О разрешимости одного класса нелинейных интегральных уравнений типа Урысона на всей прямой Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Хачатрян Х.А., Сардарян Т.Г.

В настоящей статье исследуется один класс нелинейных интегральных уравнений типа Урысона на всей оси. Рассматриваемые уравнения имеют применение в различных областях математической физики. Предполагается, что нелинейный интегральный оператор типа Гаммерштейна с разностным ядром служит локальной минорантой в смысле М. А. Красносельского для исходного оператора Урысона. Сочетание методов построения инвариантных конусных отрезков для соответствующего нелинейного оператора Урысона с методами теории монотонных операторов и консервативных интегральных уравнений типа свертки при определенных ограничениях на нелинейность позволяет доказать конструктивные теоремы существования однопараметрических семейств положительных решений . Описывается множество параметров и изучается асимптотическое поведение построенных решений в бесконечности. В конце приведены частные примеры указанных уравнений, для которых выполняются все условия сформулированных теорем.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Хачатрян Х.А., Сардарян Т.Г.

On Solvability of One Class of Urysohn Type Nonlinear Integral Equation on the Whole Line

In present work one class of Urysohn type nonlinear integral equation on whole line is studied. Equations observed have applications in various fields of mathematical physics. It is assumed that Hammerstein type nonlinear integral operator with a difference kernel serves local minorant in terms of M. A. Krasnoselskii for the Urysohn initial operator. Combination of construction methods of invariant cone segments for initial Urysohn nonlinear operator with the methods of monotone operator theory and convolution type conservative integral equations in the case of some restrictions on nonlinearity allows us to prove constructive existence theorems about one parametric positive solutions. A set of parameters is described and the behavior of constructed solutions at infinity is examined. At the еnd of the work specific examples are given for which conditions of formulated theorems are satisfied.

Текст научной работы на тему «О разрешимости одного класса нелинейных интегральных уравнений типа Урысона на всей прямой»

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА УРЫСОНА НА ВСЕЙ ПРЯМОЙ

Х. А. Хачатрян1, Т. Г. Сардарян2

1 Хачатрян Хачатур Агавардович, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник отдела методов математической физики, Институт математики НАН Армении, Республика Армения, 0019, Ереван, просп. Маршала Баграмяна, 24/5, Khach82@rambler.ru, Khach82@mail.ru 2Сардарян Тигран Грачяевич, кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры высшей математики и теоретической механики, Национальный аграрный университет Армении, Республика Армения, 0009, Ереван, Теряна, 73, Sardaryan.tigran@gmail.com

В настоящей статье исследуется один класс нелинейных интегральных уравнений типа Урысона на всей оси. Рассматриваемые уравнения имеют применение в различных областях математической физики. Предполагается, что нелинейный интегральный оператор типа Гаммерштейна с разностным ядром служит локальной минорантой в смысле М. А. Красносельского для исходного оператора Урысона. Сочетание методов построения инвариантных конусных отрезков для соответствующего нелинейного оператора Урысона с методами теории монотонных операторов и консервативных интегральных уравнений типа свертки при определенных ограничениях на нелинейность позволяет доказать конструктивные теоремы существования однопараметрических семейств положительных решений. Описывается множество параметров и изучается асимптотическое поведение построенных решений в бесконечности. В конце приведены частные примеры указанных уравнений, для которых выполняются все условия сформулированных теорем.

Ключевые слова: интегральное уравнение Урысона, монотонность, последовательные приближения, однопараметрическое семейство положительных решений, условие Каратеодори, множество параметров.

Нелинейные интегральные уравнения вида

р(х) = J и(х,г,(р(г))М, х е к. = (-ж, +ж), (0.1)

возникают в современном естествознании, в частности, в кинетической теории газов, в биологии, в теории переноса излучения в спектральных линиях, в р-адической математической физике 2. В уравнении (0.1) р(х) — искомая измеримая функция. Уравнение Урысона вида

f (ж) = д(х) + J и(х,£,/(1))йг, ж е (а,Ь), -ж );

2б) и(ж,£, у) обладает непрерывной производной иу(ж,£,у) относительно у, причем эта непрерывность является равномерной по отношении к ж и £;

2в) и^(ж,£,у) положительна и убывает с возрастанием у, при этом если ух 0 и неотрицательная функция

K: K е Li(r), v(K) = f xK(x) dx K(x — t)z, (x,t,z) е r+ x r+ x [0,п];

2) при всяком фиксированном (x,t) е r+ x r+, функция U(x,t,z) монотонно не убывает по z на [0,п];

3) удовлетворяет условию Каратеодори по аргументу z на r+ x r+ x [0,п];

4) f U(x, t, п) dt 0, ж е к, (1.8)

д е (к-) П М(к) при и> 0, (1.9)

д е (к+) П М(к) при V 0), (1.11)

у ф(г) (И = о(ж) при ж ^ +ж (V 0 такое, что ш(г, г) > 0 при г е к, г > А;

б) функция ш(г, г) удовлетворяет условию Каратеодори по аргументу г на множестве (Я х [А, +ж)): ш е Оатг(Я х [А, +ж)), т.е. при всяком г е [А, +ж) ш(г, г) измерима по г на к и почти при всех г е к функция ш(г, г) непрерывна по г на [А, +ж);

supш(t,z) = в(t), причем в е Li(r) П M(r); (1.14)

г) при каждом фиксированном t е r функция z) неубывает по z на [A,

Для уравнения (1.13) введем в рассмотрение следующее семейство последовательных приближений:

F+1 (x) = [ K(x — t)(Fj(t)+ ш(t, Fj(t)))dt, x е r,

(ж) = 7, 7 е [А, +гс>) — произвольное число, п = 0,1,2. . Индукцией по п можно убедиться, что

д) ^(ж) неубывает по п при каждом фиксированном 7 е [А, +гс>);

е) если 71, 72 е [А, +гс>) — произвольные числа и 71 >72, то

^ (ж) — (ж) > 71 — 72, п = 0,1, 2. ж е е. (1.16)

Докажем, например, неравенство (1.16). В случае п = 0 неравенство (1.16) превращается в равенство (см. (1.15)). Пусть (1.16) имеет место при некотором п е n. Тогда, используя монотонность функции 2) по £ (см. условие г), неотрицательность ядра К и индукционное предположение из (1.15) будем иметь

> (71 — 72) I К (ж — £) ^ +у К (ж — ¿Ж^1 (£)) — ^(Ж2 (£))) ^ >

> (71 — 72) / К= 71 — 72,

Теперь рассмотрим линейное интегральное уравнение (1.4) со специальным свободным членом вида

д(ж) = У К (ж — £)в (£) ж е е. (1.17)

Так как ^(£,2) > 0, £ е е, 2 е [А, +гс>), и ядро К удовлетворяет условию (1.5), то из (1.17) следует (1.8).

Поскольку К, в е Ь1(е) П М(е), то из результатов работы [11] следует, что д е (е) П М(е), причем Пшж^±ж д(ж) = 0. Следовательно, введенная нами функция д(ж) удовлетворяет всем требованиям (1.8)-(1.10). Таким образом, используя вышесказанное, можно утверждать, что уравнение (1.4) со свободным членом (1.17)

обладает неотрицательным решением ф(х), причем имеют место асимптотические формулы (1.11) и (1.12).

Теперь докажем, что для любого Y е [А,

(х) 71 — y2, x е r, (1.19)

а из д) и (1.18) получим:

Y 0. Тогда, используя формулу (1.11), из (1.20) можно утверждать, что

Аналогичным образом, если v 0, то справедлива асимптотическая формула (1.21);

2) если v 0 такое, что

1) U(x, t, y) > K(x — t)(y + ^(t, y)), (x, t, y) G r x r x [A, где удовлетворяет условиям (1.5)—(1.7);

2) U (x, t, y) не убывает по y на [A, +rc>) при каждом фиксированном

3) U G Cary(r x r x [A, +rc>)) и для каждой измеримой и ограниченной функ-

ции ^(x) : ^(x) > A, x G r, функции U(x,t, ^(t)) и f U(x,t,^(t))dt измеримы

соответственно по t и по x на r;

4) существует sup / [U (x,t,y) — K (x — t)y] dt = g0(x), x G r, go G L°(r) П Lœ (r), и V(g0) ). Более того, имеют место следующие асимптотические формулы:

A) если v(K) 0,то/ ^(x) dx = Yx + o(x) при x ^ —œ.

