Реферат: Методы исследования нелинейных систем
Название: Методы исследования нелинейных систем Раздел: Рефераты по коммуникации и связи Тип: реферат Добавлен 12:55:57 30 августа 2009 Похожие работы Просмотров: 1435 Комментариев: 23 Оценило: 3 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим свободное движение системы. Приэтом: U(t)=0, e(t)=– x(t)
В общем виде дифференциальное уравнение имеет вид
где (1)
Это однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка его характеристическое уравнение равно
. (2)
Корни характеристического уравнения определяются из соотношений
(3)
Представим дифференциальное уравнение 2-го порядка в виде системы
уравнений 1-го порядка:
(4)
где скорость изменения регулируемой величины.
В рассматриваемой линейной системе переменные x и y представляют собой фазовые координаты. Фазовый портрет строим в пространстве координат x и y, т.е. на фазовой плоскости.
Если исключим время из уравнения (1), то получим уравнение интегральных кривых или фазовых траекторий.
. (5)
Это уравнение с разделяющимися переменными
. (6)
Рассмотрим несколько случаев
1. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид
(т.е. ). (7)
При этом переходной процесс описывается уравнениями
т.е. представляет собой незатухающие колебания с постоянной амплитудой А и начальной фазой – j.
На фазовой плоскости (рис. 4) эти уравнения представляют собой параметрические уравнения эллипса с полуосями А и wA (где A – постоянная интегрирования).
Уравнение эллипса можно получить решением уравнения фазовых траекторий
(9)
Состояние равновесия определяется из условия
,
Особая точка называется «центр» и соответствует устойчивому равновесию, так как фазовые траектории от нее не удаляются.
2. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид
(10)
При этом переходной процесс описывается уравнениями:
Из уравнения фазовых траекторий получим уравнение
Это уравнение семейства гипербол при изменении A (рис 5).
Особая точка называется «седло». Уравнения асимптот (сепаратрис) при А = 0 имеют вид:
3. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид
(11)
Фазовая траектория имеет вид сворачивающейся спирали (рис. 6), а точка равновесия называется «устойчивый фокус».
4. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид
(12)
Переходный процесс представляет собой расходящиеся колебания, фазовая траектория – разворачивающаяся спираль. Особая точка называется «неустойчивый фокус» (рис. 7).
5. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид
(13)
Переходный процесс имеет апериодический характер. Особая точка называется «устойчивый узел» (рис. 8).
6. Пусть корни характеристического уравнения (3) имеют вид
(14)
Особая точка называется «неустойчивый узел» (рис. 9).
4. Методы построения фазовых портретов
Для построения фазовых портретов можно использовать различные методы: метод дифференциальных уравнений, метод изоклин, и др.
Метод дифференциальных уравнений . Сущность метода заключается в том, что по дифференциальным уравнениям отдельных участков нелинейного элемента строят соответствующие фазовые портреты на плоскости.
Метод изоклин – это метод линий постоянного наклона.
Пусть даны уравнения нелинейной системы:
(15)
где: – произвольные функции.
Чтобы получить фазовый портрет исключим время:
. (16)
Пусть , при этом – это уравнение линии в плоскости (x 0 y). Каждому значению константы с соответствует некоторая линия, обладающая следующим свойством: в каждой точке линии , т.е. если фазовая траектория пересекает изоклину, то она имеет постоянный наклон рис. 10.
Если провести достаточное число таких линий с соответствующими наклонами, то можно построить фазовый портрет системы. При этом точность зависит от числа изоклин. Направление движения определяется по правилу: если производная , x >0, то движение такое, что x возрастает.
5. Построение фазового портрета нелинейной системы
Рассмотрим релейную следящую систему, схема которой приведена на рис. 11.
+
x1 НЭ У Uпит Д ТГ P U0
—
x
Если a¹b на вход НЭ с релейной характеристикой (рис. 12) подается сигнал При этом: b – угол поворота задающей оси; a – угол поворота отрабатывающего потенциометра.
z
Вследствие этого на двигатель подается напряжение ±, двигатель вращается в определенном направлении в соответствии с полярностью подаваемого напряжения до тех пор, пока оно не станет равным нулю.
Для улучшения качества переходного процесса в систему может быть включена отрицательная обратная связь по скорости двигателя с помощью тахогенератора (ТГ).
Запишем уравнения элементов системы. Для двигателя постоянного тока с независимым возбуждением
(17)
Так как поток возбуждения = const, то . Допустим, момент нагрузки мал, при этом =0.
Передаточную функцию для якорной цепи K1 (p) можно получить из ее дифференциального уравнения
(18)
Пусть
Для редуктора и угла поворота вала двигателя
(19)
. (20)
На основании функциональной схемы и полученных передаточных функций элементов системы составляем структурную схему рис. 13
Для построения фазового портрета необходимо записать систему дифференциальных уравнений.
Рассмотрим свободное движение системы (b=0) при этом x = a.
Дифференциальное уравнение нелинейной системы имеет вид
(21)
Представим уравнение в виде системы уравнений:
(22)
Построим фазовый портрет. Для простоты построения фазового портрета делаем некоторые упрощения:
1) Пусть обратная связь по скорости – отсутствует (К = 0).
2) Характеристика нелинейного элемента однозначна (рис. 14).
(23)
С учетом принятых допущений система уравнений упрощается.
(24)
Построим характеристику для каждой зоны.
Пусть – a £ x £ a, ¦(x) = 0.
При этом исходная система имеет вид:
(25)
Решение этого уравнения имеет вид , т.е. наклон фазовых траекторий всюду постоянный (отрицательный).
Определим равновесное состояние системы из условия:
(26)
Это условие выполняется при y = 0, т.е. точка вырождается в прямую линию y = 0 на интервале [– а, а]. Фазовые траектории на участке – а a, . При этом исходная система нелинейных уравнений имеет вид
(27)
где ci — семейство изоклин, которое представляет собой прямые параллельные оси х, т.е. , где определяется из выражения для
. (28)
. (29)
Задаваясь значениями , строим семейство изоклин. Определяем углы пересечения изоклин фазовыми траекториями.
Так как . Например, если , то a = 90°.
Пусть х 2 не применяется.
Рассмотрим несколько примеров построения фазовых портретов нелинейных систем управления
Пример 1. Пусть задана система, состоящая из линейной части и нелинейного элемента (усилитель с ограничением по модулю) (рис. 19). Это кусочно-линейная система, так как на отдельных участках она ведет себя как линейная (в области) – а, +а[). Допустим в области (] – а, +а[) коэффициент усиления большой и система неустойчива а фазовый портрет характеризуется особой точкой «неустойчивый фокус». За пределами области коэффициент усиления мал, допустим, что при этом система устойчива и характеризуется особой точкой – «устойчивый фокус».
При больших отклонениях x > |a| общий коэффициент усиления системы мал, система устойчива, процесс затухает.
При малых отклонениях общий коэффициент усиления системы большой – процесс расходится к замкнутой траектории, которая характеризует наличие устойчивых автоколебаний (рис. 20).
В этой системе три типа движений: автоколебания; сходящиеся колебания; расходящиеся колебания
Пример 2. Пусть задана система с характеристикой нелинейного звена типа «зона нечувствительности» (рис. 21). Необходимо построить фазовый
портрет данной системы, определить наличие предельных циклов и проанализировать их устойчивость.
Пусть в области [-b, +b] система устойчива, при этом коэффициент усиления – К мал, переходный процесс затухает, особая точка «устойчивый фокус» вне области К – большой, переходный процесс расходится (рис. 22). Эта система имеет неустойчивый предельный цикл, т.е. автоколебания неустойчивы.
Для более сложных нелинейных элементов может быть несколько предельных циклов.
Пример Для заданной системы (рис. 23) построить примерный фазовый портрет.
Решение: Исходную схему можно представить в виде (рис. 24).
Построим фазовый портрет
1) При – a +a f(x) = x – a, а система уравнений имеет вид
Для каждого сi определимугловой коэффициент наклона изоклины – к по формуле и угол пересечения фазовой траекторией изоклины по формуле a = arctg c, результаты приведены в таблицах 1 и 2.
Таблица 1
Сi | 0 | 1 | 2 | 3 | -1/2 | -2 | -3 | ¥ |
k | -1 | -1/2 | -1/3 | -1/4 | -2 | 1 | 1/2 | 0 |
Таблица 2
Ci | 0 | ±1 | ±1 | ±1 | ±1 | ±¥ |
a | 0 | ±45 0 | ±63 0 | ±71 0 | ±80 0 | ±90 0 |
3) При x +1 f(x) = 1, а система уравнений имеет вид
Для каждого сi определимугловой коэффициент наклона изоклины – к по формуле и угол пересечения фазовой траекторией изоклины по формуле a = arctg c.