Нелинейное уравнение парной регрессии вида

Уравнение нелинейной регрессии

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Уравнение множественной регрессии

Виды нелинейной регрессии

Здесь ε — случайная ошибка (отклонение, возмущение), отражающая влияние всех неучтенных факторов.

Уравнению регрессии первого порядка — это уравнение парной линейной регрессии.

Уравнение регрессии второго порядка это полиномальное уравнение регрессии второго порядка: y = a + bx + cx 2 .

Уравнение регрессии третьего порядка соответственно полиномальное уравнение регрессии третьего порядка: y = a + bx + cx 2 + dx 3 .

Чтобы привести нелинейные зависимости к линейной используют методы линеаризации (см. метод выравнивания):

1. Замена переменных.
2. Логарифмирование обеих частей уравнения.
3. Комбинированный.

Пример . По данным, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
2. Рассчитать параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.
3. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
5. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
6. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование.
7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 15% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α=0,05 .
8. Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

Решение. В калькуляторе последовательно выбираем виды нелинейной регрессии. Получим таблицу следующего вида.
Экспоненциальное уравнение регрессии имеет вид y = a e bx
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + bx
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.000162, a = 7.8132
Уравнение регрессии: y = e 7.81321500 e 0.000162x = 2473.06858e 0.000162x

Степенное уравнение регрессии имеет вид y = a x b
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + b ln(x)
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.9626, a = 0.7714
Уравнение регрессии: y = e 0.77143204 x 0.9626 = 2.16286x 0.9626

Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид y = b/x + a + ε
После линеаризации получим: y=bx + a
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 21089190.1984, a = 4585.5706
Эмпирическое уравнение регрессии: y = 21089190.1984 / x + 4585.5706

Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = b ln(x) + a + ε
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 7142.4505, a = -49694.9535
Уравнение регрессии: y = 7142.4505 ln(x) — 49694.9535

Парная нелинейная регрессия

Общий вид регрессионной модели:

. (1)

Если в уравнении (1) присутствует только один фактор X, а f – нелинейная математическая функция, получим парную нелинейную модель регрессии вида

Различают два класса нелинейных регрессий:

1) регрессии, нелинейные относительно объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

2) регрессии, нелинейные как относительно объясняющих переменных, так и относительно оцениваемых параметров.

К первому классу относятся, например:

1) полиномы разных степеней

;

2) равносторонняя гипербола

.

Ко второму классу относятся:

1) степенная функция

;

;

.

Замечание.

Если модель второго класса с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду, то она называется внутренне линейной, если же модель не может быть сведена к линейной функции, то она называется внутренне нелинейной (например, и другие). Для оценки параметров таких моделей используются итеративные процедуры.

Работа с такими моделями сводится к их предварительной линеаризации (приведению к линейному виду). Модели их первого класса приводятся к линейному виду простой заменой переменных. Для линеаризации моделей второго класса используют полулогарифмическую функцию или логарифмирование. Полученные таким образом вспомогательные линейные модели оценивают обычным МНК. Затем осуществляют обратный переход к нелинейной функции.

Пример.

Пусть зависимая переменная y – прибыль в семи различных торговых точках (исходные данные приведены в таблице 1), а фактор x – товарооборот в них.

Требуется: см. пункты 8, 9 в методичке.

Степенная модель

.

,

обозначим lg y=Y, lg x= X, и получим вспомогательную линейную модель вида

Для ее построения воспользуемся таблицей 1 (столбцы X=lg x и Y=lg y) и результатами регрессионного анализа.

Вспомогательная линейная модель примет вид

Обратный переход к степенной функции:

Степенная модель парной регрессии примет вид:

.

С помощью этой модели рассчитываем все последующие столбцы таблицы 1, начиная с и далее.

Качественные характеристики модели:

–

84.4 % случайной вариации переменной прибыль (y) учтено в построенной модели и обусловлено случайными колебаниями фактора оборот (х);

–

фактические значения прибыли отличаются от рассчитанных на основе степенной модели в среднем на 14 %;

эластичность при степенной связи переменных определяется показателем степени, то есть :

–

при изменении оборота на 1 % прибыль меняется в ту же сторону на 2,789%, изменение эластично.

x y yp 2.464 4.097 10.823 10.823 17.030 28.317 43.527

Показательная модель

.

Y=-0.161+0.0133*x – вспомогательная линейная модель.

