Недостаточно для полного описания пористой среды уравнений описывающих

Разработка численной модели процесса вакуумной сепарации растворов ДНК Текст научной статьи по специальности « Физика»

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Пугачук Александр Сергеевич, Чернышев Андрей Владимирович

Рассмотрено течение жидкой среды через пористое тело под действием перепада давления в установке пробоподготовки . Разработана математическая модель данного процесса. Обоснован выбор уравнения, описывающего течение жидкой среды через пористое тело . На основе математической модели составлена численная модель и приведено ее решение.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Пугачук Александр Сергеевич, Чернышев Андрей Владимирович

Текст научной работы на тему «Разработка численной модели процесса вакуумной сепарации растворов ДНК»

УДК 57.088.2; 532.685

А. С. Пугачук, А. В. Чернышев

РАЗРАБОТКА ЧИСЛЕННОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ВАКУУМНОЙ СЕПАРАЦИИ РАСТВОРОВ ДНК

Рассмотрено течение жидкой среды через пористое тело под действием перепада давления в установке пробоподготовки. Разработана математическая модель данного процесса. Обоснован выбор уравнения, описывающего течение жидкой среды через пористое тело. На основе математической модели составлена численная модель и приведено ее решение.

Ключевые слова: установка пробоподготовки, вакуум, сепарация, ДНК, пористое тело.

Подготовительным этапом проведения исследований ДНК с помощью полимеразной цепной реакции (ПЦР) является сложный процесс пробоподготовки, позволяющий получить раствор ДНК с наименьшим содержанием примесей, негативно влияющих на ПЦР. Этап пробоподготовки — один из важнейших и играет ключевую роль в структуре всего исследования. При изучении молекул ДНК в общем случае проводят следующие мероприятия: пробовыделение (отбор пробы, транспортировка, хранение, предварительное разрушение клеточной структуры, грубая очистка), пробоподготовку и анализ выделенной ДНК. Подготовительный этап занимает значительное время по сравнению с остальными мероприятиями, а также оказывает существенное влияние на эффективность и точность исследования.

Для сепарации ДНК на этапе пробоподготовки используют несколько методов: разделение в гравитационном поле; выделение путем сорбции на пористом теле при прокачке раствора ДНК под действием перепада давления; сепарацию на магнитных частицах. В данной работе рассмотрен метод выделения ДНК с применением сорбции на пористом теле. Этот метод осуществляется с помощью системы вакуумной сепарации ДНК установки пробоподготовки.

Метод вакуумной сепарации является эффективным и в то же время достаточно простым. Он основан на том, что при нанесении исходного раствора ДНК и различных примесей на подложку с сорбентом (силикагелем) и добавлении раствора хаотропных (способствующих повышению энтропии) солей молекулы ДНК вследствие нерастворимости осаждаются и связываются сорбирующим материалом. При снижении высокой концентрации солей растворимость мо-

лекул ДНК повышается, они десорбируются и переходят в раствор. Таким образом, в то время как искомые нуклеиновые кислоты связаны с силикагелем, можно растворить и удалить раствор с другими белками и ингибиторами ПЦР. Основной рабочий процесс перемещения раствора — прокачивание его через пористую подложку с частицами силикагеля — осуществляется благодаря созданию перепада давления с использованием вакуумной системы.

Данный метод применяется для пробоподготовки в полевых и лабораторных условиях. Существуют различные установки, обеспечивающие рабочий процесс сепарации ДНК. На сегодняшний день этот процесс недостаточно изучен и не имеет строгого математического описания. По этой причине разработка и совершенствование подобных систем пробовыделения ДНК с помощью вакуумной сепарации затруднены. Потребители данного вида биомедицинской техники сталкиваются с проблемами в работе и технологическими особенностями проведения пробоподготовки.

Описание пробоподготовки с помощью вакуумной сепарации достаточно объемно. В данной работе предлагается краткое описание существенных для математической модели стадий подготовки раствора. В микропробирку вносится водный раствор ДНК и побочных веществ (исходный раствор). Далее в него добавляется концентрированный раствор хаотропных солей, который создает условия нерастворимости молекул ДНК. Вследствие этого молекулы ДНК осаждаются и связываются с материалом пористого тела (материал на основе сили-ки, подобный порошкам для гель-фильтрации, например сефарозе 4В). При создании перепада давления на пористом теле раствор прокачивается и удаляется в фильтрат. Таким образом, при проведении промывок с добавлением разных растворителей можно удалить побочные белки и другие ингибиторы ПЦР, применяемой в последующем анализе подготовленной пробы. Благодаря максимальному удалению вредных примесей происходит улучшение качества готового раствора. После изменения концентрации хаотропных солей в пробирке с помощью добавления воды, разбавления раствора, молекулы ДНК десорби-руются с поверхности пористого материала и переходят в готовый раствор, собираемый в приемные пробирки.

В результате анализа данного метода можно сделать вывод, что в этом случае происходят два процесса: течение жидкого раствора через пористый объект (фильтрация) и изменение состава как раствора, так и пористого тела (адсорбция/растворение).

Основной целью работы является создание математической модели рабочего процесса сепарации и проведение численного исследования характеристик течения жидкости через подложку с сорбентом (пористое тело) под действием перепада давления.

Проведено математическое исследование процессов, происходящих в микропробирке 96-луночного планшета фирмы ОгосЬеш (США). Планшет фирмы ОгосЬеш, расположенный на верхней части установки, представляет собой основание, в котором имеются ячейки, по форме подобные микропробиркам (рис. 1). В нижней части каждой ячейки выполнено отверстие. В средней части ячейки расположено пористое тело — рабочий элемент. Прокачивание растворов ДНК через рабочие элементы обеспечивается за счет создания перепада давления между атмосферным давлением ратм и давлением в вакуумной камере рвак.

Рис. 1. Схема расположения (а) и геометрические параметры (б) рабочих элементов вакуумной системы сепарации

Математическая модель рабочего процесса базируется на следующих допущениях:

— течение стационарное, установившееся и изотермическое;

— верхняя и нижняя волокнистые структуры входят в расчетную область;

— материал фильтра изотропен;

— вязкостный коэффициент сопротивления ^ = 1,35-10 кг/(м • с) [1];

— в качестве характеристик раствора приняты характеристики воды. Модель описывается следующими уравнениями:

линейное уравнение Дарси для течения жидкости через пористое тело

или нелинейное уравнение Дарси — Форхгеймера

где а, в — инерционный и вязкостный коэффициенты сопротивления.

Течение раствора описывается линейным уравнением Дарси для малых скоростей, в этом случае основное значение имеет вязкость жидкости, и нелинейным уравнением Дарси — Форхгеймера для больших скоростей, при этом инерционность среды существенно влияет на характер течения и его параметры. Для полного описания процесса необходимо выяснить возможность применения линейного закона в исследуемой области давлений и найти границу его применимости.

Анализ применимости закона Дарси и обоснование выбора зависимостей для описания течения жидкой фазы через пористое тело под действием перепада давления проводился с помощью расчетного и экспериментального исследований.

Для экспериментального исследования рабочего процесса сконструирован и изготовлен прототип системы вакуумной сепарации ДНК. Принципиальная схема и вид изготовленного прототипа системы представлены в работе [1].

При проведении эксперимента через исследуемую микропробирку прокачивали воду. Путем измерений получены значения расхода при соответствующих перепадах давления на пористом теле. Эти значения усреднены по времени, так как рассматривалось стационарное течение, а перепад давления поддерживался постоянным. По результатам эксперимента построена зависимость, приведенная на рис. 2. Можно предположить, что она имеет линейный характер, однако данных эксперимента для этого недостаточно (зависимость построена по трем точкам).

