Некоррелированность возмущений независимых случайных величин выражается уравнением

Некоррелированность и статистическая независимость

Дата добавления: 2014-11-27 ; просмотров: 4107 ; Нарушение авторских прав

Под статистической независимостью двух случайных величин и понимается, что плотность вероятности одной случайной величины не зависит от того, какое значение принимает другая величина. В таком случае двумерная плотность вероятности представляет собой произведение одномерных плотностей вероятностей:

,

что определяет условие статистической независимости.

При наличии статистической связи между случайными величинами статистические свойства каждой из них зависит от значения, принимаемого другой величиной.

Мерой линейной статистической связи между случайными величинами является коэффициент корреляции:

При этом . Предельные значения достигаются, если реализации случайных величин и жестко связаны линейным соотношением вида , причём знак коэффициента и определяет знак .

Отсутствие линейной статистической связи означает отсутствие коррелированности случайных величин и . При этом .

Таким образом для некоррелированных случайных величин:

Из статистической независимости следует некоррелированность двух случайных величин. Обратное неверно, т.е. некоррелированные случайные величины могут быть зависимыми.

Случайные величины и , где – случайная величина. Очевидно, что и являются статистически зависимыми, однако, .

Некоррелированность возмущений независимых случайных величин выражается уравнением

Главная страница — на ней вы найдете информацию по стоимости и примеры работ.

Примеры вопросов по предмету

Здесь Вы найдете некоторые из тестовых вопросов, на которые мы можем помочь Вам ответить.

Ответы на некоторые вопросы теста

Здесь Вы найдете ответы на несколько вопросов по данному предмету

Для заявки

Здесь Вы сможете оставить заявку и посмотреть контакты для связи.

Эконометрика

Сдача (решение) одного теста по данному предмету — 100 руб.

Список некоторых вопросов из тестов, на которые мы можем помочь с ответами.

• Эконометрика (1-1)
• Значение оценки является ____________
• Выборочным уравнением регрессии называется уравнение
• Реальные экономические объекты, исследуемые с помощью эконометрических методов, описываются с помощью
• Стандартное отклонение случайной величины характеризует среднее ожидаемое расстояние между наблюдениями этой случайной величины и ее
• Остаточная сумма квадратов отклонений в линейной парной модели имеет число степеней свободы, равное:
• Временным динамическим рядом называется выборка наблюдений, в которой важны
• Какое уравнение регрессии нельзя свести к линейному виду:
• Для построения модели линейной множественной регрессии вида необходимое количество наблюдений должно быть не менее:
• Нелинейная модель у = f(x), в которой возможна замена переменной z = g(x), приводящая получившуюся модель y = F(z) – к линейной, называется моделью, нелинейной по
• Выборочный частный коэффициент корреляции вычисляется по формуле
• Утверждение о том, что неизвестный параметр модели принадлежит заданному множеству А, называется
• При использовании метода Монте-Карло результаты наблюдения генерируются с помощью :
• Уравнение неидентифицируемо, если:
• Для функции Кобба-Дугласа у=100k1/3×i2/3 эластичность выпуска продукции по капиталу равна
• Система независимых уравнений или внешне не связанных уравнений имеет вид
• Уравнение сверхидентифицируемо, если:
• Автокорреляция – нарушение ___________ условия Гаусса – Маркова
• Модель неидентифицируема, если:
• Явление, когда строгая линейная зависимость между переменными приводит к невозможности применения МНК, называется
• Оценками косвенного метода наименьших квадратов являются следующие формулы
• Переменные, которые формируются вне модели, называются
• Коэффициент a 1 уравнения вычисляется по формуле:
• При выборе спецификации модели следует руководствоваться ________ анализом
• Проблема, связанная со смещением оценки коэффициентов регрессии, в одном случае, или с утратой эффективности этих оценок в другом случае неправильной спецификации переменных, перестает существовать, если коэффициент парной корреляции между переменными равен
• Степень адекватности модели при оценки двухшаговым методом наименьших квадратов считается тем больше, чем:
• Авторегрессионная модель первого порядка имеет вид
• Критерий Дарбина-Уотсона применяется для:
• Мультипликативная модель временного ряда имеет вид:
• Для модели потребления Фридмена могут быть применены
• При применении взвешенного метода наименьших квадратов используется формула
• Распределенный лаг характеризует
• График выборочной автокорреляционной функции называется
• Временной ряд в виде аддитивной модели имеет вид
• Лаг – это
• Среднее арифметическое значения временного ряда имеет вид
• Задачами регрессионного анализа являются
• Наиболее наглядным видом выбора уравнения парной регрессии является:
• Модельным уравнением регрессии называется уравнение
• Эконометрическая модель имеет вид
• Корреляционная зависимость может быть представлена в виде
• Уравнение регрессии линейное, если
• Коэффициент наклона в уравнении линейной регрессии показывает ___________изменяется y при увеличении x на одну единицу
• По данным таблицы найдите уравнение регрессии Y по X
• Суть метода наименьших квадратов состоит в:
• Значимость уравнения регрессии в целом оценивает:

• Мерой разброса значений случайной величины служит
• Переменные, формирующие внутри функционирования объекта, называются

• Всю совокупность реализаций случайной величины называют __________совокупностью
• При использовании уровня значимости, равного 5%, истинная гипотеза отвергается в _____ случаев
• Свойство постоянства дисперсий ошибок регрессии называется гомоскедастичностью, если
• Стандартизованные коэффициенты регрессии :
• К нелинейным моделям по параметрам относятся модели
• Для функции y = 4×0,2 , эластичность равна_________
• Свойства коэффициентов регрессии как случайных величин зависят от свойств ________ уравнения
• Логарифмическое преобразование позволяет осуществить переход от нелинейной модели y = 5x2u к модели
• Модель множественной регрессии можно представить в виде
• Способ оценивания (estimator) – общее правило для получения _____________ какого-либо параметра по данным выборки
• Второе условие Гаусса – Маркова заключается в том, что
• Третье условие Гаусса – Маркова состоит в том, что cov(ui,uj) = 0, если
• Стандартное отклонение оценки b для параметра β вычисляется по формуле
• МНК дает__________ для данной выборки значение коэффициента детерминации R2
• Необходимо исследовать зависимость между результатами письменных вступительных и курсовых экзаменов по математике. Получены следующие данные о числе решенных задач на вступительных экзаменах X (задание – 10 задач) и курсовых экзаменах Y (задания – 7 задач) 12 студентов, а также распределение этих студентов по фактору «пол»: Тогда линейная регрессивная модель Y по X с использованием фиктивной переменной по фактору пол имеет вид
• № студента Число решенных задач Пол студента № студента Число решенных задач Пол студента
• t-статистика для коэффициента корреляции r определяется как
• С помощью обратной матрицы определяется
• Если из экономических соображений известно, что β ≥ β0 , то нулевая гипотеза отвергается только при
• По данным таблицы коэффициент эластичности равен
• Номер предприятия
• С увеличением числа объясняющих переменных скорректированный коэффициент детерминации:
• Коэффициент автокорреляции для таблицы по 6-ти пар наблюдений
• Модель авторегрессии и распределенных лагов имеет вид
• Аддитивная модель временного ряда имеет вид:
• Модель с распределением Койка лаговых объясняющих переменных имеет вид
• Статические характеристики временного лага
• Аддитивная модель временного ряда строится, если:
• Автокорреляция k-го порядка временного ряда Yt — коэффициент корреляции вычисляется по формуле
• Прогноз развития на основе экстраполяция временных рядов является эффективным в рамках _________ периода прогнозирования
• Структурный параметр называется _________, если он может быть однозначно оценен с помощью косвенного метода наименьших квадратов
• Параметр называется __________, если косвенный метод наименьших квадратов дает несколько его оценок
• Эффективная процедура оценивания систем регрессионных уравнений сочетает метод одновременного оценивания и метод интсрументальных переменных, и при этом называется
• Если при оценке __________ уравнения в качестве инструментальных переменных используются экзогенные переменные, то получаемые при этом оценки совпадают с оценками косвенного метода наименьших квадратов
• Отличия экзогенных переменных от эндогенных заключается в том, что они
• структурный параметр называется ___________, если его значение невозможно получить, даже зная точные значения параметров приведенной формы
• Функция Кобба – Дугласа называется
• Тесты по определения автокорреляции между соседними членами – это
• Мультипликативная модель временного ряда строится, если:

• Временной ряд в виде мультипликативной модели имеет вид
• Использование автокорреляционных остатков
• Тесты на гетероскедастичность – это
• На основе поквартальных данных построена аддитивная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за первые три квартала равны: 7 – I квартал, 9 – II квартал и –11 – III квартал. Значение сезонной компоненты за IV квартал есть:
• Автокорреляция первого порядка – ситуация, когда случайный член Uк коррелирует с
• Необходимость применения специальных статистических методов для обработки экономической информации вызвана ________ данных
• Коэффициент корреляции может принимать значения:
• Корреляционной зависимостью между двумя переменными называется
• Переменные, задаваемые извне называются
• Если все наблюдения лежат на линии регрессии, то коэффициент детерминации R2 для модели парной регрессии равен
• Экономико-математическая модель становится эконометрической, если
• Качество модели из относительных отклонений по каждому наблюдению оценивает:
• Рассчитывать параметры парной линейной регрессии можно, если у нас есть:
• Классический метод к оцениванию параметров регрессии основан на:

• В эконометрической модели объясненная часть – это
• Объясняющие переменные могут считаться детерминированными, если они принимают
• Какое из следующих уравнений нелинейно по оцениваемым параметрам:
• Эффективная оценка – несмещенная оценка, имеющая ______________ среди всех несмещенных оценок
• Уравнением линейной парной регрессии является уравнение
• Метод наименьших квадратов — метод нахождения оценок параметров регрессии, основанный на минимизации _______ квадратов остатков всех наблюдений
• Верхнее число степеней свободы F-статистики в случае парной регрессии равно
• Для функции средний коэффициент эластичности имеет вид:
• Набор показателей экономических переменных, полученных в данный момент времени называются
• Переменная Y, имеющая при заданных значениях факторов некоторое распределение называется
• Для получения достоверных данных о распределении какой-либо случайной величины, необходимо иметь
• Первое условие Гаусса – Маркова заключается в том, что _________ для любого i
• Показатель выборочной ковариации позволяет выразить связь между двумя переменными
• Стандартизованный коэффициент регрессии показывает
• Мультипликативная степенная модель легко сводится к линейной путем ___________ обеих частей уравнения
• Скорректированный коэффициент детерминации вычисляется по формуле
• Оценка стандартного отклонения случайной величины, полученная по данным выборки, называется стандартной ___________ случайной величины
• Коэффициент детерминации определяется по формуле
• Для функции y = 4×0,2 , эластичность равна_________
• При высоком уровне значимости проблема заключается в высоком риске допущения
• Число степеней свободы для остаточной суммы квадратов в линейной модели множественной регрессии равно:
• Пусть имеются условные данные о средних расходах на конечное потребление (yt , денежных единиц) за 8 лет.
• При вычислении t-статистики применяется распределение____________
• По четырем предприятиям региона (см. табл.) изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%), тогда уравнение множественной регрессии имеет вид
• Номер предприятия 1 2 3 4
• , (%) 1 2 3 5
• , (%) 0 1 3 4
• , (тыс. руб.) 6 11 19 28
• Оценивание каждого параметра в уравнении регрессии поглощает _________ свободы в выборке
• Скорректированный коэффициент детерминации:
• Функция Кобба – Дугласа имеет вид Y =
• Тождества, которые содержатся в системе одновременных уравнений, имеют вид:
• Лаговые переменные – это:
• Модель сверхидентифицируема, если:
• Фиктивную переменную для коэффициента наклона вводят как ____________ фиктивной переменной, отвечающей за исследуемую категорию, и интересующей нефиктивной переменной
• Трехшаговый метод наименьших квадратов – это метод:
• Тест ранговой корреляции Спирмена – тест на
• Система одновременных уравнений общего вида в структурной форме в отсутствие лаговых переменных имеет вид:
• Для определения параметров структурную форму модели необходимо преобразовать в:
• Второе условие Гаусса – Маркова предполагает, что дисперсия случайного члена __________ в каждом наблюдении
• Гетероскедастичность заключается в том, что дисперсия случайного члена регрессии __________наблюдений
• Приведенная форма системы одновременных уравнений имеет вид:
• Чем больше число наблюдений, тем __________ зона неопределенности для критерия Дарбина – Уотсона
• Системы одновременных или регрессионных уравнений используются, когда
• Для определения параметров неидентифицируемой модели:
• Для определения параметров точно идентифицируемой модели:
• Для реализации двухшагового метода наименьших квадратов необходимо, чтобы:
• Системы рекурсивных уравнений имеет вид:
• Число периодов, по которым рассчитывают коэффициент автокорреляции называется
• Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений
• Экономический временной ряд – это ряд, который
• Дисперсия временного ряда вычисляется по формуле
• Коэффициент, который измеряет корреляцию между членами одного и того же ряда называется
• Экономический временной ряд отличается от технологического тем, что
• На первом этапе применения теста Голдфелда – Квандта в выборке все наблюдения
• Наилучший способ устранения автокорреляции – установление ответственного за нее фактора и включение соответствующей ___________ переменной в регрессию
• Модель авторегрессии и скользящей средней имеет вид
• Авторегрессионная модель скользящей средней порядков p и q соответственно имеет вид
• Коэффициент автокорреляции:
• Модель скользящей средней имеет вид
• Автоковариация k-го порядка временного ряда Yt вычисляется по формуле
• График зависимости автокорреляционной функции временного ряда от величины лага называется
• Модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего имеет вид
• В обобщенной линейной модели в отличие от классической модели ковариация и дисперсия объясняющих переменных могут быть
• Какое из уравнений является степенным:
• Если случайная величина принимает значения Х1….,Хn с вероятностями Р1. Рn соответственно, то математическое ожидание случайной величины —
• Для оценки значимости коэффициентов регрессии рассчитывают:
• На основании наблюдений за 50 семьями построено уравнение регрессии где y – потребление, x – доход. Соответствуют ли знаки и значения коэффициентов регрессии теоретическим представлениям?
• Общая сумма квадратов отклонений в линейной парной модели имеет число степеней свободы, равное:
• Классическая нормальная линейная регрессионная модель имеет вид
• Статистической (или стохастической, вероятностной) получила название зависимость
• Переменные, взятые в предыдущий момент времени, называются
• Суть коэффициента детерминации состоит в следующем:
• Параметр b в степенной модели является:
• Критерий Г. Чоу может быть использован при построении регрессионных моделей при воздействии ________________ признаков
• Мультиколлинеарность в эконометрических исследованиях чаще проявляется
• Граничное значение области принятия гипотезы с p%-ной вероятностью совершить ошибку I рода определяется __________при p-процентном уровне значимости
• Число степеней свободы для общей суммы квадратов в линейной модели множественной регрессии равно:
• По таблице найти скорректированный коэффициент детерминации
• № студента Число решенных задач Пол студента № студента Число решенных задач Пол студента
• Число степеней свободы для t-статистики равно числу наблюдений в выборке __________ количество оцениваемых коэффициентов
• F-статистика для ____________ является в точности квадратом t-статистики для rx,y
• Число степеней свободы для факторной суммы квадратов в линейной модели множественной регрессии равно:
• Второй шаг метода Зарембки заключается в пересчете наблюдений y в новые
• Если F-статистика Фишера превысит критическое значение Fкрит, то регрессия считается
• Структурное уравнение регрессии имеет вид:
• Кейнсианская модель формирования доходов является
• Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получили:
• Коэффициент a 1 уравнения равен своему математическому ожиданию, если:
• Если , то значение a 1 будет:
• Модель оказывается с математической точки зрения предпочтительней модели , если выполняется условие
• Косвенный метод наименьших квадратов можно применять для оценивания структурных параметров системы одновременных уравнений только в случае выполнения:
• Для регрессии второго порядка y= 12+7×1-3×2 отклонение от регрессии наблюдения (х1=2, х2=1, y=20) равно
• При автокорреляции оценка коэффициентов регрессии становится
• Для получения эффективной оценки вектора b используют
• Авторегрессионная модель временного ряда имеет вид
• На основе поквартальных данных построена мультипликативная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за первые три квартала равны: 0,8 – I квартал, 1,2 – II квартал и 1,3 – III квартал. Значение сезонной компоненты за IV квартал есть:
• В модели множественной регрессии за изменение _________ регрессии отвечает несколько объясняющих переменных
• Члены временного ряда __________ одинаково распределенными
• Модели временных рядов – это
• Модель распределенных лагов имеет вид
• Модель с распределением Койка лаговых объясняющих переменных оценивается с помощью
• Модель сосредоточенного лага имеет вид
• Что значит психическое отражение:
• Первые представления о психике были связаны:
• Коэффициент линейного парного уравнения регрессии:

• Объясненная (факторная) сумма квадратов отклонений в линейной парной модели имеет число степеней свободы, равное:

• Задача исследования зависимости одной зависимой переменной от нескольких объединяющих переменных решается с помощью
• Невыполнение 2 и 3 условий Гаусса – Маркова, приводит к потере свойства_________оценок

• Точность оценок по МНК улучшается, если увеличивается

• Если система идентифицируема, и количество экзогенных переменных Х совпадает с количеством эндогенных переменных Y, оценки двушагового метода совпадают с оценками ___________ метода наименьших квадратов

• Уравнение идентифицируемо, если:

• Коэффициент детерминации при двухшаговом методе наименьших квадратов может быть:

• Модель идентифицируема, если:

• Общий вид системы одновременных уравнений представляется в матричной форме как

• Параметр, для которого существует несколько способов выражения через коэффициенты приведенной формы, называется

• Модель оказывается предпочтительней модели _______, если скорректированный коэффициент детерминации при удалении регрессоров Z увеличивается

• В двухшаговом методе наименьших квадратов оценки обладают свойствами:

• Значение статистики Дарбина – Уотсона находится между значениями

• Модель скользящей средней q-го порядка имеет вид
• Некоррелированность возмущений независимых случайных величин выражается уравнением

• По данным таблицы коэффициент корреляции равен
• i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
• Xi 32 30 36 40 41 47 56 54 60 55 61 67 69 76
• Yi 20 24 28 30 31 33 34 37 38 40 41 43 45 48

• Разность между математическим ожиданием оценки и истинным значением оцениваемого параметра называют____________________
• Остаточная сумма квадратов равна нулю:
• Добавление в уравнение множественной регрессии новой объясняющей переменной:

• Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид

• Эксперимент по методу Монте-Карло – искусственный, контролируемый эксперимент, проводимый для проверки и сравнения эффективности различных

• Тест Бокса – Кокса (решетчатый поиск) – прямой компьютерный метод выбора наилучших значений ______________ модели в заданных исследователем пределах с заданным шагом (решеткой):

• Множественный коэффициент корреляции . Определите, какой процент дисперсии зависимой переменной объясняется влиянием факторов x1 и x2:
• Приведенная форма Кейнсианской модели имеет вид

• Если наблюдаемое значение F-статистики при тестировании гипотезы оказывается меньше 1, то модель ______ оказывается предпочтительнее чем, модель

• Переменные, которые формируются внутри модели называются

• Для определения параметров сверхидентифицируемой модели:

• Эндогенные переменные – это:
• Для решения одновременных уравнений применяется

• Модель оказывается с математической точки зрения предпочтительней модели , если выполняется условие

• Экзогенные переменные – это:

• При проведении теста Голдфелда – Квандта из рассмотрения исключаются ______ наблюдений
• Временной (динамический) ряд имеет вид
• Временной лаг — это
• Модель авторегрессии возмущения или автокорреляция временного ряда имеет вид
• Эконометрический инструментарий базируется на методах и моделях
• Приведенная система одновременных уравнений имеет вид:

• В чем состоит условие независимости погрешностей регрессионной модели :
• По данным n=15 фирм исследована зависимость прибыли y от числа работающих x вида была получена оценка остаточной дисперсии и обратная матрица . Определите, чему равна дисперсия оценки коэффициента регрессии :
• Для моделей с переменной структурой характерно следующее:
• При исследовании зависимости себестоимости продукции y от объема выпуска x1 и производительности труда x2 по данным n=20 предприятий получено уравнение регрессии и среднеквадратические отклонения коэффициентов регрессии и . Можно ли при уровне значимости α=0,05 утверждать, что значимы коэффициенты регрессии:
• оценки на величину, не превышающую:
• Согласно методу наименьших квадратов для получения оценок b 0 и b 1 минимизируется:
• Проверить гипотезу о гомоскедастичности регрессионных остатков можно с помощью:
• Что минимизируется согласно методу наименьших квадратов:
• Статистика критерия для проверки значимости коэффициента регрессии имеет вид:
• При исследовании зависимости себестоимости продукции y от объема выпуска x1 и производительности труда x2
• по данным n=20 предприятий получено уравнение регрессии и среднеквадратические отклонения коэффициентов регрессии: и . Определите на сколько процентов в среднем изменится себестоимость продукции y, если производительность труда х2
• увеличить на 1%, учитывая при этом, что :
• Если в уравнении регрессии увеличить x на единицу, то в результате этого yв среднем изменится на величину:
• По данным n=25 регионов получена регрессионная модель объема реализации медикаментов на одного жителя у в зависимости от доли городского населения х1и числа фармацевтов х2
• на 10 тыс. жителей: и среднеквадратичное отклонение коэффициентов регрессии и . Начиная с какого уровня значимости α можно утверждать, что y зависит от доли городского населения х1:
• Фиктивными называют переменные:
• Уравнению регрессии соответствует множественный коэффициент корреляции . Какая доля вариации результативного показателя y (%) объясняется входящими в уравнение регрессии переменными х1 и х2 :
• Тест Чоу применяют:
• Могут ли фиктивные переменные применяться для моделирования сезонных колебаний:
• Если качественная независимая переменная принимает m значений, то необходимо определить:
• В модели множественной регрессии за изменение _________ регрессии отвечает несколько объясняющих переменных
• Модели временных рядов – это
• По данным n=15 фирм исследована зависимость прибыли y от числа работающих x вида была получена оценка остаточной дисперсии и обратная матрица Определите, чему равна при доверительной вероятности γ=0.95 верхняя граница интервальной оценки коэффициента регрессии при х :
• Если качественная независимая переменная принимает m значений, то необходимо определить:
• В хорошо подобранной модели остатки должны (выберите необходимые пункты):
• В модели регрессионного анализа к распределению ошибок наблюдения , а именно к их математическому ожиданию и дисперсии предъявляются требования:
• Границы интервальной оценки свободного члена уравнения регрессии отстоят от точечной оценки на величину, не превышающую:
• Дана ковариационная матрица
• Какие требования в модели регрессионного анализа предъявляются к распределению ошибок наблюдения , а именно к их математическому ожиданию и дисперсии .
• В чем состоит условие гомоскедастичности в регрессионной модели временного ряда, если :
• При исследовании зависимости себестоимости продукции y от объема выпуска x1 и производительности труда x2
• по данным n=20 предприятий получено уравнение регрессии и среднеквадратические отклонения коэффициентов регрессии: и . Определите с доверительной вероятностью γ=0,99, на какую величину максимально может измениться себестоимость продукции y, если объем производства увеличить на единицу:
• В регрессионном анализе математическое ожидание и дисперсия регрессионных остатков , отвечают следующим требованиям:

Числовые характеристики зависимости (ковариация, корреляция)

Основными числовыми характеристиками случайного вектора являются моменты.

