_ <0>,y_ <0>\right)$, где $y_ <0>=3$, $x_ <0>=2$: \[F\left(2,3\right)=5\cdot 2\cdot 3^ <2>+3\cdot 2\cdot 3-2\cdot 3=90+18-6=102.\] Частное решение имеет вид: $5\cdot x\cdot y^ <2>+3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$. Получи деньги за свои студенческие работы Курсовые, рефераты или другие работы Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 30 11 2021 В этой теме мы рассмотрим метод восстановления функции по ее полному дифференциалу, дадим примеры задач с полным разбором решения. Бывает так, что дифференциальные уравнения (ДУ) вида P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0 могут содержать в левых частях полные дифференциалы некоторых функций. Тогда мы можем найти общий интеграл ДУ, если предварительно восстановим функцию по ее полному дифференциалу. Рассмотрим уравнение P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0 . В записи левой его части содержится дифференциал некоторой функции U ( x , y ) = 0 . Для этого должно выполняться условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x . Полный дифференциал функции U ( x , y ) = 0 имеет вид d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . С учетом условия ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x получаем: P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y ∂ U ∂ x = P ( x , y ) ∂ U ∂ y = Q ( x , y ) Преобразовав первое уравнение из полученной системы уравнений, мы можем получить: U ( x , y ) = ∫ P ( x , y ) d x + φ ( y ) Функцию φ ( y ) мы можем найти из второго уравнения полученной ранее системы: Так мы нашли искомую функцию U ( x , y ) = 0 . Найдите для ДУ ( x 2 — y 2 ) d x — 2 x y d y = 0 общее решение. P ( x , y ) = x 2 — y 2 , Q ( x , y ) = — 2 x y Проверим, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x : ∂ P ∂ y = ∂ ( x 2 — y 2 ) ∂ y = — 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ ( — 2 x y ) ∂ x = — 2 y Наше условие выполняется. На основе вычислений мы можем сделать вывод, что левая часть исходного ДУ является полным дифференциалом некоторой функции U ( x , y ) = 0 . Нам нужно найти эту функцию. Так как ( x 2 — y 2 ) d x — 2 x y d y является полным дифференциалом функции U ( x , y ) = 0 , то ∂ U ∂ x = x 2 — y 2 ∂ U ∂ y = — 2 x y Интегрируем по x первое уравнение системы: U ( x , y ) = ∫ ( x 2 — y 2 ) d x + φ ( y ) = x 3 3 — x y 2 + φ ( y ) Теперь дифференцируем по y полученный результат: ∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 — x y 2 + φ ( y ) ∂ y = — 2 x y + φ y ‘ ( y ) Преобразовав второе уравнение системы, получаем: ∂ U ∂ y = — 2 x y . Это значит, что где С – произвольная постоянная. Получаем: U ( x , y ) = x 3 3 — x y 2 + φ ( y ) = x 3 3 — x y 2 + C . Общим интегралом исходного уравнения является x 3 3 — x y 2 + C = 0 . Разберем еще один метод нахождения функции по известному полному дифференциалу. Он предполагает применение криволинейного интеграла от фиксированной точки ( x 0 , y 0 ) до точки с переменными координатами ( x , y ) : U ( x , y ) = ∫ ( x 0 , y 0 ) ( x , y ) P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y + C В таких случаях значение интеграла никак не зависит от пути интегрирования. Мы можем взять в качестве пути интегрировании ломаную, звенья которой располагаются параллельно осям координат. Найдите общее решение дифференциального уравнения ( y — y 2 ) d x + ( x — 2 x y ) d y = 0 . Проведем проверку, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x : ∂ P ∂ y = ∂ ( y — y 2 ) ∂ y = 1 — 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ ( x — 2 x y ) ∂ x = 1 — 2 y Получается, что левая часть дифференциального уравнения представлена полным дифференциалом некоторой функции U ( x , y ) = 0 . Для того, чтобы найти эту функцию, необходимо вычислить криволинейный интеграл от точки ( 1 ; 1 ) до ( x , y ) . Возьмем в качестве пути интегрирования ломаную, участки которой пройдут по прямой y = 1 от точки ( 1 , 1 ) до ( x , 1 ) , а затем от точки ( x , 1 ) до ( x , y ) : ∫ ( 1 , 1 ) ( x , y ) y — y 2 d x + ( x — 2 x y ) d y = = ∫ ( 1 , 1 ) ( x , 1 ) ( y — y 2 ) d x + ( x — 2 x y ) d y + + ∫ ( x , 1 ) ( x , y ) ( y — y 2 ) d x + ( x — 2 x y ) d y = = ∫ 1 x ( 1 — 1 2 ) d x + ∫ 1 y ( x — 2 x y ) d y = ( x y — x y 2 ) y 1 = = x y — x y 2 — ( x · 1 — x · 1 2 ) = x y — x y 2 Мы получили общее решение дифференциального уравнения вида x y — x y 2 + C = 0 . Определите общее решение дифференциального уравнения y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 . Проверим, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x . Так как ∂ ( y · cos x ) ∂ y = cos x , ∂ ( sin 2 x ) ∂ x = 2 sin x · cos x , то условие выполняться не будет. Это значит, что левая часть дифференциального уравнения не является полным дифференциалом функции. Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и для его решения подходят другие способы решения. http://spravochnick.ru/matematika/differencialnye_uravneniya/uravnenie_v_polnyh_differencialah/ http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/differentsialnye-uravnenija/uravnenija-v-polnyh-differentsialah/=\frac <5\cdot y^<2>+3\cdot y> <10\cdot x\cdot y^<2>+23\cdot x\cdot y-2\cdot y+6\cdot x-4> $ и $\phi _ <2>\left(y\right)=\frac
Уравнения в полных дифференциалах
∂ U ( x , y ) ∂ y = ∂ ∫ P ( x , y ) d x ∂ y + φ y ‘ ( y ) = Q ( x , y ) ⇒ φ ( y ) = ∫ Q ( x , y ) — ∂ ∫ P ( x , y ) d x ∂ y d y
— 2 x y + φ y ‘ ( y ) = — 2 x y φ y ‘ ( y ) = 0 ⇒ φ ( y ) = ∫ 0 d x = C