Рис. 2. Зависимость расхода Q через пробирку от перепада давления Ар

Предварительно принято, что модель может быть описана линейным законом Дарси, но данную гипотезу необходимо обосновать. Для расчетной оценки применимости закона Дарси необходимо знать важную характеристику пористого материала — коэффициент пористости.

Исследование пористости рабочего элемента. Рабочий элемент ячейки планшета системы сепарации ДНК представляет собой порошок силикагеля, который удерживается на подложке из волокнистого материала и сверху закрыт аналогичным материалом для предотвращения высыпания гранул порошка. Пористое тело имеет форму усеченного конуса.

Рабочий элемент функционально отличается от фильтра, однако его характеристики аналогичны характеристикам фильтра. С учетом этого далее для упрощения записи термин «рабочее тело» заменяется термином «фильтр». Пористость рабочего элемента (фильтра) характеризуется коэффициентом пористости, который определяется отно-

шением объема пор к объему фильтра: т = _пор [2]. Его значение

можно получить различными методами [3]. В данной работе использовано несколько методов определения коэффициента пористости, каждый из которых имеет различного рода погрешности.

Первый метод заключался в следующем: с помощью высокоточных весов для измерения микромасс PS-20 (погрешность измерения не более 10-6 кг) измеряли массу фильтра, пропитанного водой, а также сухого фильтра (вместе с ячейкой). С применением цифрового микроскопа MAN 1011 измеряли геометрические характеристики области, заполненной пористым телом. Затем рассчитывали коэффициент пористости. В результате расчета были получены следующие данные:

— масса заполненного водой фильтра и ячейки Мф = 2,05-10-4 кг;

— масса сухого фильтра и ячейки тф = 1,71 •Ю-4 кг;

— плотность воды р = 1000 кг/м .

Объем воды в фильтре (объем пор)

Измеренные геометрические характеристики фильтра: диаметр верхнего сечения D = 3,75^ 10-3 м; диаметр нижнего сечения d = = 1,8640-3 м; высота фильтра H = 6,5-10-3 м (см. рис. 1), тогда объем фильтра

Уф = — nH (D2 + Dd + d2 )

= l2 ■ 3,14 ■ 6,5 ■ 10-3 (3,752 + 3,75-1,86 +1,862)-10-6 = = 4,17■ 10-8 м3.

Коэффициент пористости, полученный первым методом,

При расчете коэффициента пористости данным методом его погрешность связана со смачиваемостью стенок ячейки водой (на внутренних стенках ячейки находится вода, масса которой учитывается).

Второй метод расчета основан на результатах измерений массы ячейки, полностью заполненной водой, и повторно замеренной массы сухого фильтра. Данный метод отличается от предыдущего тем, что масса воды в полостях сверху и снизу от пористой области ячейки вычитается из измеренной массы, что существенно снижает погрешность, связанную со смачиваемостью стенок. В результате расчета получен коэффициент пористости т2 = 0,4.

Ошибка результатов, полученных с применением данных методов, связана с тем, что, во-первых, не может быть гарантирована полная пропитка пористого тела (пузырьки воздуха остаются в расчетной области), а во-вторых, погрешность расчета объема жидкости значительно влияет на значение коэффициента пористости. Однако второй метод расчета более точен, так как на его результаты в меньшей мере влияет погрешность, связанная со смачиваемостью стенок.

Для уточнения данных, полученных с помощью предыдущих методов, проведено расчетно-теоретическое исследование, основанное на измерении среднего размера зерен пористого тела, т. е. на представлении объема пористого тела в виде совокупности сферических зерен, которые касаются друг друга, а между ними образуются искомые поры. Средний размер зерен определен путем усреднения данных, полученных на цифровом микроскопе. На рис. 3 представлена фотография зерен пористого материала, которые располагаются на линейке. Цена деления шкал равна 0,1 мм.

В результате обработки серии из 40 измерений эффективного диаметра зерен пористого тела определено его среднее значение: dэф = 10-4 м. Материал пористого тела неизвестен, однако данные, полученные путем измерения, схожи с данными по материалам, применяемым в гель-фильтрации: dэф = 3 -10-5 — 2 -10-4 м (по данным фирм-изготовителей для сефарозы 4В и материала для гель-фильтрации) [4].

После определения эффективного диаметра зерна разработана 3Б-модель части рабочего элемента. Из пористого тела выбрана расчетная область, соответствующая вырезу сегмента фильтра по центрам смежных зерен (рис. 4).

Рис. 3. Фотография зерен пористого тела, расположенных на линейке

Рис. 4. Расчетная область фильтра (^эф — эффективный диаметр зерна)

Затем рассчитан геометрический объем зерен в искомой области и объем самой области:

— объем зерен в расчетной области Уз = 9,81 -10—4 м3;

— объем расчетной области Ур о = 1,823 -10 м . Искомый коэффициент пористости

Кр.о — К 1,823-10_3 — 9,81-10_4 m3 =-=-, „„„ ,„_3-= 0,46.

При данном методе расчета основной является погрешность, связанная с допущением сферической формы зерен и их усреднением по размеру. Погрешность расчета объемов не вносит значительного вклада в расчет общей погрешности, так как рассматривается достаточно большая расчетная область, а существенным является лишь отношение объемов. Рассчитанное по данному методу значение пористости близко к значению, полученному с помощью второго метода, разность составляет 13 %.

В качестве конечного результата принимается пористость m = = 0,46. Данное значение хорошо согласуется с результатами исследований Грэтона и Фрезера [5].

Проверка применимости закона Дарси. Проверку применимости линейного закона Дарси в качестве описания рабочего процесса течения раствора через пористое тело проводили путем сравнения числа Рейнольдса данного течения, рассчитанного в узком (нижнем) сечении пористого тела, со значениями критических чисел Рейнольд-са при течении в порах. Критерии применимости закона Дарси и основные зависимости для оценки характера течения в пористых телах, применяемые в данной работе, описаны в методиках Н.Н. Павловского, Д. Фенчера (Д. Льюиса, К. Бернса) и А.И. Абдулвагабова [2].

Для определения числа Рейнольдса при течении через рабочий элемент необходимо знать вязкость исходного раствора. Материал первичной пробы имеет различную природу, структуру и, соответственно, характерные примеси. Поэтому вязкость исходного раствора неодинакова для широкого диапазона типов используемых проб. Так как исследуемая смесь чаще всего представляет собой разбавленный (0,1.. ,1,0)%-ный водный раствор, содержащий белок, ДНК и неорганические соли, то расчет можно проводить, заменив исходный раствор водой [6].

Динамическая вязкость воды при температуре 25°C л =

= 8,9-10 Па • с, следовательно, кинематическая вязкость v = — =

Характерным размером при определении числа Рейнольдса для процессов течения в пористом теле считается эффективный диаметр зерен.

Для определения скоростей течения рабочей среды через пористый элемент ячейки планшета при соответствующих перепадах давления анализировали результаты проведенного эксперимента. Анализ показал, что при перепадах давления 40 000.80 000 Па на пористом элементе скорость на выходе (нижняя граница расчетной области d = = 1,8640-3 м) составляет 0,08.0,10 м/с.

Расчет чисел Рейнольдса проведен по выбранным методикам. 1. Методика Павловского:

Ren =_UD_=_^_, = 15.6.

(0,75m + 0.23)v (0.75 • 0.46 + 0,23) ■ 8,9 ■ 10-

Критическое число Рейнольдса по Павловскому составляет 7,5.9,0, следовательно, в данном случае линейный закон Дарси неприменим.

