1. Решение нелинейных уравнений в MS Excel
1.1 Отделение корней
В общем виде любое уравнение одной переменной принято записывать так , при этом корнем (решением) называется такое значение x *, что оказывается верным тождеством. Уравнение может иметь один, несколько (включая бесконечное число) или ни одного корня. Как легко видеть, для действительных корней задача отыскания решения уравнения легко интерпретируется графически: корень есть такое значение независимой переменной, при котором происходит пересечение графика функции, стоящей в левой части уравнения f ( x ) , с осью абсцисс.
Например , для уравнения выполним преобразование и приведем его к виду f ( x )= 0 т.е. . График этой функции представлен на рисунке 1. Очевидно, что данное уравнение имеет два действительных корня – один на отрезке [-1, 0] , а второй – [1, 2].
Рисунок 1. График функции
1.2 Решение уравнений, используя инструмент “Подбор параметра”
Используя возможности Excel , можно находить корни нелинейного уравнения вида f ( x )=0 в допустимой области определения переменной. Последовательность операций нахождения корней следующая:
1. Производится вычисление значений функции в диапазоне вероятного существования корней от значений аргумента, изменяющегося с определенным шагом;
2. В таблице выделяются ближайшие приближения к значениям корней (пары соседних значений функции с разными знаками);
3. Используя средство Excel Подбор параметра, вычисляются корни уравнения.
2. Работа с матрицами в MS Excel . Решение систем уравнений.
Нахождение определителя матрицы
Перед нахождением определителя необходимо ввести матрицу в диапазон ячеек Excel в виде таблицы.
Для нахождения определителя матрицы в Excel необходимо:
· сделать активной ячейку, в которой в последующем будет записан результат;
· в меню Вставка – Функция в категории Математические выбрать функцию МОПРЕД и нажать OK ;
· на втором шаге задать диапазон ячеек, в котором содержатся элементы матрицы, и нажать OK .
Нахождение обратной матрицы
Для нахождения обратной матрицы необходимо
· выделить диапазон ячеек, в которых в последующем будут записаны элементы матрицы ( количество строк и количество столбцов должны равняться соответствующим параметрам исходной матрицы).
· в меню Вставка – Функция в категории Математические выбрать функцию МОБР и нажать OK ;
· на втором шаге задать диапазон ячеек, в котором содержатся элементы исходной матрицы, и нажать OK .
· после появления значения в левом верхнем углу выделенного диапазона последовательно нажать клавишу F 2 и комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter .
Для перемножения матриц необходимо
· выделить диапазон ячеек, в которых в последующем будут записаны элементы результирующей матрицы.
· в меню Вставка – Функция в категории Математические выбрать функцию МУМНОЖ и нажать OK ;
· на втором шаге задать два диапазона ячеек с элементами перемножаемых матриц, и нажать OK .
· после появления значения в левом верхнем углу выделенного диапазона последовательно нажать клавишу F 2 и комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter .
Решение системы уравнений в Excel .
Решение системы уравнений при помощи нахождения обратной матрицы.
Пусть дана линейная система уравнений.
Данную систему уравнений можно представить в матричной форме:
Матрица неизвестных вычисляется по формуле
где A -1 – обратная матрица по отношению к A .
Для вычисления уравнения в Excel необходимо:
· ввести матрицу A;
· ввести матрицу B;
· вычислить обратную матрицу по отношению к А ;
· перемножить полученную обратную матрицу с матрицей B .
Порядок выполнения работы
Задание 1
Найти все корни уравнения 2x 3 -15sin( x )+0,5x-5=0 на отрезке [-3 ; 3].
1. Построить таблицу значений функции f ( x ) для значений x от –3 до 3, шаг 0,2.
Для этого ввести первые два значения переменной x , выделить эти две ячейки, с помощью маркера автозаполнения размножить значения до 3.
Затем ввести формулу для вычисления f ( x ). Скопировать формулу с использованием маркера автозаполнения на весь столбец.
Из полученной таблицы находим, что значение функции трижды меняет знак, следовательно, исходное уравнение имеет на заданном отрезке три корня.
2. Выделить цветом пары значений x и f ( x ), где f ( x ) меняет знак (см .р исунок 2).
3. Построить график функции f ( x ).
Рисунок 2. Поиск приближенных значений корней уравнения
4. Скопировать рядом с таблицей произвольную пару выделенных значений x и f ( x ) (см .р исунок 3).
