Уравнение нелинейной регрессии
Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Уравнение множественной регрессии
Виды нелинейной регрессии
Вид | Класс нелинейных моделей |
| Нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам |
| Нелинейные по оцениваемым параметрам |
Здесь ε — случайная ошибка (отклонение, возмущение), отражающая влияние всех неучтенных факторов.
Уравнению регрессии первого порядка — это уравнение парной линейной регрессии.
Уравнение регрессии второго порядка это полиномальное уравнение регрессии второго порядка: y = a + bx + cx 2 .
Уравнение регрессии третьего порядка соответственно полиномальное уравнение регрессии третьего порядка: y = a + bx + cx 2 + dx 3 .
Чтобы привести нелинейные зависимости к линейной используют методы линеаризации (см. метод выравнивания):
- Замена переменных.
- Логарифмирование обеих частей уравнения.
- Комбинированный.
y = f(x) | Преобразование | Метод линеаризации |
y = b x a | Y = ln(y); X = ln(x) | Логарифмирование |
y = b e ax | Y = ln(y); X = x | Комбинированный |
y = 1/(ax+b) | Y = 1/y; X = x | Замена переменных |
y = x/(ax+b) | Y = x/y; X = x | Замена переменных. Пример |
y = aln(x)+b | Y = y; X = ln(x) | Комбинированный |
y = a + bx + cx 2 | x1 = x; x2 = x 2 | Замена переменных |
y = a + bx + cx 2 + dx 3 | x1 = x; x2 = x 2 ; x3 = x 3 | Замена переменных |
y = a + b/x | x1 = 1/x | Замена переменных |
y = a + sqrt(x)b | x1 = sqrt(x) | Замена переменных |
Пример . По данным, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:
- Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
- Рассчитать параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.
- Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
- Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
- Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
- Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование.
- Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 15% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α=0,05 .
- Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.
Год | Фактическое конечное потребление домашних хозяйств (в текущих ценах), млрд. руб. (1995 г. — трлн. руб.), y | Среднедушевые денежные доходы населения (в месяц), руб. (1995 г. — тыс. руб.), х |
1995 | 872 | 515,9 |
2000 | 3813 | 2281,1 |
2001 | 5014 | 3062 |
2002 | 6400 | 3947,2 |
2003 | 7708 | 5170,4 |
2004 | 9848 | 6410,3 |
2005 | 12455 | 8111,9 |
2006 | 15284 | 10196 |
2007 | 18928 | 12602,7 |
2008 | 23695 | 14940,6 |
2009 | 25151 | 16856,9 |
Решение. В калькуляторе последовательно выбираем виды нелинейной регрессии. Получим таблицу следующего вида.
Экспоненциальное уравнение регрессии имеет вид y = a e bx
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + bx
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.000162, a = 7.8132
Уравнение регрессии: y = e 7.81321500 e 0.000162x = 2473.06858e 0.000162x
Степенное уравнение регрессии имеет вид y = a x b
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + b ln(x)
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.9626, a = 0.7714
Уравнение регрессии: y = e 0.77143204 x 0.9626 = 2.16286x 0.9626
Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид y = b/x + a + ε
После линеаризации получим: y=bx + a
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 21089190.1984, a = 4585.5706
Эмпирическое уравнение регрессии: y = 21089190.1984 / x + 4585.5706
Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = b ln(x) + a + ε
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 7142.4505, a = -49694.9535
Уравнение регрессии: y = 7142.4505 ln(x) — 49694.9535
Нелинейные модели регрессии
#Нелинейным является уравнение регрессии нелинейное относительно входящих в него …
#Если спецификация модели нелинейное уравнение регрессии, то нелинейной является функция…
+
—
—
—
#Нелинейным не является уравнение …
+
—
—
—
#Нелинейным является уравнение …
+
—
—
—
#Нелинейное уравнение регрессии означает нелинейную форму зависимости между …
+результатом и факторами
-фактором и результатами
-результатом и параметрами
-фактором и случайной величиной
#Если спецификация модели отображает нелинейную форму зависимости между экономическими показателями, то нелинейно уравнение …
#Уравнение регрессии характеризует ______ зависимость
#Спецификация модели нелинейная парная регрессия подразумевает нелинейную зависимость и …
-пару независимых переменных
-пару зависимых переменных
-пару существенных переменных
#Нелинейным называется уравнение регрессии, если …
+независимые переменные входят в уравнение нелинейным образом
-параметры входят нелинейным образом, а переменные линейны
-зависимые переменные входят в уравнение нелинейным образом
-параметры и зависимые переменные входят в уравнение нелинейным образом
#В нелинейной модели парной регрессии функция является …
#Экспоненциальным не является уравнение регрессии …
+
—
—
—
#Примером нелинейной зависимости экономических показателей является …
+классическая гиперболическая зависимость спроса от цены
-линейная зависимость выручки от величины оборотных средств
-зависимость объема продаж от недели реализации
-линейная зависимость затрат на производство от объема выпуска продукции
#При выборе спецификации нелинейная регрессия используется, если …
+между экономическими показателями обнаруживается нелинейная зависимость
-между экономическими показателями не обнаруживается нелинейная зависимость
-нелинейная зависимость для исследуемых экономических показателей является несущественной
-между экономическими показателями обнаруживается линейная зависимость
