Некоторые неалгоритмические приемы решения уравнений

ГДЗ учебник по алгебре 7 класс Дорофеев. 4.5 Некоторые неалгоритмические приемы решения уравнений. Номер №414

Найдите все целые корни уравнения:
а ) x(x + 2 ) = 35 ;
б)

Решение

x(x + 2 ) = 35
Нужно найти два числа, отличающиеся на 2 единицы, произведение которых равно 35 . Запишем делители числа 35 : 1, 5, 7, 35 . Условию удовлетворяют числа 5 и 7, т.к. корни должны быть, то также корнями могут быть числа − 5 и − 7 . Значит x = 5 и x = 7 .
Проверка:
x = 5
x(x + 2 ) = 35
5 ( 5 + 2 ) = 35
5 * 7 = 35
35 = 35

x = − 7
x(x + 2 ) = 35
− 7 (− 7 + 2 ) = 35
− 7 * (− 5 ) = 35
35 = 35

Некоторые неалгоритмические приемы решения уравнений

Чтобы успешно сдать ГИА, вы должны знать математику не только на базовом уровне, но и применить ваши знания в нестандартных ситуациях. Во II части экзаменационной работы часто встречаются уравнения высших степеней.

Рассмотрим некоторые приемы решения целых уравнений, которые решаются с помощью довольно простого алгоритма, то есть такого метода, который требует лишь точного выполнения известных правил. Приемы, помогающие решить более эффективно целые уравнения с различными особенностями.

Решение целых уравнений

Нахождение корней многочлена высокой степени осложняется, так как удобных формул на нахождения корней нет или они вовсе не выведены. Поэтому для решения уравнений, содержащих многочлены высоких степеней, применяются методы, основанные на особенностях решаемых уравнений. В зависимости от особенностей уравнения, могут быть применены разные способы решения

Некоторые уравнения высоких степеней решают, используя выводы теоремы о корне многочлена. Суть теоремы состоит в том, что при известном корне а многочлена вида

P ( x ) = a ₀ x n + a ₁ x n -1 +…+ a _{n -1} x + a _n , в котором a ₀ ≠ 0, многочлен может быть представлен в виде произведения (х-а)Р₁(х). При этом Р₁(х) – многочлен степени (n-1). Отмечается, что для уравнения с одной переменной, целыми коэффициентами и одним корнем, поиск корня можно выполнить, используя теорему о целых корнях целого уравнения. Если уравнение a₀x n + a₁x n-1 +…+ a_n-1x + a_n = 0, в котором a_n ≠ 0, а a₀, a₁, a₂… являются целыми числами, имеет целый корень, этот корень ‒ делитель свободного члена.

Допустим, что х₀ – целый корень уравнения. При его подстановке в уравнение, получается a₀x₀ n + a₁x₀ n-1 +…+ a_n-1x₀ + a_n = 0. При переносе свободного члена в правую часть уравнения, в оставшемся выражении можно вывести за скобки общий множитель х₀. Получится уравнение вида a_n = x₀(‒ a₀x₀ n-1 ‒ a₁x₀ n-2 ‒…‒ a_n-1). Выражение в скобках является целым числом, так как x₀, ‒ a₀, ‒ a₁, ‒ a₂… ― целые числа. Следовательно, при делении a_n на x₀ в результате получается целое число, и x₀ является делителем свободного члена.

Применим данную теорему для решения уравнений методом разложения многочлена на множители. Для этого необходимо усвоить, что уравнение Р(х) = 0 решается разложением многочлена Р(х) на множители, если Р(х) – многочлен третьей и более высоких степеней. Примером подобного решения служит решение уравнения

х 3 ‒ 7х 2 + 11х ‒ 2 = 0.

Вспоминая изученную теорему о целых корнях целого уравнения, обратим внимание на свободный член уравнения. Его делителями являются числа 2, ‒ 2, 1, ‒ 1. Подставив значения корней в уравнение, можно убедиться, что корнем будет число 2. Поэтому многочлен в левой части уравнения, согласно теореме о корнях многочлена, представляем в виде (х ‒ 2)F(x), при этом F(x) является многочленом второй степени.

Рассмотрим ещё один пример:

х 3 ‒ 3х 2 ‒ 4х + 12 = 0.

Делителями свободного члена являются числа ‒ 6, 6, ‒ 4, 4, ‒ 3, 3, ‒ 2, 2, ‒ 1, 1. Выполнив проверку, находим, что числа 3, ‒ 2, 2.

Решим уравнение другим способом. Преобразуем уравнение способом группировки:

х 2 (х ‒ 3) ‒ 4(х ‒ 3) = 0, (х ‒ 3)( х 2 ‒ 4) = 0, откуда получим корни 3, ‒ 2 и 2.

Решение уравнений неалгоритмическим способом

При переводе условия задачи на математический язык может получиться уравне­ние, алгоритм решения которого вы ещё не знаете или его вообще нет.

Рассмотрим некоторые неалгоритмические приёмы решения уравнений. Обычно такие приёмы труднее, чем алгоритмические, — ведь здесь приходится думать самому, а не пользоваться готовыми правилами.

Пример 1 . Фирма заказала 143 компьютера, чтобы распреде­лить их поровну между своими филиалами. Однако потом фирма ре­шила открыть ещё два филиала, и в результате каждый филиал по­лучил на 2 компьютера меньше. Сколько у фирмы стало филиалов?

Обозначим исходное число филиалов буквой х. Тогда по условию

задачи каждый филиал должен был получить компьютеров. Но филиалов стало х + 2, значит, каждый филиал реально получил компьютера. По условию задачи каждый филиал получил на 2 компьютера меньше. Составим уравнение:

Уравнение совсем непростое, но его можно решить, если вспом­нить, что х — это количество филиалов фирмы, и, значит, это число натуральное. Кроме того, и тоже натуральные числа, поскольку каждое из них — это количество компьютеров. Поэтому числа х и х + 2 — это делители числа 143. Остаётся найти все на­туральные делители числа 143 и выбрать такие два делителя, один из которых на 2 больше другого.

У числа 143 всего четыре натуральных делителя: 1, 11, 13, 143. Перебрав все возможные пары делителей, нетрудно увидеть, что условию удовлетворяет только пара чисел 11 и 13.

Значит, х = 11, а х + 2 = 13.

Таким образом, у фирмы стало 13 филиалов.

Пример 2. Андрей задумал некоторое натуральное число. Бо­рис предложил ему возвести это число в квадрат, после чего приба­вить задуманное число и назвать результат. Результат оказался рав­ным 90. Как Борису узнать, какое число задумал Андрей?

Обозначим задуманное число буквой х. Тогда Андрей, следуя указаниям Бориса, вычислил значение выражения х 2 + х и получил по условию число 90. Мы пришли к уравнению

Попробуем решить это уравнение. Выражение х 2 + х с помощью распределительного закона можно представить в виде произведения:

Следовательно, наше уравнение можно заменить таким:

Теперь ясно, что надо найти натуральное число х такое, что при умножении его на следующее натуральное число в произведе­нии получится 90.

Такие два натуральных числа нетрудно подобрать — это 9 и 10. Значит, х = 9.

Кажется, что задача решена, однако это не так. Вдруг есть ещё какое-нибудь натуральное число, удовлетворяющее условию х(х + 1) = 90? Ведь в данном случае мы не перебирали все возмож­ные варианты решения, а просто подобрали ответ.

Чтобы убедиться в том, что другого такого числа нет, надо про­вести дополнительные рассуждения. Например, такие: если х > 9, то х+1>10, и тогда произведение х(х+1) больше 90. Точно так же х не может быть меньше 9, потому что в этом случае произведение будет меньше 90. Значит, могло быть задумано только число 9.

Пример 3. Найдите целые корни уравнения (х ‒ 1) 2 + х 2 = 25.

Итак, мы видим, что сумма квадратов двух последовательных чисел равна 25. Это могут быть пары 3 и 4, а так же ‒ 4 и ‒ 3. То есть корни уравнения числа ‒ 3 и 3.

Пример 4. Один из корней уравнения натуральный. Найдите его перебором.

По условию знаменатели являются последовательными натуральными числами, причём

х > 1. Учитывая эти условия, найдём, что корень уравнения число 2.

Пример 5. В школе был проведён шахматный турнир, в котором каждый участник сыграл с каждым другим одну партию. Сколько шах­матистов участвовало в турнире, если всего было сыграно 28 партий?

Пусть всего участников было х, тогда каждый из них сыграл х – 1 партию. Составим уравнение;

х(х – 1) = 28 · 2, х(х – 1) = 56.

Видим, что произведение двух натуральных чисел равно числу 56, т. е. это числа 7 и 8. Значит играло 8 участников.

Пример 6. Периметр прямоугольника, стороны которого выражены це­лым числом сантиметров, равен 28 см. Может ли его площадь быть равной 33 см 2 ? 40 см 2 ?

Если одна сторона х см, то другая (14 – х) см. Получим уравнения:

х(14 – х) = 33 и х(14 – х) = 40.

В первом уравнении множители могут быть натуральными нечётными числами, сумма которых равна числу 14, очевидно это 3 и 11. Проверка показывает, что оба числа являются корнями данного уравнения.

Во втором уравнении множители являются натуральными, один из них равен либо числу 10, либо числу 5, и в сумме должны давать 14. Подбором убеждаемся, что это числа 4 и 10.

Итак, подбор одного или даже нескольких корней вовсе не озна­чает, что нет других. Необходимо провести дополнительные рассуж­дения, чтобы проверить, что найдены все возможные решения. Такие рассуждения могут оказаться очень непростыми, и это огра­ничивает применение метода подбора для решения уравнений.

Использование данных методов позволяет решать задачи и уравнения не только общеизвестными методами, но и на уровне определённых логических рассуждений, учитывая указанные в задачах условия. Это расширяет возможности составления уравнений к условиям задач, не ограничиваясь тем, что некоторые из них мы ещё не умеем решать: например дробные или уравнения высших степеней, а так же поможет подготовиться к сдаче экзамена на более высокие баллы.

1. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б. и др. Алгебра. 7 класс : учебник для общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 2013.

2.Чулков П. В. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики.

Учебно-методическое пособие. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2014. – 100 с.

Приемы решения целых уравнений

Цели урока:

учебная: систематизация и обобщение, расширение и углубление знаний обучающихся по решению целых уравнений с одной переменной высших степеней; подготовка учащихся к применению знаний в нестандартной ситуации.

развивающая: развитие личности обучающегося через самостоятельную творческую работу, развитие инициативы обучающихся; обеспечивать устойчивую мотивационную среду, интерес к изучаемой теме; развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения уравнения;

воспитательная: развитие интереса к изучению математики, подготовка обучающихся к применению знаний в нестандартной ситуации; воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов

Просмотр содержимого документа
«Приемы решения целых уравнений 9»

Открытое занятие по математике

в 9 классе по теме:

Приемы решения целых уравнений

Иванова Рина Юсуповна

учебная: систематизация и обобщение, расширение и углубление знаний обучающихся по решению целых уравнений с одной переменной высших степеней; подготовка учащихся к применению знаний в нестандартной ситуации.

развивающая: развитие личности обучающегося через самостоятельную творческую работу, развитие инициативы обучающихся; обеспечивать устойчивую мотивационную среду, интерес к изучаемой теме; развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения уравнения;

воспитательная: развитие интереса к изучению математики, подготовка обучающихся к применению знаний в нестандартной ситуации; воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Мотивация изучения темы.

Актуализация знаний по теме «Целые уравнения»

Систематизация и обобщение знаний – сообщения обучающихся о стандартных приемах решения уравнений.

Расширение и углубление знаний – сообщение учителя о нестандартных приемах решения уравнений.

Домашнее задание: примеры на осмысление, закрепление новых знаний.

1.Организационный момент – ставятся цели и задачи урока.

Ребята! Вам предстоит итоговая аттестация по математике.

Уравнение — это самая простая и распространенная математическая задача. Вы накопили некоторый опыт решения разнообразных уравнений и нам нужно привести свои знания в порядок, разобраться в приемах решения нестандартных уравнений.

Стандартные приемы и методы решения элементарных алгебраических уравнений являются составной частью решения всех типов уравнений.

В простейших случаях решение уравнения с одним неизвестным распадается на два шага: преобразование уравнения к стандартному и решение стандартного уравнения. Полностью алгоритмизировать процесс решения уравнений нельзя, однако полезно запомнить наиболее употребительные приемы, общие для всех типов уравнений. Многие уравнения при применении нестандартных приемов решаются гораздо короче и проще.

2. Мотивация изучения темы.

Предлагаются задания повышенной трудности из учебника алгебры и заданий ГИА.

(написать на доске).

Для уравнений высшей степени известны формулы корней, но они очень сложные. Иногда приходится решить, применяя специальные приемы.

3. Повторение материала, изучаемого на предыдущих занятиях:

Виды целых уравнений и способы решения уравнений 1-ой и 2-ой степени

Уравнения 1-ой степени решаются с помощью арифметических операций, уравнения 2-ой степени – с помощью формул корней.