5. Выполнить команду меню Сервис/Подбор параметра. В диалоговом окне (рисунок 3) заполнить следующие поля:
þ Установить в ячейке : в поле указывается адрес ячейки, в которой записана формула правой части функции;
þ Значение : в поле указывается значение, которое должен получить полином в результате вычислений, т.е. правая часть уравнения (в нашем случае 0);
þ Изменяя значение : в поле указывается адрес ячейки (где записано начальное приближение), в которой будет вычисляться корень уравнения и на которую ссылается формула.
Рисунок 3. Диалоговое окно Подбор параметра для поиска первого корня
6. После щелчка на ОК должно получиться значение первого корня -1,65793685 .
7. Выполнить последовательно операции, аналогичные предыдущим, для вычисления значений остальных корней: -0,35913476 и 2,05170101 .
Задание 2
Решить систему уравнений:
1. Ввести значения элементов матриц A и B уравнения в ячейки Excel .
2. Вычислить обратную матрицу с помощью матричной функции МОБР.
3. Перемножить обратную матрицу A -1 на матрицу B с помощью матричной функции МУМНОЖ (Порядок умножения важен – первой должна идти матрица A -1 а второй B .)
4. Проверить правильность полученной матрицы корней X .
Контрольные вопросы
1. Порядок действий для решения нелинейного уравнения с помощью инструмента Подбор параметра MS Excel .
2. Порядок действий для решения системы уравнений матричным методом в MS Excel .
Системы уравнений с двумя переменными и параметрами
п.1. Решение системы линейных уравнений с параметром
Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: \( \left\< \begin
Система имеет одно решение, если главный определитель не равен нулю: $$ \Delta = \begin
Ответ: при всех действительных a, кроме a ≠ ± 1.
п.2. Решение системы нелинейных уравнений с параметром
При решении системы нелинейных уравнений с параметром чаще всего используем графический метод (см. §15 данного справочника).
Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: \( \left\< \begin
\( \mathrm
\( \mathrm
Система имеет одно решение, если прямая является касательной к окружности:
Точка A является решением: x = 1, y = 1.
Подставляем найденное решение в уравнение для окружности: 1 2 + 1 2 = 2 $$ \mathrm> $$
п.3. Примеры
Пример 2. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
\( \left\< \begin
Первое уравнение – квадрат с вершинами (±4; 0),(0; ±4); второе уравнение – окружность переменного радиуса с центром в точке (3; 3).
Единственное решение соответствует радиусу \( \mathrm
При увеличении радиуса будет 2, 3 или 4 точки пересечения. При дальнейшем увеличении окружность становится слишком большой, пересечений с квадратом нет.
Получаем:\( \mathrm<|a+1|=\sqrt<2>\Rightarrow a+1=\pm\sqrt<2>\Rightarrow a_<1,2>=-1\pm\sqrt<2>>. \)
Пример 3. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
\( \left\< \begin
При (a – 1) 2 2 = 4 одно решение.
При (a – 1) 2 > 4 два решения.
Получаем:\( \mathrm <(a-1)^2=4\Rightarrow a-1=\pm 2\Rightarrow>\left[\begin
Системы с нелинейными уравнениями
Нелинейные уравнения с двумя неизвестными |
Системы из двух уравнений, одно из которых линейное |
Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными |
Системы из двух уравнений, одно из которых однородное |
Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное |
Примеры решения систем уравнений других видов |
Нелинейные уравнения с двумя неизвестными
Определение 1 . Пусть A – некоторое множество пар чисел (x ; y) . Говорят, что на множестве A задана числовая функция z от двух переменных x и y , если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A ставится в соответствие некоторое число.
Задание числовой функции z от двух переменных x и y часто обозначают так:
z = f (x , y) , | (1) |
причем в записи (1) числа x и y называют аргументами функции , а число z – значением функции , соответствующим паре аргументов (x ; y) .
Определение 2 . Нелинейным уравнением с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида
f (x , y) = 0 , | (2) |
где f (x , y) – любая функция, отличная от функции
где a , b , c – заданные числа.
Определение 3 . Решением уравнения (2) называют пару чисел (x ; y) , для которых формула (2) является верным равенством.
Пример 1 . Решить уравнение
x 2 – 4xy + 6y 2 – – 12 y +18 = 0 . | (3) |
Решение . Преобразуем левую часть уравнения (3):
Таким образом, уравнение (3) можно переписать в виде
(x – 2y) 2 + 2(y – 3) 2 = 0 . | (4) |
Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x и y удовлетворяют системе уравнений
решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .
Пример 2 . Решить уравнение
sin (xy) = 2 . | (5) |
вытекает, что уравнение (5) решений не имеет.
Ответ : Решений нет.
Пример 3 . Решить уравнение
ln (x – y) = 0 . | (6) |
Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида
где y – любое число.
Системы из двух уравнений, одно из которых линейное
Определение 4 . Решением системы уравнений
называют пару чисел (x ; y) , при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.
Системы из двух уравнений, одно из которых линейное, имеют вид
где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .
Пример 4 . Решить систему уравнений
(7) |
Решение . Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y через неизвестное x и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:
Таким образом, решениями системы (7) являются две пары чисел
и
Ответ : (– 1 ; 9) , (9 ; – 1)
Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными
Определение 5 . Однородным уравнением второй степени с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида
где a , b , c – заданные числа.
Пример 5 . Решить уравнение
3x 2 – 8xy + 5y 2 = 0 . | (8) |
Решение . Для каждого значения y рассмотрим уравнение (8) как квадратное уравнение относительно неизвестного x . Тогда дискриминант D квадратного уравнения (8) будет выражаться по формуле
откуда с помощью формулы для корней квадратного уравнения найдем корни уравнения (8):
Ответ . Решениями уравнения (8) являются все пары чисел вида
( y ; y) или
где y – любое число.
Следствие . Левую часть уравнения (8) можно разложить на множители
Системы из двух уравнений, одно из которых однородное
Системы из двух уравнений, одно из которых однородное, имеют вид
где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .
Пример 6 . Решить систему уравнений
(9) |
рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :
.
В случае, когда x = – y , из второго уравнения системы (9) получаем уравнение
корнями которого служат числа y1 = 2 , y2 = – 2 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 2) , (2 ; – 2) .
,
из второго уравнения системы (9) получаем уравнение
которое корней не имеет.
Ответ : (– 2 ; 2) , (2 ; – 2)
Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное
Пример 7 . Решить систему уравнений
(10) |
Решение . Совершим над системой (10) следующие преобразования:
- второе уравнение системы оставим без изменений;
- к первому уравнению, умноженному на 5 , прибавим второе уравнение, умноженное на 3 , и запишем полученный результат вместо первого уравнения системы (10).
В результате система (10) преобразуется в равносильную ей систему (11), в которой первое уравнение является однородным уравнением:
(11) |
рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :
.
В случае, когда x = – 5y , из второго уравнения системы (11) получаем уравнение
которое корней не имеет.
,
из второго уравнения системы (11) получаем уравнение
,
корнями которого служат числа y1 = 3 , y2 = – 3 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 3) , (2 ; – 3) .
Ответ : (– 2 ; 3) , (2 ; – 3)
Примеры решения систем уравнений других видов
Пример 8 . Решить систему уравнений (МФТИ)
Решение . Введем новые неизвестные u и v , которые выражаются через x и y по формулам:
(13) |
Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x и y через u и v . Из системы (13) следует, что
(14) |
Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x . С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:
- первое уравнение системы оставим без изменений;
- из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.
В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему
из которой находим
(15) |
Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде
(16) |
У системы (16) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное u через неизвестное v и подставить это выражение во второе уравнение системы:
Следовательно, решениями системы (16) являются две пары чисел
Из формул (13) вытекает, что , поэтому первое решение должно быть отброшено. В случае u2 = 5, v2 = 2 из формул (15) находим значения x и y :
Определение 6 . Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел (x ; y ; z) , при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.
Пример 9 . Решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными
(17) |
Решение . У системы (17) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное z через неизвестные x и y и подставить это выражение во второе уравнение системы:
(18) |
Перепишем второе уравнение системы (18) в другом виде:
Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то выполнение последнего равенства возможно лишь в случае x = 4, y = 4 .
Ответ : (4 ; 4 ; – 4)
Замечание . Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы линейных уравнений» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».
http://reshator.com/sprav/algebra/9-klass/sistemy-uravnenij-s-dvumya-peremennymi-i-parametrami/
http://www.resolventa.ru/spr/algebra/system1.htm