2. Методика Фенчера (Льюиса, Бернса):

В данной методике критическое число Рейнольдса составляет 1.4. Закон Дарси неприменим и в этом случае.

3. Следует провести расчет также и по методике Абдулвагабова, так как им были проведены наиболее полные исследования по определению верхней границы применимости закона Дарси [1]. Для определения числа Рейнольдса по данной методике необходимо знать коэффициент проницаемости среды к. Данный параметр найден с помощью полученного в ходе предыдущих исследований вязкостного коэффи-

циента сопротивления в = 1,35 -10 кг/(м — с) [1]:

Число Рейнольдса, рассчитанное по методике Абдулвагабова: К = 12(1 — т)уу[к = 12 — (1 — 0,46) — 0,08-^6,6-10-12 =

Ке а 1 = г = — — = /,1.

т2у 0,462 — 8,9 -10-7

Критическое значение числа Рейнольдса, определенное экспериментально по методике Абдулвагабова, составляет 0,019.8,100. Полученное значение попадает в диапазон критических значений. Поскольку критическое число Рейнольдса для данного пористого тела неизвестно, нельзя точно утверждать, что линейный закон Дарси неприменим. Однако для скорости течения 0,092 м/с, определенной по методике Абдулвагабова, можно сделать вывод о неприменимости закона Дарси. Данная скорость течения соответствует перепаду давления 56 000 Па (определено экспериментально):

_ 12(1 -т)и[к 12-(1 -0,46)-0,0926,6-10-12 0 _

Таким образом, закон Дарси для описания течения жидкости в ячейках планшета установки пробоподготовки при перепадах давления более 56 000 Па неприменим, так как не удовлетворяет условиям применимости, приведенным в трех методиках.

При составлении обобщенной трехмерной математической модели принято нелинейное уравнение Дарси — Форхгеймера, как наиболее точно описывающее процесс течения жидкости через пористое тело в большом диапазоне скоростей. На основе принятых допущений и уравнений составлена трехмерная численная модель процесса фильтрации.

Проверка адекватности разработанной обобщенной трехмерной модели может быть проведена с помощью сравнения данных, полученных в результате численного расчета, с данными аналитического решения двухмерной модели течения жидкости через пористое тело при малых скоростях. С помощью методики Павловского рассчитана скорость, при которой число Рейнольдса не превышает критического значения: илин = 0,03 м/с . Данное значение использовано в качестве

граничного условия для сопоставляемых моделей.

Составление двухмерной модели осуществлено путем упрощения расчетной области (рис. 5) и уравнений для трехмерной модели. Допущения, принятые для трехмерной численной модели, сохраняются и дополняются новыми.

Рис. 5. Расчетная область для двухмерной математической модели:

1 — левая граница (ось пробирки);

2 — вход в пористое тело; 3 — правая граница — стенка (описывается уравнением Х1(у)); 4 — выход из пористого тела

1. Течение описывается линейным законом Дарси, так как скорость рабочего процесса мала и инерционная составляющая сопротивления фильтра не играет существенной роли.

2. В качестве расчетной области выбирается сегмент усеченного конуса бесконечно малой толщины, который представляет собой трапецию.

3. На левой границе выбранной области — оси пробирки — скорость направлена вдоль нее и не имеет горизонтальной составляющей.

Уравнения для двухмерной модели упрощаются и принимают следующий вид:

к др / дх’ к др U дУ

Данная система уравнений представляет собой уравнение Лапласа:

д2 Р + д2р = 0 дх2 дУ2 .

Для дополнения двухмерной математической модели задаются граничные условия: для скоростей — ux (0, y) = 0; uy (x1, y) = 0; ux (x1, y) = 0;

для давлений — p(x,0) = pi; u(x,H) = илин.

Решение численной трехмерной модели, проведенное с применением метода конечных элементов, реализовано в программном пакете Star CCM+. При этом использованы следующие граничные условия.

1. Стенка пробирки абсолютно непроницаема, течение без скольжения, следовательно, скорость жидкости на стенке равна нулю.

2. Давление на верхнем сечении (входе) равно атмосферному.

3. Скорость на нижнем сечении (выходе) равна илин.

Данные, полученные с помощью численной модели, приведены на рис. 6.

В результате решения численной модели (число конечных элементов составило около 65 000) найдено среднее значение давления на выходе из фильтра: p2 = 87 350 Па.

Для расчета давления на выходе с использованием двухмерной модели аналитическим методом необходимо провести анализ двух вариантов решения уравнения Лапласа с учетом граничных условий.

Рис. 6. Распределение давлений (а) и скоростей (б) в среднем сечении фильтра (по данным расчета численной модели)

В каждом из вариантов решают систему из пяти уравнений и определяют пять коэффициентов, дополняющих общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка в частных производ-

ных. Эти коэффициенты, в свою очередь, являются функциями координат расчетной области. Аналитическое решение двухмерной задачи фильтрации является достаточно сложным, трудоемким и требует повышенного внимания. На данном этапе научной работы ведется поиск этого решения.

В результате проведенных исследований разработана обобщенная трехмерная модель процесса вакуумной сепарации, а также двухмерная модель процесса течения жидкости через пористое тело. Определен коэффициент пористости для рабочего элемента ячейки планшета фирмы ОгосЬеш системы сепарации ДНК, который составил т = 0,46. Проведена оценка применимости закона Дарси для течения рабочей среды через пористое тело под действием перепада давления с помощью методик Павловского, Фенчера и Абдулвагабова. При перепадах давления на пористом теле более 56 000 Па рационально применять закон Дарси — Форхгеймера, поскольку линейный закон Дарси не описывает процесс течения с достаточной точностью.

В ходе работы проведен эксперимент и построена зависимость расхода от перепада давления, а также получены результаты численного решения обобщенной трехмерной модели. В дальнейшем планируется найти аналитическое решение двухмерной задачи, завершить анализ адекватности численной трехмерной модели, а также провести эксперимент, подтверждающий нелинейный характер зависимости скорости течения жидкости через пористое тело от перепада давления в работающей установке пробоподготовки при значительной откачке камеры. На основании результатов эксперимента необходимо установить границу применимости закона Дарси и соответствующие значения перепада давления и скорости течения.

1. Пугачук А. С., Кузнецова Ю. С., Чернышев А. В. Разработка пневмовакуумной установки пробоподготовки // Студенческий научный вестник. Сер. Профессионал: Сб. статей Молодежной научно-инженерной выставки «Политехника» — 2011. 21-24 ноября 2011 г. МГТУ им. Н.Э. Баумана. -М.: НТА «АПФН», 2011. 254 с.

2. Басниев К. С., Власов А. М., Кочина И. Н. Подземная гидравлика: учебник для вузов. — М.: Недра, 1986. — 303 с.

3. Гиматудинов Ш. К. Физика нефтяного и газового пласта: учебник. -2-е изд., перераб. и доп. — М.: Недра, 1971. — 312 с.

4. Материалы, представленные на сайте «Большой энциклопедии нефти и газа» http://www.ngpedia.ru.

5. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. — М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 628 с.

6. Чернышев А. В. Создание теории рабочих процессов, методов расчета и разработка оборудования для ПЦР-диагностики / дисс. . канд. техн. наук (05.11.17). — М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. — 366 с.

Добыча нефти и газа

Изучаем тонкости нефтегазового дела ВМЕСТЕ!

Зависимость проницаемости от пористости

Теоретически, для хорошо отсортированного материала (песок мономиктовый) проницаемость не зависит от пористости.

Для реальных коллекторов в общем случае более пористые породы являются более проницаемыми.

Зависимость проницаемости от размера пор для фильтрации через капиллярные поры идеально пористой среды оценивается из соотношения уравнений Пуазейля и Дарси. В этом случае пористая среда представляется в виде системы прямых трубок одинакового сечения длиной L, равной длине пористой среды.

Уравнение Пуазейля описывает объёмную скорость течения жидкости через такую пористую среду:

, (1.22)

где r – радиус порового канала;

L – длина порового канала;

n – число пор, приходящихся на единицу площади фильтрации;

F – площадь фильтрации;

m – вязкость жидкости;

DР – перепад давлений.

Коэффициент пористости среды, через которую проходит фильтрация:

. (1.23)

Следовательно, уравнение (1.22) можно переписать следующим образом:

. (1.24)

Из уравнения Дарси следует, что:

. (1.25)

Приравняв правые части уравнений (1.24) и (1.25) получим взаимосвязь пористости и проницаемости:

. (1.26)

Из чего следует, что размер порового канала будет равен:

. (1.27)

Если выразить проницаемость в мкм2, то радиус поровых каналов (в мкм) будет равен:

. (1.28)

Уравнения 1.26 -1.28 характеризуют взаимосвязь между пористостью проницаемостью и рариусом порового канала. Соотношения (1.25) — (1.28) справедливы только для идеальной пористой среды (например, кварцевый песок).

Для реальных условий используется эмпирическое уравнение Ф.И. Котякова:

, (1.29)

где R – радиус пор;

j – структурный коэффициент, описывающий извилистость порового пространства.

Значение j можно оценить путём измерения электросопротивления пород. Для керамических пористых сред при изменении пористости от 0,39 до 0,28, по экспериментальным данным, j изменяется от 1,7 до 2,6. Структурный коэффициент для зернистых пород можно приблизительно оценить по эмпирической формуле:

. (1.30)

Для оценки коэффициента проницаемости при фильтрации через каналы используются соотношения уравнений Пуазейля и Дарси.

и . (1.31)

Причем, пористая среда представляет собой систему трубок. Общая площадь пор через которые происходит фильтрация равна: F = π · r2, откуда π = F/ r2.

Подставив эту величину в уравнение Пуазейля и сократив одинаковые параметры в (1.29) получим:

. (1.32)

Если r измеряется в [см], а коэффициент проницаемости в [Д] (1Д = 10-8см). то вводится соответствующий коэффициент пересчета = 9,869·10 –9. Тогда, коэффициент проницаемости при фильтрации через капилляр оценивается:

Кпр = r2 /(8·9,869·10 –9) = 12,5 · 106 r2. (1.33)

Оценка проницаемости для фильтрации через трещиноватые поры оценивается из соотношения уравнений Букингема и Дарси.

Потери давления при течении жидкости через щель очень малой высоты оцениваются уравнением Букингема:

, (1.34)

где h – высота трещины;

v – линейная скорость фильтрации.

Подставив это выражение в уравнение Дарси, получим:

. (1.35)

С учетом, что r измеряется в [см], а коэффициент проницаемости в [Д], вводим соответствующий коэффициент пересчета = 9,869·10 –9. Тогда, коэффициент проницаемости при фильтрации через трещину оценивается:

Кпр = h2 /(12 · 9,869·10 –9) = 84,4 · 105 h2. (1.36)

Твердотопливные котлы в Украине котлы в Украине

Полное описание первых признаков и выраженных симптомов при гепатите В здесь

Физическое описание явления фильтрации жидкости

1. Физическое описание явления фильтрации жидкости

1.1. Закон фильтрации однородной жидкости

Фильтрация представляет собой движение жидкости в пористой среде под действием перепада давления. Основной характеристикой фильтрационного движения является вектор скорости фильтрации u определяемый следующим образом. Выберем точку М пористой среды и проведем через нее элементарную площадку S . Через выделенную площадку в единицу времени протекает масса жидкости Q . Тогда проекция вектора u на нормаль к выделенной площадке равна lim Δ Q/(p S) , где p – плотность жидкости. Подчеркнем, что масса жидкости делится на полную площадь S , а не на ее часть, занятую порами.

Основное соотношение теории фильтрации — закон фильтрации — устанавливает связь между вектором скорости фильтрации и тем полем давления, которое вызывает фильтрационное движение. Некоторые сведения о законе фильтрации можно получить, исходя из самых общих представлений.

Окружим точку пористой среды некоторой малой окрестностью; поле скоростей фильтрации в этой окрестности можно считать непрерывным, а все параметры пористой среды и насыщающей ее жидкости — постоянным. Нельзя пренебречь лишь изменением давления, как бы мало оно не было, поскольку при постоянном по пространству давлении движение полностью отсутствует (по существу это утверждение является основной гипотезой). Поскольку изменение давления в окрестности данной точки определяется градиентом давления, основное предположение при установлении вида закона фильтрации состоит в том, что вектор скорости фильтрации в данной точке пористой среды определяется свойствами жидкости и пористой среды и градиентом давления grad p . Пористая среда характеризуется геометрическими параметрами — характерным размером d и некоторыми безразмерными характеристиками: пористостью m , безразмерными параметрами кривой распределения и др. Закон фильтрации должен являться следствием уравнений количества движения жидкости в поровом пространстве, поэтому в систему определяющих величин следует включить также те характеристики жидкости, которые входят в эти уравнения, т.е. плотность p и вязкостьm. Таким образом, предполагается, что существует зависимость градиента давления grad p от вектора скорости фильтрации u , геометрических характеристик пористой среды m, d и т.д. и характеристик жидкости r и m. Среди величин, от которых зависит grad p , только скорость фильтрации u является вектором. В силу изотропии среды (т.е. независимости ее свойств от вращений и отражений системы отсчета) зависимость grad p от u должна быть инвариантной относительно вращения вокруг направления вектора u .

Поэтому вектор grad p должен быть направлен по одной прямой с вектором u . В самом деле, предположим обратное, т.е. пусть вектор grad p составляет некоторый угол с направлением вектора u . Если повернуть выбранную произвольную систему координат относительно направления вектора u на некоторый угол, то ни вектор u , ни какой-либо другой из определяющих параметров не изменится. Следовательно, не должен измениться и вектор grad p , зависящий только от этих параметров. Но если grad p составляет некоторый угол с направлением вектора u , то при повороте его направление относительно координатных осей обязательно изменится. Отсюда вытекает, что вектор grad p может обращен только по направлению вектора u , так что

где с — некоторая скалярная величина, зависящая от модуля вектора скорости u , а также величин d, m, p, m .

Рассмотрим сначала такие фильтрационные движения, для которых несущественны силы инерции. К числу подобных безынерционных движений принадлежит, в силу их крайней медленности, большинство фильтрационных движений, встречающихся на практике. При этом плотность р , характеризующая инерционные свойства жидкости, несущественна и исключается из числа определяющих параметров. Таким образом, при безынерционных движениях величина c зависит только от u, d, m и m. Выпишем размерности интересующих нас величин:

Из пяти величин (2) можно выбрать три с независимыми размерностями (например, u, m, и d). Тогда, согласно p — теореме, анализа размерностей искомая зависимость будет связывать две безразмерные комбинации указанных величин. В качестве одной из безразмерных величин удобно взять пористость m, в качестве другой выберем cd 2 /m. Таким образом, имеем

cd 2 /m= f (m), c=md -2 f(m). (3)

После этого уравнение (1) может быть представлено в виде:

Это соотношение называется законом фильтрации Дарси (по имени французского ученого, установившего его экспериментально в 1856г.). Величина k=d 2 /f(m), вводимая уравнением (4), носит название проницаемости. Проницаемость имеет разномерность площади; она не зависит от свойств жидкости и является чисто геометрической характеристикой пористой среды.

В физической системе единиц проницаемость измеряется в см 2 . Однако проницаемость большинства горных пород выражается при этом весьма малыми числами. Так, проницаемость крупнозернистых песчаников составляет 10 -8 -10 -9 см 2 ; проницаемость плотных песчаников — около 10 -10 см 2 . Ввиду этого в нефтепромысловой практике получила распространение единица проницаемости 1Д (дарси)= 1,02× 10 -8 см 2 .

В практике гидротехнических расчетов вместо давления обычно используется напор H = p/rg, и закон Дарси записывается в виде:

Величина C, имеющая размерность скорости, называется коэффициентом фильтрации.

Функция f в выражении (3) зависит не только от пористости, но и от других безразмерных характеристик геометрии порового пространства. Были сделаны многочисленные попытки представить в качестве функции пористости и характерного размера для типичных пористых сред как путем рассмотрения простейших моделей, так и путем обработки опытных данных. Все полученные результаты носят частный характер и имеют узкую область применимости. Наибольшей известностью из формул этого рода пользуется уравнение Козени — Кармана, полученное на основе аналогии между пористой средой и системой параллельных трубок, выражающее проницаемость через удельную поверхность å и пористость m:

Постоянная К определяется из опыта и оказывается разной для пористых сред различной структуры. Формула (6) используется главным образом при расчетах фильтрационных сопротивлений искусственных пористых сред, применяемых в химических аппаратах; ею пользуются также при определении удельной поверхности порошков.

Закон Дарси является следствием предположения о безинерционности движения жидкости. Фильтрационное течение, следующее закону Дарси, является частным случаем ползущего течения (широко известным примером ползущего течения является стоксовское обтекание сферы). Течения такого типа характеризуются преобладанием вязких сил над инерционными, т. е. очень малыми числами Рейнольдса (Re 2 ) весьма малы по сравнению с модулями объемного сжатия К_r капельных жидкостей (5×10 3 — 2×10 4 кгс/см 2 ). Поэтому для приложений достаточно ограничиться линейной зависимостью

Следует, однако, иметь в виду, что хотя сжимаемость капельных жидкостей и мала, она играет значительную роль в тех случаях, когда возмущения давления захватывают обширные области (здесь существенно то, что нефтяные залежи обычно граничат с пластовой водой, суммарный объем которой значительно больше объема нефти в залежи; в результате этого расширение воды при снижении давления может полностью компенсировать извлекаемый объем нефти). Зависимостью вязкости капельных жидкостей от давления при изменении давления в тех же пределах можно обычно пренебречь.

Фильтрационные движения газа характеризуются тем, что при их исследовании, с одной стороны, почти всегда можно пренебречь изменениями температуры, считая их малыми, а с другой, — тем, что ввиду больших абсолютных значений давления и перепадов считать газ идеальным можно лишь с большой натяжкой. Уравнение состояния газа обычно записывают в виде:

Преимущества такой записи связаны с тем, что для функции z (p,T), называемой коэффициентом сверхсжимаемости, составлены таблицы и графики, охватывающие ряд практически важных случаев, и имеются простые способы приближенного вычисления ее для газовых смесей. Температура в этом уравнении обычно можно считать постоянной и рассматривать как параметр. Отклонение z от единицы (газа от идеальности) значительнее для более тяжелых углеводородных газов.

Согласно элементарной кинетической теории газов, вязкость газа не должна зависеть от давления. Это утверждение также не применимо к условиям, характерным для газового пласта. При фиксированной температуре вязкость газа может изменяться на десятки процентов при изменении давления на десятки атмосфер.

2. Рассмотрим теперь вопрос, как зависят от давления жидкости свойства пористой среды — ее пористость m и проницаемость k. Обе эти величины характеризуют структуру порового пространства, и их изменение в любой точке определяется давлением жидкости и тензором напряжений, действующих в скелете пористой среды. При этом следует отметить, что в опытах определяется их зависимость не от истинных напряжений, действующих в скелете, а от некоторой их части, которую мы назовем фиктивными напряжениями. Для выяснения этого обстоятельства разберем следующую элементарную схему опыта. Пусть в цилиндрическом сосуде с площадью поперечного сечения, равной единице, находится некоторый объем пористой среды, в котором содержится жидкость под давлением p. На верхней грани этого объема лежит непроницаемый поршень, по другую сторону которого находится жидкость под тем же давлением p. В силу известного принципа гидростатики — принципа отвердевания — эта система находится в состоянии равновесия. Для выяснения зависимости пористости от нагрузки приложим к поршню дополнительную нагрузку q. Вычислим сжимающее нормальное напряжение, действующее в сечении объема пористой среды плоскостью, параллельной поршню; для этого составим уравнение равновесия части рассматриваемого объёма, ограниченной поршнем и плоскостью сечения. Пренебрегая силами трения о стенки вмещающего сосуда и собственным весом среды и жидкости, получаем

где s — истинное напряжение, действующее в пористой среде (в расчете на единицу площади общего сечения) и, очевидно, не равное приложенной нагрузке q. Изменение пористости в зависимости от давления при фиксированной нагрузке в целом мало существенное, учитывается отдельно (это изменение обусловливается сжимаемостью материала зерен, составляющих пористую среду, которая мала сравнительно со сжимаемостью пористой среды в целом, так как изменение пористости происходит в основном за счет более плотной упаковки зерен и лишь в очень небольшой мере — за счет их сжатия; если вообще не учитывать сжимаемость материала зерен, составляющих пористую среду, то пористость при фиксированной нагрузке не будет зависеть от давления жидкости). Можно показать также, что при фиксированных напряжениях s изменение давления жидкости вообще не будет приводить к изменению объема скелета, независимо от того, какова сжимаемость его материала. Таким образом, рассматриваемый опыт дает нам зависимость пористости от нагрузки q, составляющей лишь часть истинных напряжений, действующих в скелете пористой среды:

Величину s f будем в дальнейшем называть фиктивным напряжением.

Важная особенность пористой среды, отмеченная выше, заключается в том, что изменения занятого ею объема могут происходить при весьма малых изменениях собственного объема твердого скелета, почти исключительно за счет его перестройки. Простейшей моделью подобной системы может служить пружина, погруженная в воду. Объем цилиндрического тела, ограниченного пружиной, практически не изменяется при изменении давления жидкости и может сильно измениться, если приложить по концам противоположно направленные силы. В формулу для вычисления осадки пружины следует подставлять величину истинных напряжений за вычетом слагаемого, обусловленного давлением жидкости.

Аналогичные соображения применимы и в более общих случаях. Таким образом, опыт, поставленный в условиях произвольного нагружения, даст нам зависимость пористости не от тензора истинных напряжений, действующих в скелете пористой среды, а от тензора фиктивных напряжений. Ввиду того что при действии на пористую среду одного гидростатического касательные напряжения в пористой среде не возникают, касательные компоненты тензора истинных напряжений и тензора фиктивных напряжений и тензора совпадают, а нормальные компоненты отличаются на величину р(1-m), имеем

(i , j =1, 2, 3,…) (16)

где компоненты тензора фиктивных напряжений; компоненты тензора истинных напряжений; δ_ij =1 при j =i , δ_ij =0 при i ?j ,

Будучи величинами скалярными, пористость и проницаемость могут зависеть только от инвариантов тензора фиктивных напряжений. Зависимостью их от второго и третьего инвариантов тензорафиктивных напряжений пренебрегают, откуда

где ==- главные нормальные фиктивные напряжения, аq среднее напряжение.