Моментом порядка k,s случайного вектора (X,Y) называют математическое ожидание произведения X k на Y s :

(42)

Центральным моментом порядка k,s случайного вектора (X,Y) называют математическое ожидание произведения k-ой и s-ой степени центрированных величин:

(43)

Соответственно суммарному порядку k+s моменты классифицируются на первые, вторые и так далее.

На практике обычно применяют моменты первого и второго порядков. Первые моменты представляют собой математические ожидания величин X и Y:

; (44)

Совокупность математических ожиданий представляет собой характеристику положения случайного вектора (X,Y). Геометрически это координаты некоторой «средней» точки, вокруг которой происходит рассеивание (X,Y).

Вторые несмешанные центральные моменты случайного вектора – это дисперсии величин X и Y:

; . (45)

Они характеризуют рассеивание (разброс) случайной точки (X,Y) вокруг центра рассеивания .

Особую роль для характеристики случайного вектора играет второй смешанный центральный момент, называемый ковариацией.

Ковариация случайных величин X и Y – это математическое ожидание произведения центрированных величин

= (46)

Ковариация характеризует зависимость случайных величин X и Y.

Теорема.Если случайные величины X и Y независимы, то

Доказательство следует из свойств математического ожидания: если случайные величины X и Y независимы, то их отклонения тоже независимы; математическое ожидание произведения независимых величин равно произведению их математических ожиданий, следовательно,

так как .

Таким образом, если , то случайные величины X и Y зависимы. В этом случае ( ) их называют коррелированными. Однако из того, что , не следует независимость X и Y. В этом случае ( ) случайные величины называют некоррелированными. Из независимости вытекает некоррелированность; обратное, вообще говоря, неверно. Другими словами, некоррелированность является необходимым, но не достаточным условием независимости случайных величин X и Y.

В качестве примера рассмотрим случайный вектор (X,Y), равномерно распределенный в круге с радиусом 1 и с центром в начале координат и имеющий следующую плотность распределения вероятностей:

Убедимся, что случайные величины X и Y зависимы:

Так как , то случайные величины X и Y зависимы.

Вычислим ковариацию этих величин. Сначала найдем математические ожидания: так как подынтегральная функция нечетная, а отрезок интегрирования симметричен относительно начала координат. Аналогично получаем, что . Тогда ковариация

Таким образом, случайные величины X и Y некоррелированы, но они не являются независимыми.

Ковариация характеризует не только степень зависимости случайных величин, но и их рассеивание вокруг точки . Так, если величина Х очень мало отклоняется от своего математического ожидания, то ковариация будет мала, несмотря на наличие зависимости между X и Y. В качестве числовой характеристики зависимости (а не рассеивания) случайных величин X и Y используют безразмерную характеристику – коэффициент корреляции.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называют их нормированную ковариацию:

. (48)

Теорема.Если случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью Y=aX+b, то коэффициент корреляции:

(49)

При доказательстве этой теоремы используются свойства математического ожидания и дисперсии случайных величин:

Можно показать, что обратное утверждение также верно.

Возникает вопрос: в каких пределах находится значение коэффициента корреляции? Ответ на него даёт следующее свойство коэффициента корреляции: величина коэффициента корреляции заключена в пределах [-1,1].

Если коэффициент корреляции r(X,Y)>0, то говорят о положительной корреляции случайных величин X и Y; если же r(X,Y)

Отрицательная корреляция означает, что при возрастании одной из случайных величин другая имеет тенденцию в среднем убывать. Например, время, потраченное на регулировку прибора, и количество неисправностей, обнаруженных при работе прибора, связаны отрицательной корреляцией.

В качестве характеристики зависимости системы n случайных величин (n-мерного случайного вектора) используют ковариационную матрицу.

Ковариационная матрица случайного вектора (X₁, X₂, … , X_n) – это матрица, состоящая из элементов

(50)

Очевидно, что , то есть ковариационная матрица симметрична.

По главной диагонали ковариационной матрицы стоят дисперсии случайных величин X₁, X₂, …X_n. При этом, если случайные величины X₁, X₂, …X_n некоррелированы, то ковариационная матрица имеет диагональный вид:

(51)