#Было замечено, что при увеличении количества вносимых удобрений урожайность также возрастает, однако, по достижении определенного значения фактора моделируемый показатель начинает убывать. Для исследования данной зависимости можно использовать спецификацию уравнения регрессии …
+
—
—
—
#Известно, что с увеличением объема производства себестоимость единицы продукции уменьшается за счет того, что происходит перераспределение постоянных издержек. Пусть а – совокупная величина постоянных издержек, а b – величина переменных издержек в расчете на 1 изделие. Тогда зависимость себестоимости единицы продукции от объема производства можно описать с помощью модели …
+
—
—
—
#Если между экономическими показателями существует нелинейная связь, то …
+целесообразно использовать спецификацию нелинейного уравнения регрессии
-необходимо включить в модель другие факторы и использовать линейное уравнение множественной регрессии
-нецелесообразно использовать спецификацию нелинейного уравнения регрессии
-целесообразно использовать линейное уравнение парной регрессии
#Парабола второй степени может быть использована для зависимостей экономических показателей, если
+если для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых показателей: прямая связь изменяется на обратную или обратная на прямую
-если исходные данные не обнаруживают изменения направленности
-если для определенного интервала значений фактора меняется скорость изменений значений результата, то есть возрастает динамика роста или спада
-если характер связи зависит от случайных факторов
#Для моделирования зависимости предложения от цены не может быть использовано уравнение регрессии …
+
—
—
—
#Нелинейную модель зависимостей экономических показателей нельзя привести к линейному виду, если …
+нелинейная модель является внутренне нелинейной
-нелинейная модель является внутренне линейной
-линейная модель является внутренне нелинейной
-линейную модель является внутренне линейной
#Проводится исследование финансовых результатов деятельности предприятий, среди которых обнаруживаются как прибыльные, так и убыточные. Среди ряда факторов, влияющих на прибыль, был выделен доминирующий. При этом нельзя использовать спецификацию …
+
— , (a 0) не может быть описана зависимость …
+выработки ль трудоемкости
-заработной платы от выработки
-выработки от уровня квалификации
-объема предложения от цены
#К линейному уравнению нельзя привести …
+
—
—
—
#Линеаризация подразумевает процедуру …
+приведения нелинейного уравнения к линейному виду
-приведения линейного уравнения к нелинейному виду
-приведения нелинейного уравнения относительно параметров к уравнению, линейному относительно результата
-приведения уравнения множественной регрессии к парной
#Уравнение … может быть линеаризовано при помощи подстановки …
+
—
—
—
#Результатом линеаризации полиномиальных уравнений являются …
+линейные уравнения множественной регрессии
-нелинейные уравнения множественной регрессии
-линейные уравнения парной регрессии
-нелинейные уравнения парной регрессии
#Замена ; подходит для уравнения …
+
—
—
—
#Замена не подходит для уравнения …
+
—
—
—
#Линеаризация не подразумеваетпроцедуру …
+включения в модель дополнительных существенных факторов
-приведения нелинейного уравнения к линейному
#Основной целью линеаризации уравнения регрессии является …
+возможность применения метода наименьших квадратов для оценки параметров
-улучшение качества модели
-повышение существенности связи между рассматриваемыми признаками
-получение новых нелинейных зависимостей
#Для нелинейных уравнений метод наименьших квадратов применяется к …
+преобразованным линеаризованным уравнениям
-не преобразованным линейным уравнениям
#Множественная регрессия не является результатом преобразования уравнения …
+
—
—
—
#К линейному виду нельзя привести …
+нелинейную модель внутренне линейную
-нелинейную модель внутренне нелинейную
-линейную модель внутренне нелинейную
-линейную модель внутренне линейную
#Величина коэффициента эластичности показывает …
+на сколько процентов изменится в среднем результат при изменении фактора на 1%
-во сколько раз измениться в среднем результат при изменении фактора в два раза
-предельно возможное значение результата
-предельно допустимое изменение варьируемого признака
#Спецификацию нелинейного уравнения парной регрессии целесообразно использовать, если значение…
+индекса детерминации, рассчитанного для данной модели достаточно близко к 1
-линейного коэффициента корреляции для исследуемой зависимости близко к 1
-индекса корреляции для исследуемой зависимости близко к 0
-доля остаточной дисперсии результативного признака в его общей дисперсии стремится к 1
#Если значение индекса корреляции для нелинейного уравнения регрессии стремится к 1, следовательно …
+нелинейная связь достаточно тесная
-линейная связь достаточно тесная
-нелинейная связь недостаточно тесная
-нелинейная связь отсутствует
#Оценить статистическую значимость нелинейного уравнения регрессии можно с помощью …
-средней ошибки аппроксимации
-линейного коэффициента корреляции
#Расчет средней ошибки аппроксимации для нелинейных уравнений регрессии связан с расчетом разности между …
+фактическим и теоретическим значениями результативной переменной
-фактическим и теоретическим значениями независимой переменной
-прогнозным и теоретическим значениями результативной переменной
-прогнозным и теоретическим значениями независимой переменной
#Назовите показатель корреляции для нелинейных моделей регрессии.