Величину q можно связать с давлением р, если рассматривать напряженные состояние в пласте. Пусть Н — глубина залегания пласта, h-его мощность, а r₀ — средняя плотность горных пород. Обыкновенно нефтяные пласты располагаются на значительной глубине под дневной поверхностью и их мощность мала сравнительно с глубиной залегания, т. е. h 3 ), равно по порядку величины

(21)

Значение dр_макс /r₀ gH обычно не превышает одной-двух десятых; величина h/Н исчезающе мала, так что изменение напряжения во всем вышележащем массиве и, в частности, на его границах мало сравнительно с исходным напряжением. Поэтому можно считать, что при изменении давления жидкости в пласте напряжения, действующие на кровле и подошве пласта, остаются постоянным.

Предыдущее рассуждение существенно основано на том, что модуль Юнга системы жидкость — пористая среда Е и модуль вышележащего массива горных пород Е₁ имеют одинаковый порядок величины (что обычно имеет место в действительности). Если бы эти модули Юнга сильно отличались между собой, то выражение (21) содержало бы дополнительный множитель Е₁ /Е и при Е₁ >> Е отношение напряжений могло бы и не быть малым. Физически это означает, что в случае, когда вышележащая толща сложена из очень жестких пород, могут образоваться своды, и при изменении давления жидкости напряжения на кровле и подошве пласта будут меняться.

Есть теперь пренебречь влиянием таких границ области фильтрации, как стенки скважин (эти границы имеют сравнительно очень малую протяжность; их влияние будет оценено ниже), то из независимости от времени уравнений равновесия системы жидкость — пористая среда (20) и напряжений на кровле и подошве пласта следует важный вывод о независимости суммарного напряженного состояния в системе жидкость — пористая среда от времени, так что

Откуда (22)

Свертывая уравнения (22) (т. е. полагая i, j=1, 2, 3 и суммируя получающие уравнения), имеем

откуда вытекает важное соотношение

2. Основные задачи нестационарной фильтрации

2.1. Уравнение неразрывности

Рассмотрим баланс массы жидкости в произвольном элементе объема пористой среды V, ограниченном поверхностью S. За бесконечно малое время dt приток жидкости внутрь элемента равен согласно определению скорости фильтрации

( единичный вектор нормали; за положительное направление нормали принято направление внешней нормали к поверхности; u_n — нормальная к поверхности составляющая скорости фильтрации). Приращение массы жидкости внутри этого элемента равняется

откуда в силу произвольности элемента V и вытекает уравнение неразрывности

2.2. Упругий режим фильтрации

1. Самым простым и наиболее изученным случаем нестационарной фильтрации является фильтрации слабосжимаемой жидкости в упругодеформируемом пласте (в технических приложениях эти задачи получили название задач упругого режима фильтрации). В основу исследования кладется система уравнений закона фильтрации и уравнения неразрывности:

Для того чтобы получить замкнутую систему уравнений, нужно воспользоваться тем, что свойства жидкости (плотность r и вязкость m), так же как и пористость и проницаемость пористой среды, являются функциями давления (мы предполагаем движение изотермическим).

В силу (23) имеем

исходя из предположения о слабой сжимаемости жидкости и пористой среды, можно считать относительные изменения величин r и m малыми и коэффициенты при dp/dt в предыдущих формулах постоянными:

Опытные данные показывают, что в реальных случаях

(p-p₀ )/К_m 2 , а второй (dp) 2 /L 2 К. Отсюда следует, что вторым членом в принятом приближении также следует пренебречь. Таким образом, имеем

где коэффициент

носит название коэффициента пьезопроводности. Уравнение (29) обычно называется уравнением упругого режима или, по предложению В.Н.Щелкачева, уравнением пьезопроводности. Оно совпадает с хорошо известным классическим уравнением теплопроводности.

2. Рассмотрим постановку основных задач теории упругого режима. Определим распределение давления р в некоторой замкнутой области пространства D на протяжении промежутка времени 0 £ t£ T. Из теории уравнения теплопроводности известно, что если задать на границе Г области D линейную комбинацию давления и его производной по нормали к границе области

и задать начальное распределение давления в области D

то существует распределение давления p(x, y, z, t), и при том единственное, удовлетворяющее уравнению (29), непрерывное в замкнутой области D, включая границу, и удовлетворяющее условия (31) и (32).

Сформулированная задача охватывает почти все основные задачи теории упругого режима фильтрации.

Рассмотрим подробнее физический смысл тех или иных дополнительных условий.

Область, в которой ищется распределение давления жидкости, обычно представляет собой пористый пласт, частично имеющий непроницаемые границы, а частично сообщающиеся с другими пластами и вскрывающими его скважинами. На непроницаемых границах должно удовлетворятся очевидное условие отсутствия потока — равенство нормальной компоненты скорости фильтрации нулю:

откуда, используя закон Дарси, получаем (33)

На участках границы с областями, в которых перераспределения давления практически не происходит (“области питания”), давление можно считать постоянным и известным, так что

Такое условие справедливо, если, например, рассматриваемый пласт граничит с высокопроницаемой областью,

запас жидкости в которой весьма велик. Давление на границе такой области близко к среднему давлению в ней и ввиду ее большого объема мало зависит от процессов, происходящих в исследуемой области. Характерным примером является нефтяная залежь, окруженная со все сторон обширной водоносной областью.

При рассмотрении нестационарных процессов в залежи давление в водоносной области можно считать постоянным. Следует, однако, отчетливо представлять себе, что понятие области постоянного давления не является абсолютным. Чем более длительный характер носят изменения давления, тем на большую область они распространяются.

Часть границы области фильтрации обычно образована стенками скважины или дренажных галерей. На этой части границы чаще всего задается либо давление жидкости, либо поток ее через стенки скважины. Выбор того или иного условия зависит от режима работы скважины или галереи. Могут быть и более сложные условия, когда задается связь с расходом жидкости. Задание потока жидкости согласно закону Дарси эквивалентно заданию нормальной производной от давления.

Условия этого типа выполняются на тех участках границы, через которые может происходить обмен жидкости с соседними пластами через сравнительно слабопроницаемые перемычки. Если толщина перемычки D мала, а давление р¢ за ней можно считать постоянным, то расход вытекающей жидкости через участок перемычки площадью ds составит . Это количество жидкости должно быть равно

где g — замкнутый контур, ограничивающий площадку S, а u_n — нормальная компонента вектора потока , определяемого соотношением

(x , y , z , t ) = H (x , y , z , t ) + O (u _z /C ); =C grad H + O (u_z ).

Таким образом, скорость можно, пренебрегая малыми величинами, вынести из-под знака интегрирования по вертикали в соотношении (42), определяющем вектор Тогда получаем

= – Сh grad H . (45)

Представляя (45) в (44), имеем

В это уравнение следует подставить соотношение

определяющее вертикальную координату свободной поверхности Н через ее расстояние h до водоупора и расстояние h₀ от водоупора до плоскости отсчета z = 0; получим окончательное уравнение для определения h . В частности, если поверхность водоупора представляет собой горизонтальную плоскость, то ее можно принять за плоскость отсчета и, следовательно, h ₀ (x ,y ) можно считать равным нулю. Тогда Н = h , и уравнение (46) принимает вид:

Уравнения (46) и (47) были даны Буссинеском.

2.4. Основные уравнения фильтрации газа

При исследовании фильтрации газа основное значение имеет тот факт, что сжимаемость газа обычно на несколько порядков превышает сжимаемость пористой среды. С учетом этого обстоятельства в уравнении неразрывности

изменением пористости m во времени можно пренебречь, так что получим

Для того чтобы получить замкнутую систему уравнений, снова нужно использовать связь плотности газа r с его давлением р и температурой Т:

поэтому в задаче появляется новая переменная Т, и для замыкания системы уравнений нужно добавить еще одно уравнение — уравнение энергии. Однако, если в среде отсутствуют источники выделения или поглощения энергии, то изменения температуры в процессе движения газа крайне малы, и при расчете поля давления газа ими можно пренебречь. Это обстоятельство легко понять, если учесть, во-первых, крайнюю малость скорости фильтрации и, во-вторых, наличие теплового балласта — скелета пористой среды, эффективно подавляющего изменения температуры. Будем поэтому считать, что

где Т₀ — постоянная температура.

Присоединяя к уравнениям (49) и (51) уравнение закона фильтрации (предполагаемого линейным)

получаем замкнутую систему уравнений. Исключая скорость фильтрации, имеем

В уравнении (53) r — известная функция давления. Аналогично и вязкость газа, зависящая в общем случае от давления и температуры, может быть представлена в виде:

Таким образом, и вязкость может считаться известной функцией одного лишь давления.

Введем теперь функции

Уравнение (53) принимает при этом вид:

Можно показать, что уравнение для давления сохранит форму (56) и в случае, если учитывается деформируемость пористой среды, т. е. зависимость от давления пористости и проницаемости (среда по-прежнему считается однородной).

В простейшем случае, когда газ можно считать термодинамически идеальным, с вязкостью, не зависящей от давления,

и уравнение (56) преобразуется к виду:

Уравнения (59) и (60) выведены в предположении постоянства температуры газа Т₀ . Поэтому их обычно называют уравнениями изотермической фильтрации газа.

Уравнение (60) — основное для теории фильтрации газа — получено впервые Л. С. Лейбензоном, а затем, несколько позднее, в работе Маскета и Ботсета. Преобразования (55) также берет свое начало от работ Л. С. Лейбензона. Далее уравнение (60) совпадает с уравнением Буссинеска (47) для напора при пологих безнапорных фильтрационных движениях. Эта аналогия, впервые обнаруженная Л. С. Лейбензоном, позволяет рассматривать исследование изотермической фильтрации газа и пологих безнапорных движений несжимаемой жидкости как одну задачу.

3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНВАРИАНТНЫЕ ЗАДАЧИ

ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

3.1. Общая характеристика инвариантных задач

теории нестационарной фильтрации.

Автомодельные пологие безнапорные движения

при нулевом начальном уровне жидкости

3.3.1. Общая характеристика инвариантных задач теории нестационарной фильтрации. В разделе 2 было показано, что основные задачи гидродинамической теории нестационарной фильтрации приводят к краевым, смешанным или начальным задачам для нелинейных, как правило, дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Нелинейность вообще характерна для многих актуальных задач современной гидродинамики: газодинамики, теории волн, теории движений вязкой жидкости и т. д. В настоящее время существует сколько-нибудь общих эффективных аналитических методов решения достаточно широких классов нелинейных задач математической физики; это в полной мере относится и к теории фильтрации. Поэтому в теории фильтрации уже давно привлекли внимание своеобразные частные решения, которые выражаются через функции одной переменной. Вначале эти решения обратили на себя внимание только потому, что их получение сводилось к решению обыкновенных уравнений и представлялось (особенно в домашинную эру) более простым, чем решение уравнений в частных производных в общем случае. При построении различных приближенных методов решения, более общих, эти решения часто использовались как эталоны, позволяющие оценить точность метода. (Приближенные методы аналитического решения сохраняют, особенно в теории фильтрации, свое значение и сейчас, при широком внедрении машин, поскольку эти методы дают аналитические формулы, позволяющие наглядно проследить влияние различных параметров, а высокая точность в теории фильтрации не представляет особого интереса. В ряде случаев задачи, описываемые такими решениями, представляют и самостоятельный интерес.

Однако главная ценность таких решений была осознана позднее. Оказалось, что они представляют собой асимптотические представления решений весьма широких классов задач именно там, где детальная структура граничных и начальных условий перестает быть существенной, а эти области часто бывают наиболее интересными (например, спустя некоторое время после начала отбора из скважины, пока воронка депрессии не достигла области влияния соседней скважины и т. д.). Поэтому, зная такие решения, мы фактически получаем возможность судить, по крайней мере качественно, о поведении очень широкого класса фильтрационных движений.

Важным свойством рассматриваемых ниже решений является их инвариантность: для одних из этих решений — “автомодельных” — распределение давлений, напоров, плотностей и т. п. оказывается все время подобным самому себе, для других — перемещается как твердое тело с постоянной скоростью и т. д. Это свойство связано с особым характером задач, приводящих к таким решениям. Выполнение определенных преобразований зависимых и независимых переменных оставляет уравнения, граничные и начальные условия задачи неизменными. Как говорят в математике, эти задачи инвариантны относительно некоторой группы непрерывных преобразований. Такие задачи называются инвариантными, они рассматриваются ниже.

3.1.2. Автомодельные пологие безнапорные движения при нулевом начальном уровне жидкости. Ниже будут рассмотрены точные решения некоторых линейных задач нестационарной фильтрации, характеризующихся нулевым начальным условием. Исследование этого класса движений представляет, помимо непосредственного, также принципиальный интерес, поскольку в подобных задачах наиболее сильно проявляется существенно нелинейный характер рассматриваемой проблемы и обнаруживаются некоторые свойства нелинейных движений, резко отличающие их от соответствующих линейных задач и неизбежно утрачиваемые при линеаризации.

Будем рассматривать безнапорные пологие фильтрационные движения в первоначально сухом грунте, имея в виду, что в силу обнаруженной Л. С. Лейбензоном аналогии все результаты непосредственно переносятся на задачи изотермической фильтрации газа. Излагаемые ниже в этом параграфе решения были получены Г. И. Баренблаттом.

Рассмотрим полубесконечный пласт, имеющий снизу плоскую горизонтальную непроницаемую границу — водоупор, а со стороны канала — плоскую вертикальную границу, перпендикулярную оси x и проходящую через точку x =0.

Пусть начальный напор жидкости в пласте равен нулю, а напор на вертикальной границе пласта изменяется по степенному закону, начиная с исходного момента t =t ₀ :

где s > 0, а a — некоторая константа, которую будем выбирать в пределах –Ѕ -1 L 2 T -1 ; [t — t₀ ] = T; [x] = L; [s] = [h] T — a , (64)

где через [h], L и Т обозначены соответственно размерности напора, длины и времени; константа a безразмерна. Из аргументов, от которых зависит напор жидкости, можно составить только две независимые безразмерные комбинации:

В силу p- теоремы анализа размерностей выражение для напора можно представить в виде произведения комбинации определяющих параметров, имеющей размерность напора (в качестве нее можно взять s (t — t₀ ) a ), на безразмерную функцию от безразмерных комбинаций (65). Имеем таким образом

где f — безразмерная функция, а параметр l введен вместо параметра a для удобства последующего изложения. Очевидно, что l лежит в интервале -1 2 /dx.

При непрерывной функции f(x) и f ¹ 0 требование непрерывности функции df 2 /dx = 2fdf/dx совпадает с требованием непрерывности производной df/dx. Однако при f = 0 из непрерывности df 2 /dx непрерывность df/dx не вытекает. Напротив, как увидим далее, искомая функция f(x, l) имеет в точке, где f обращается в нуль, разрыв первой производной.

Условие (69) удобнее привести к другому виду. Умножим обе части основного уравнения (62) на х и проинтегрируем по х от нуля до бесконечности. В результате получим

t5555555555

Очевидно, что dh 2 /dx стремится к нулю при х ®¥, быстрее, чем х -1 , в противном случае h не стремилось бы к нулю при х ®¥. Используя это обстоятельство и условие на бесконечности (63), получаем

Интегрируя это соотношение в пределах от t = t ₀ до t и используя граничное условие (61) и представление решения (66), имеем

(напомним, что считаем a удовлетворяющим неравенству -1/2

отсюда на основе p- теоремы решение рассматриваемой задачи будет

где j — безразмерная функция.

Положим теперь t = t¢ + t , где t — произвольная константа. При этом условие (72) и уравнение (74), как нетрудно проверить, записываются через новую переменную t¢, так же как и через прежнюю переменную, а условие (73) принимает вид:

Таким образом, сдвиг во времени влияет лишь на некоторое преобразование величины h₀ , и постановка задачи оказывается по отношению к группе преобразований переноса по времени; для определения h в переменных х, t¢, a, c, h¢₀ получается та же задача, что и для определения h в переменных (75). Стало быть, на основе соотношений (76) и (77) имеем

Отсюда следует, что при любом t имеет место тождество

Положим теперь t = t и получим

Итак, функция h , зависящая от пяти аргументов (75), представляется через функцию одного аргумента:

Подставляя (81) в основное уравнение (74), получаем для функции f (x) обыкновенное дифференциальное уравнение

Подставляя выражение (81) в условие на бесконечности (72) и граничное условие (73), имеем граничные условия для функции f (x):

В силу непрерывности напора жидкости и потока жидкости функция f(x) по-прежнему должна быть непрерывной и иметь непрерывную производную от квадрата df 2 /dx. Мы получили, таким образом, для определения функции f(x) граничную задачу того же типа, что и граничные задачи для автомодельных решений, рассмотренных в предыдущем параграфе, и соответствующую значению параметра a, равному бесконечности, т. е. l = 1. Функция f(x) = f(x, 1) тождественно равна нулю при x ³ x₀ = 1,810; передний фронт х₀ (t) перемещается, таким образом, по закону

а скорость его перемещения равна

Полученное решение является в некотором смысле предельным для автомодельных решений, рассмотренных выше. В самом деле, положим в формуле (66)

где h₀ — константа размерности напора; t — константа размерности времени, причем, очевидно, эти константы выбираются с точностью до некоторого постоянного множителя. Решение (66) принимает вид

Будем неограниченно увеличивать в этом решении a при начальном моменте t₀ ® — ¥ по закону

Раскрывая неопределенность, получаем, что при a ® ¥

Уравнение (67) в пределе при a ® ¥ переходит в уравнение (82), а условия (68) и (69) совпадают с условиями (83); f (x, l) ® f (x, 1) = f (x).

Обозначая t через 1/c, получаем, что при a ® ¥ решение (87) стремится к решению (81). Поэтому решение (81) было названо предельным автомодельным решением. Это решение было получено в работе Г. И. Баренблатта. предельные автомодельные решения представляют и принципиальный интерес в том отношении, что для доказательства автомодельности этих решений уже недостаточно соображений анализа размерности, т. е. недостаточно инвариантности постановки задачи относительно группы преобразования подобия величин с независимыми размерностями, как это было в ранее рассмотренных автомодельных задачах, а требуется дополнительно воспользоваться инвариантностью постановки задачи относительно еще одной группы — группы преобразований переноса по времени.

Приведенные при рассмотрении предельной автомодельной задачи рассуждения носят общий характер и могут применяться во многих других задачах. Очевидно, что предельные автомодельные движения существуют всегда, если система основных уравнений рассматриваемой задачи имеет автомодельные решения обычного степенного типа с произвольным показателем степени (который может принимать сколь угодно большие значения) и инвариантна относительно преобразования переноса соответствующей координаты. Как пример можно указать задачу пограничного слоя в несжимаемой жидкости, а также задачу одномерных неустановившихся движений газа. Полученные для этих задач автомодельные решения, содержащие степенные функции независимых переменных, при предельном переходе, аналогичном проделанному в рассматриваемой задаче теории фильтрации, дают предельные автомодельные решения, полученные Гольдштейном и Станюковичем путем формальной постановки.

Задача. На границе х=0 полубесконечного пласта с непроницаемым горизонтальным водоупором задается поток (расход) жидкости как степенная функция времени

Начальный напор во всем пласте равен нулю.

Решение задачи представляется в виде:

где м (l) =-df 2 (0, l)/dx , а координата переднего фронта жидкости х₀ (t) — в виде:

2. Осесимметричные автомодельные движения. При осесимметричных пологих безнапорных движениях жидкости напор жидкости h удовлетворяет уравнению

где r — расстояние рассматриваемой точки пласта от оси симметрии.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть в бесконечный пласт, ограниченный снизу непроницаемой горизонтальной поверхностью — водоупором, через скважину, радиус которой пренебрежимо мал, начинается закачка жидкости. Предположим, что начальный напор жидкости в пласте равен нулю, так что начальное условие на бесконечности имеют вид:

Предположим далее, что расход закачиваемой жидкости изменяется со временем по степенному закону. Выражение для полного расхода жидкости, закачиваемой через скважину радиусом R, имеет вид:

По предположению, радиус скважины пренебрежимо мал (ниже мы остановимся на причинах, по которым это допущение можно делать для большинства реальных движений), поэтому можно принять R = 0; так как расход жидкости, закачиваемой в скважину, меняется по степенному закону, граничное, условие на скважине принимает вид:

где t > 0 и b > -1. В частности, случай b = 0 соответствует закачке жидкости в пласт с постоянным расходом. Таким образом, решение задачи удовлетворяет уравнению (93) и условиям (94) и (96). По-прежнему, используя p- теорему анализа размерности, можно показать, что это решение является автомодельным и представляется в виде:

представляют собой две независимые безразмерные комбинации определяющих параметров решения; других независимых комбинаций этих параметров не существует. Постоянный множитель снова введен в формулу для x с целью удобства последующего изложения. Как и прежде, искомая функция должна быть непрерывной и иметь непрерывную производную от квадрата. Подставляя выражение (77) в уравнение (93) и условия (94) и (96), находим, что функция f₁ (x, l) удовлетворяет уравнению

Исследование этой граничной задачи проводится аналогично предыдущему; также единственным образом строится функция f₁ (x, l), отличающаяся от нуля лишь при 0 £ x £ x₁ (l), где x₁ (l) — некоторая функция x, а при x ³ x₁ (l) тождественно равная нулю. Функция f₁ (x, l) при x®0 имеет особенность, как нетрудно видеть из первого условия (100):

Второе условие (100) может быть приведено к другой форме: умножая уравнение (99) на x и интегрируя в пределах от x = 0 до x = ¥, получаем, используя оба условия (100) и условия

следующее интегральное соотношение:

Первое условие (102) непосредственно следует из условия, которому функция f₁ (x, l) на бесконечности, так как если бы предел == при x ® ¥ не был равен нулю, то функция f₁ (x, l) не стремилась бы к нулю при x ® ¥. Второе условие (102) непосредственно следует из (101).

Эффективное вычисление функции f₁ (x, l) удобно проводить следующим образом. Строим решение задачи Коши Ф₁ (x, l) для уравнения (99). обращающееся в нуль при x = 1 и имеющее в этой точке конечную первую производную. Исследование, в точности аналогичное приведенному в п. 3 x1, показывает, что эта производная равна -1/4. Строить решение задачи Коши удобно так: вблизи x = 1 можно представить решение в виде ряда, при помощи которого находится надлежащее число начальных значений, после чего применяется метод численного интегрирования Адамса — Штермера. Далее численно вычисляется величина

Величина N(l) не равна единице, поэтому функция, равная Ф₁ (x, l) при x