Доказательство. Сначала рассмотрим следующее неоднородное уравнение Винера — Хопфа:

^ *(ж) = до(ж)^У К (ж — *(£) (2.23)

где д0(ж) определяется из условия 4) теоремы 2. Используя результаты работ [1315] получаем, что уравнение (2.23) имеет положительное локально суммируемое и ограниченное решение.

Введем следующие итерации:

Й+1(ж) = У и (ж, £, ^ (£)) ж е е, (2.24)

^о(ж) = (ж), п = 0,1, 2. 7 е П, (2.25)

где (ж) — решение уравнения (1.13). Индукцией по п убедимся, что

а) функции (ж) измеримы по ж на е, п = 0,1,2. 7 е П;

б) при каждом фиксированном 7 е П (ж) неубывает по п на е;

в) имеет место следующее неравенство:

^ (ж) у к(х — г)(Р7(г) + ш(г,Р^(г))) (г =

= [ к(х — г)Р7(г) (г + [ к(х — г)ш(г,Р7(г)) (г = р7(х) = ^(х).

Предполагая, что ф7(х) ^ ф7—1 (х) при некотором п е n в силу монотонности функции и(х,г,у) по у, получим (х) > ф7(х).

Теперь докажем неравенство в). Заметим, что при п = 0 неравенство в) очевидно, так как Р* (х) ^ 0, х е е. Пусть в) выполняется при некотором п е n. Тогда, учитывая условия 2), 4) теоремы, будем иметь:

ф7+1 (х) 0 ), то получим

3. ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВИДА (0.1)

Приведем примеры нелинейных уравнений вида (0.1), для которых выполняются все условия теоремы 2.

Пусть G(t,y) — определенная на r x r вещественная функция, причем имеет место следующие условия:

1) G(t,y) > y, (t,y) G r x [A, +œ);

2) G(t, y) неубывает по y на [A, +œ);

3) G G Cary(r x [A, +œ));

4) sup(G(t,y) — y) G Li(r) П Lœ(r), i t(sup(G(t,y) — y))dt Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Серия Математика. Механика. Информатика

Рубрики

Для цитирования:

Хачатрян Х. А., Сардарян Т. Г. О разрешимости одного класса нелинейных интегральных уравнений типа Урысона на всей прямой // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 1. С. 40-50. DOI: 10.18500/1816-9791-2017-17-1-40-50

XML для сайта doaj.org

О разрешимости одного класса нелинейных интегральных уравнений типа Урысона на всей прямой

В настоящей статье исследуется один класс нелинейных интегральных уравнений типа Урысона на всей оси. Рассматриваемые уравнения имеют применение в различных областях математической физики. Предполагается, что нелинейный интегральный оператор типа Гаммерштейна с разностным ядром служит локальной минорантой в смысле М. А. Красносельского для исходного оператора Урысона. Сочетание методов построения инвариантных конусных отрезков для соответствующего нелинейного оператора Урысона с методами теории монотонных операторов и консервативных ин- тегральных уравнений типа свертки при определенных ограничениях на нелинейность позволяет доказать конструктивные теоремы существования однопараметрических семейств положительных решений. Описывается множество параметров и изучается асимптотическое поведение построенных решений в бесконечности. В конце приведены частные примеры указанных уравнений, для которых выполняются все условия сформулированных теорем.

РАЗРАБОТКА СТРУКТУРНЫХ БЛОК-СХЕМ

Расчетные формулы с использованием билинейных сплайнов. Оценка погрешности вычислений

Как уже упоминалось выше, в формулах (9)-(11) необходимо аппроксимировать функции двух переменных 1 ( x,y ) и 2 ( x,y ). Применим для этого аппарат билинейных сплайн-функций. Воспользуемся представлением этих функций через сплайны первой степени двух переменных [12]. Тогда приближенные значения , можно записать в виде

где введены следующие обозначения

из выражений (10), (11) получаем расчетные формулы вида

Полученные выражения (71) позволяют вычислять приближенные значения искомой функции в узлах сетки . Погрешность вычисления функции можно оценить следующим образом:

Таким образом, достаточно иметь оценку погрешности приближения функций и сплайнами и соответственно. Предыдущая цепочка неравенств получена в предположении, что , . Хорошо известно [4], что если , то

Следовательно, окончательно имеем

Расчетные формулы с использованием интерполяционных кубических сплайнов

В ряде экспериментальных ситуаций, когда шаги сетки фиксированы, погрешность вычисления функции по формулам (71) порядка оказывается неприемлемо высокой. Для получения расчетных формул с погрешностью вычислений четвертого порядка относительно шагов сетки используем интерполяционные кубические сплайны.

Исходя из того, что в формулах (10) фигурируют одномерные интегралы, введем в рассмотрение одномерные интерполяционные кубические сплайны следующим образом [4]:

т.е. для каждого фиксированного значения на сетке строится кубический сплайн , а при — сплайн , удовлетворяющие условиям

Для определения были использованы краевые условия (75),(78) типа I. Введем обозначения:

Раскрывая условия (73)-(78), получим M + 1 систему линейных уравнений с трехдиагональными матрицами:

При этом учитывались конструкции

Решения систем (79), (80) относительно , находятся методом прогонки. Учитывая, что

получаем расчетные формулы вида:

; . Погрешность вычисления оцениваем следующим образом. Из [12] известно, что если , то

Отсюда следует, что

Расчетные формулы с использованием кубической

сплайн-аппроксимации

Применение интерполяционных кубических сплайнов позволяет получить расчетные формулы с погрешностью . Однако повышение точностimgи вычислений при этом в сравнении с формулами билинейной сплайн-интерполяции ведет к существенному увеличению времени вычисления искомой функции в узлах сетки, поскольку возникает необходимость решения систем линейных алгебраических уравнений (79),(80) относительно , . Компромиссным вариантом между билинейной сплайн-интерполяцией с погрешностью вычислений и малым временем вычислений и кубической сплайн-интерполяцией с погрешностью порядка и большим временем вычислений может служить способ, основанный на аппроксимации функций локальными кубическими сплайнами минимального дефекта (см.[12, 13, 2, 3]). При таком подходе отпадает необходимость решения систем линейных алгебраических уравнений и сохраняется четвертый относительно h порядок погрешности вычислений, хотя константы, определяющие величину погрешности,увеличиваются в 2-3 раза. Так, например, если функция приближается кубическим интерполяционным сплайном , то имеет место оценка [12]

Погрешность приближения функции по формулам кубической сплайн-аппроксимации имеет следующий вид (оценка точная на классе функций) (см.[12, 13]):

при условии, что . Приступая к получению расчетных формул, сделаем следующие предположения относительно сетки . Будем считать, что сетка накрыта сеткой такой, что , . При этом на каждом из отрезков , , , размещается по три узла сетки. В узлах сетки определены значения функций , .

По аналогии с предыдущим пунктом введем в рассмотрение одномерные локальные аппроксимационные кубические сплайны [12]: при

где — кубические В-сплайны, определяемые на отрезке формулами

Формулы (86) являются точными на кубических многочленах. Выражения для аналогичны формулам (87). Поскольку

то расчетные формулы в соответствии с (10) имеют вид:

Сопоставляя формулы (71), (84) и (88), видим,что выражения (84) и (88) являются уточненными по сравнению с (71). Однако уточнение по (84) достигается за счет решения систем линейных алгебраических уравнений (79), (80) относительно , .

Для вычисления по формулам (88) требуется лишь знание значений функций и в узлах сетки . Можно показать,что погрешность вычисления по формулам (88) имеет порядок , если , .

Разработанные алгоритмы моделирования с использованием математического аппарата сплайн-функций вне всякого сомнения являются мощным средством для решения широкого круга исследовательских задач биологии, медицины и экологии.

Литература

1. Поляков Р.В. Решение интегральных уравнений Фредгольма второго рода сплайн-кубатурным методом в сочетании с итерациями.- Киев, 1987.- 30 с. (Препр. /АН УССР. Ин-т физики.- ¦ 24).
2. Корнейчук Н.П. О приближении локальными сплайнами минимального дефекта // Укр. матем. журнал.- 1982.- 34.- ¦ 5.- С. 617-621.
3. Lyche T., Schumaker L. Local spline approximation methods // Journ. Approx. Theory.- 1975.- 15, ¦ 4.- P. 294-324.
4. Поляков Р.В. О приближенном решении уравнений типа Урысона итерационным сплайн-кубатурным методом. В кн.: ТеорЁя наближення та задачЁ обчислювально© математики.- Днепропетровск: Изд-во ДГУ, 1993.- Тези доповЁдей мЁжнародно© конференцЁ©.- С.148.
5. Поляков Р.В. О решении уравнений типа Урысона с частными интегралами итерационным сплайн-кубатурным методом. В кн.: Питання оптимЁзацЁ© обчислень.- Ки©в, 1993.- ¦н-т кЁбернетики Ём. В.М.Глушкова АН Укра©ни.- Тези доповЁдей.- С. 133.
6. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений.- М.: ГИТТЛ, 1956.- 392 с.
7. Волков Е.А. Численные методы.- М.: Наука, 1982.- 256 с.
8. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного.- М.: Физматгиз, 1960.- 624 с.
9. Тивончук В.И. Решение линейных интегральных уравнений Вольтерра методом осреднения функциональных поправок в сочетании со сплайнами // Укр. мат. журн.- 1980.- 32, ¦ 3.- С. 415-422.
10. Тивончук В.И. О сплайн-итерационном методе решения систем нелинейных интегральных уравнений с постоянными пределами // Мат. физика и нелинейн. механика.- Киев, 1990.- Вып.13 (47).- С. 25-31.
11. Тивончук В.И. О сплайн-итерационном методе решения нелинейных интегральных уравнений Вольтерра. В кн.: Методы сплайн-функций (Вычислительные системы, вып.93).- Новосибирск, 1982.- С. 73-82.
12. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций.- М.: Наука, 1980.- 352 с.
13. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения.- М.: Наука, 1984.- 352 с.
14. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения.- М.: Мир, 1972.- 320 с.
15. Бердышев В.И., Субботин Ю.Н. Численные методы приближения функций.- Свердловск: Средне-Уральское книж. изд-во, 1979.- 120 с.

SOLUTION OF A CLASS OF URGENT PROBLEMS OF MEDICO-BIOLOGICAL AND ECOLOGICAL SIMULATION BY COMPUTATIONAL PHYSICS METHODS USING SPLINE-FUNCTIONS. PART IV

P. V. POLYAKOV, V. N. STARKOV, V. I. TIVONCHUK, A. A.YASHIN

Developed algorithms for a simulation using a mathematical body of spline functions is an efective means for a solution of a wide scope of research problems in biolody, medicine and ecology.

Поляков Рудольф Валентинович, 1938 года рождения. В 1961 г. окончил механико-математический факультет Днепропетровского госуниверситета, где до 1964 г. был на преподавательской работе. С ноября 1964 г. — аспирант Института математики АН УССР. Диссертацию защитил по математике приближения функций комплексного переменного. С 1975 г. работает в Институте физики национальной АН Украины (бывший ИФ АН УССР), кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела теоретической физики. Автор 62 опубликованных научных работ. Область научных интересов: теория приближения функций, приближенные методы решения интегральных уравнений с использованием сплайн-функций, разработка методов вычислительной физики и их применение к исследованию нелинейных процессов в физических, экологических и биологических системах.

Старков Вячеслав Николаевич, 1941 года рождения. Образование получил в Самарском аэрокосмическом университете (КуАИ), Санкт-Петербургском госуниверситете (ЛГУ) и аспирантуре Института математики НАН Украины.

Кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела теоретической физики Института физики НАН Украины. Автор более 60 опубликованных научных работ. В 1986 г. участвовал в ликвидации аварии на ЧАЭС. Область научных интересов: дифференциальные и интегральные уравнения, сплайн-аппроксимация, вычислительная физика, динамическая голография, нелинейная оптика, физика плазмы, биофизика, экология, нейроинформатика.

Тивончук Василий Иванович, 1932 года рождения. В 1954 г. окончил физико-математический факультет Кременецкого (в наст. время Тернопольского) пединститута. С ноября 1961 г. обучался в аспирантуре Института математики АН УССР, диссертацию защитил по приближенным методам решения интегральных уравнений. С 1975 г. работает в Институте физики национальной АН Украины (бывший ИФ АН УССР), кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела теоретической физики. Автор свыше 70 опубликованных научных работ. Область научных интересов: дифференциальные и интегральные методы высшего анализа и вычислительной физики и их применение к исследованию нелинейных процессов в физических, экологических и биологических системах.