-линейный коэффициент корреляции
-парный коэффициент линейной корреляции
#Смысл расчета средней ошибки аппроксимации состоит в определении среднего арифметического значения …
+отклонений ε, выраженных в процентах от фактических значений результативного признака
-теоретических значений результативного признака, выраженных в процентах от его фактических значений
! отклонений ε, выраженных в процентах от фактических значений независимой переменной
-теоретических значений результативного признака, выраженных в процентах от его фактических значений признака
#Значение индекса детерминации, рассчитанное для нелинейного уравнения регрессии характеризует …
+долю дисперсии результативного признака, объясненную нелинейной регрессией в общей дисперсии результативного признака
-долю дисперсии результативного признака, объясненную линейной регрессией в общей дисперсии результативного признака
-долю дисперсии результативного признака, необъясненную нелинейной корреляцией в общей дисперсии результативного признака
-долю дисперсии результативного признака, объясненную линейной корреляцией в общей дисперсии результативного признака
#При хорошем качестве модели допустимым значением средней ошибки аппроксимации является …
#Значение индекса корреляции рассчитанное для нелинейного уравнения регрессии характеризует …
+тесноту нелинейной связи
-тесноту линейной связи
-тесноту обратной связи
-тесноту случайной связи
#Величина отклонений фактических значений результативного признака от его теоретических значений представляет собой …
Эконометрика
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ
Кафедра экономико-метематических моделей
Тема 4. Множественная регрессия.
Вопросы
1. Нелинейная регрессия. Нелинейные модели и их линеаризация.
Нелинейная регрессия
При рассмотрении зависимости экономических показателей на основе реальных статистических данных с использованием аппарата теории вероятности и математической статистики можно сделать выводы, что линейные зависимости встречаются не так часто. Линейные зависимости рассматриваются лишь как частный случай для удобства и наглядности рассмотрения протекаемого экономического процесса. Чаще встречаются модели которые отражают экономические процессы в виде нелинейной зависимости.
Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.
Различают два класса нелинейных регрессий:
- регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам: регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
Нелинейные регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным, но линейные по оцениваемым параметрам
Данный класс нелинейных регрессий включает уравнения, в которых зависимая переменная линейно связана с параметрами. Примером могут служить:
полиномы разных степеней
(полином k-й степени)
и равносторонняя гипербола
.
При оценке параметров регрессий нелинейных по объясняющим переменным используется подход, именуемый «замена переменных». Суть его состоит в замене «нелинейных» объясняющих переменных новыми «линейными» переменными и сведение нелинейной регрессии к линейной регрессии. К новой «преобразованной» регрессии может быть применен обычный метод наименьших квадратов (МНК).
Полином любого порядка сводится к линейной регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез.
Среди нелинейной полиноминальной регрессии чаще всего используется парабола второй степени; в отдельных случаях — полином третьего порядка. Ограничение в использовании полиномов более высоких степеней связаны с требованием однородности исследуемой совокупности: чем выше порядок полинома, тем больше изгибов имеет кривая и, соответственно, менее однородна совокупность по результативному признаку.
Равносторонняя гипербола, для оценки параметров которой используется тот же подход «замены переменных» (1/x заменяют на переменную z) хорошо известна в эконометрике.
Она может быть использована, например, для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов и топлива с объемом выпускаемой продукции. Также примером использования равносторонней гиперболы являются кривые Филлипса и Энгеля..
Регрессии нелинейные по оцениваемым параметрам
К данному классу регрессий относятся уравнения, в которых зависимая переменная нелинейно связана с параметрами. Примером таких нелинейных регрессий являются функции:
• степенная — ;
• показательная — ;
• экспоненциальная —
Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью соответствующих преобразований может быть приведена к линейному виду (например, логарифмированием и заменой переменных). Если же нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции и для оценки её параметров используются итеративные процедуры, успешность которых зависит от вида уравнений и особенностей применяемого итеративного подхода.
Примером нелинейной по параметрам регрессии внутренне линейной является степенная функция, которая широко используется в эконометрических исследованиях при изучении спроса от цен: , где у — спрашиваемое количество; х — цена;
Данная модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, т. к. включает параметры а и b неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование данного уравнения по основанию е приводит его к линейному виду . Заменив переменные и параметры, получим линейную регрессию, оценки параметров которой а и b могут быть найдены МНК.
Широкое использование степенной функции связано это с тем, что параметр b в ней имеет четкое экономическое истолкование, т. е. он является коэффициентом эластичности. Это значит, что величина коэффициента b показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1 %.
Коэффициент эластичности можно определять и при наличии других форм связи, но только для степенной функции он представляет собой постоянную величину, равную параметру b.
По семи предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений ( Х, млн. руб. ).
http://poisk-ru.ru/s54893t1.html
http://pandia.ru/text/77/203/77731.php