Окончательно показательная модель примет вид:

.

Качественные характеристики модели:

–

77,6 % случайной вариации переменной прибыль (y) учтено в построенной модели и обусловлено случайными колебаниями фактора оборот (х);

–

фактические значения прибыли отличаются от рассчитанных на основе модели в среднем на 28 %, модель неточная;

эластичность при показательной связи переменных определяется по формуле :

–

при изменении оборота на 1 % прибыль меняется в ту же сторону на 2,82%, изменение эластично.

x y yp 3.119 4.245 9.173 9.173 14.564 26.976 49.967

Гиперболическая модель

используем простую замену ,

.

– вспомогательная линейная модель;

– гиперболическая модель.

Качественные характеристики модели:

–

86,6 % случайной вариации переменной прибыль (y) учтено в построенной модели и обусловлено случайными колебаниями фактора оборот (х);

–

фактические значения прибыли отличаются от рассчитанных на основе модели в среднем на 51,8 %, модель неточная;

эластичность при гиперболической связи переменных определяется по формуле :

–

при изменении оборота на 1 % прибыль меняется в ту же сторону на 1,6%, изменение эластично.

Регрессия: понятие, виды и уравнение

Содержание статьи:

• Уравнение регрессии
• Линейное уравнение
• Нелинейное уравнение
• Виды регрессии
• Парная регрессия
• Множественная регрессия

Регрессия. Многие из нас слышали это слово, но немногие знают, что же это такое на самом деле. Попробуем разобраться. Регрессия — это зависимость между определёнными переменными, с помощью которой можно спрогнозировать будущее поведение данных переменных. Причём, под переменными подразумеваются всевозможные периодические явления вплоть до человеческого поведения.

Уравнение регрессии

Зачастую, регрессия подаётся в виде простого уравнения, которое раскрывает зависимость и силу связи между двумя группами числовых переменных, одна из которых называется зависимой (эндогенной), а вторая — независимой (экзогенной или фактором). Если есть группа взаимосвязанных показателей, то зависимая переменная выбирается логическими размышлениями, а остальные выступают независимыми. То есть, если у нас есть расстояние между городами и затраты на путешествие, то вполне ясно, что затраты будут зависеть от расстояния. Уравнения бывают двух видов: линейные и нелинейные (это уже чистая математика). Стоит рассмотреть каждый из видов.

Линейное уравнение

Линейное уравнение иллюстрирует строго линейную связь между переменными, то есть в нём отсутствуют степени, дроби, тригонометрические функции. Решается стандартными математическими способами.

Нелинейное уравнение

Логично предположить, что в нелинейный класс уравнений входит всё то, что не вошло в линейный. Решаются такие уравнения сведением к линейному типу, а дальше – по накатанной дорожке.

Виды регрессии

Регрессия бывает двух видов: парная (линейная и нелинейная) и множественная (линейная и нелинейная). Разница между ними в виде уравнения и количестве независимых переменных. Логично, что парная регрессия — это когда одна зависимая переменная и одна независимая, в множественной — независимых переменных несколько. В природе имеет место исключительно множественная регрессия, так как нельзя ограничить внешнее влияние на какое-то явление строго одним фактором. Рассмотрим оба вида регрессий детальнее.

Парная регрессия

Парная (её ещё называют двухфакторной) модель проста в использовании, так как у нас всего две переменные: эндогенная и экзогенная, а значит будет просто решить уравнение и провести анализ. А это значит, что и применять на практике такую модель очень легко.

Множественная регрессия

Множественная (многофакторная) модель намного сложнее, так как мы имеем уравнение с большим количеством переменных, для решения которого существуют определённые математические способы (метод наименьших квадратов например).

Итоги

Немного разобравшись в этой теме, приходишь к выводу, что регрессия очень необходимое понятие, помогающее предугадать поведение многих явлений. Его используют в экономике, психологии, химии, биологии, метеорологии и во многих других науках, причём существует множество программ, которые проводят все необходимые расчёты автоматически и сами выводят результаты и графики для анализа. Пользователю остаётся только считать результаты и правильно расшифровать их. А уж найти им применение вообще не проблема. Поэтому, я считаю, что необходимо иметь хотя бы малейшее понятие о том, что же такое эта пресловутая регрессия и где её использовать.

Видео про линейную регрессию и корреляцию: