Нелинейные системы уравнений урок по математике

урок по теме»Решение нелинейных систем уравнений с 2 переменными»
план-конспект урока (алгебра, 11 класс) на тему

обобщающий урок по теме»Решение нелинейных систем уравнений с 2 переменными» для 11 класса

Скачать:

Предварительный просмотр:

ТЕМА УРОКА: «РЕШНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ»

Образовательные: закрепить изученный материал, совершенствовать умения применять способы решения систем уравнений при решении примеров, применять свойства функций.

Развивающие: способствовать формированию умений применять приёмы переноса знаний в новую ситуацию, развитию мышления и речи, внимания и памяти;

Воспитательная: содействие воспитанию активности, аккуратности и внимательности, развитие навыков самоорганизации и самоконтроля, самостоятельности.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Оборудование: доска, индивидуальные карточки

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, коллективная.

Литература : Дидактические материалы по алгебре и началам анализа» Б.Г. Зив, В.А. Гольдич, сборник заданий для подготовки письменного экзамена за курс средней школы, ЕГЭ (актив-тренинг) под редакцией А.Л.Семенова, И.В. Ященко, интернет-ресурс «Решу ЕГЭ»

II. Устная работа

Вопросы – задания.
На которые ученик отвечает «да» или «нет»

1. Логарифмическая функция y=log а x определена при любом х.(0)
2.Область значений логарифмической функции является множество действительных чисел.(1)

3.Область определения всех тригонометрических функций является множество действительных чисел (1)

4.Областью значения фунций у=cosx; y=sinx является отрезок [-1;1] (1)

5.Областью значений функции у=а х является множество действительных чисел (0)

6.Область определения функций у= tgx, где x= (0)

11.Графики тригонометрических функций имеют наименьший период Т=2πк(0)
12.Областью определения степенной функции является множество положительных чисел (1)
13.График четной функции симметричен относительно Ох.(0)
14.График нечетной функции всегда находится в I и Ш четвертях.(0)

15.График логарифмической функции всегда пересекает ось Ох в точке (1;0).(1)

В это время 5 сильных учеников решают по карточкам.

Вспомним основные методы решения систем уравнений.

1. Метод подстановки.
2. Метод алгебраического сложения уравнений .
3. Метод замены переменных .
4. Метод разложения на множители
5. Графическое решение систем уравнений.

Вспомним основные графики через решения систем (решения задач по карточкам)

Пример 1. Решите систему уравнений

х 2 +у 2 =2,5ху

х+у=0,25ху (для более сильных учащихся)

Решение. Из второго уравнения находим: . Подставляя это значение в первое уравнение, получаем: , или после упрощения . Корнями этого уравнения являются числа , . Таким образом, получаем совокупность двух систем уравнений:

Первая система имеет решения , а вторая . Значит, данная система имеет решения: .

2. Метод алгебраического сложения уравнений .

Пример 2. Решите систему уравнений:

Решение. Метод подстановки в данном случае приводит к сложным выкладкам. Поэтому будем рассуждать иначе: прибавим к первому уравнению системы второе уравнение, тогда получаем систему: т.е.

Равносильную заданной. А теперь воспользуемся методом подстановки:

Полученная система уравнений равносильна совокупности двух систем уравнений:

Первая система имеет решение , а вторая . Значит, решение данной системы имеет вид: .

3. Метод замены переменных .

Пример 3. Решите систему уравнений:

Решение. пусть u= , v= , тогда получим более простую систему равносильную исходной. Решив полученную систему, будем иметь: . Перейдем к переменным х и y , и решим совокупность двух систем уравнений:

4. Метод разложения на множители :

Пример 4. Решите систему уравнений:

Решение. Второе уравнение системы представим в виде: . Тогда данная система будет равносильна совокупности двух систем, решаемых методом подстановки.

1. или , значит и решением первой системы будет .
2. или , значит и решением второй системы будет Ответ: .

5. Графическое решение систем уравнений.

Пример 5. Решите несколькими способами систему уравнений:

Решение. Уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом 6. Уравнение — парабола, это уравнение можно переписать в виде: . Вершиной этой параболы является точка (0; 6), ветви параболы направлены вниз, она пересекает ось Ох в точках (6; 0); (-6; 0). Построим графики указанных линий и найдем их точки пересечения.

Из чертежа видно, что линии пересекаются трижды и точками пересечения являются А (-6; 0); В (0; 6); С (6; 0).

Рассмотрим примеры решения систем уравнений, содержащих тригонометрические, показательные, логарифмические уравнения .

Пример 6. Решить систему уравнений:

Решение. Преобразуем первое уравнение данной системы с помощью соответствующих формул к виду , складывая и вычитая уравнения полученной системы перейдем к системе тригонометрических уравнений вида

или . Из полученной системы находим

Пример 7. Решить систему уравнений:

Решение. Заменим данную систему на равносильную ей, воспользовавшись свойствами степеней: . Обозначим ; . Система примет вид: Решив её методом подстановки, получим и = 1, v = 2, т.к. полученные значения удовлетворяют условиям ; , перейдем к системе

, откуда получаем х = 0, y = 1. Ответ: .

Пример 8. Решить систему уравнений: .

Решение. ОДЗ:

Переходя к логарифмам по основанию 3, получаем систему, равносильную исходной:

Так как уравнение равносильно совокупности двух систем, то и полученная система равносильна совокупности двух систем:

1) Так как х = -6 не входит в ОДЗ, то решение первой системы является только пара (1; 1).

2) Так как х = 3 не входит в OДЗ, то решением является пара (2; 4). Ответ: <(1; 1); (2; 4)>.

Пример 9. Найти все а, при которых система имеет 2 решения.

Найти все параметры а, при которых система (|x|-4) 2 +(y-4) 2 =9

(x+1) 2 +y 2 =a 2 имеет 3 решения

Решение. ОДЗ: х >0 данная система уравнений равносильна системе . Полученная система уравнений имеет 2 решения тогда и только тогда, когда уравнений (2) системы имеет два положительных корня. Исследуем уравнение (2)

Так как по теореме Виета , то указанные условия будут иметь место, если имеет решение следующая система двух неравенств

Пример 10. Пусть — решение системы . Найдите разность .

Решение. Из условия задачи следует, . Кроме того , т.к. . Следовательно, данная система равносильна системе

так как второе уравнение полученной системы равносильно совокупности двух уравнений, то и полученная система равносильна совокупности двух систем уравнений

1) 2) так как y = -1 не удовлетворяет условию , то вторая пара чисел не является решением.

Рассмотрим пример системы с неизвестным под знаком модуля.

Пример 11 . Решить систему уравнений:

Решение. Множество допустимых значений х , y можно определить из условий

. Данная система в ОДЗ равносильна системе или . Полученная система в ОДЗ переменных х и y равносильна совокупности двух систем и .

Решая методом подстановки каждую из систем, получаем, что первая не имеет действительных корней, а решением второй системы является множество двух пар чисел

Урок по математике на тему «Решение систем нелинейных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Обобщающий урок по теме

Подготовила и провела:

учитель математики Сиренко Н.И.

2018-2019 учебный год

Обобщающий урок по теме

систем нелинейных уравнений».

Данный урок по алгебре в 9 классе проводится как повторительно-обобщающий при завершении темы «Решение систем нелинейных уравнений». Использование групповой формы работы позволяет учащимся ставить вопросы, решать проблемы, распределять роли и сотрудничать, убеждать других, отвечать за себя. Групповая форма работы способствует развитию творческого потенциала.

Обобщить и систематизировать знания и умения учащихся по теме.

1) Проверить знания основных понятий по теме «Способы решения систем нелинейных уравнений»;

2) обобщение и систематизация способов решения уравнений;

3) обобщение и систематизация систем нелинейных уравнений разных видов;

1) способствовать воспитанию сотрудничества, ответственности, взаимопомощи;

2) развитие личностных качеств;

1) развитие самостоятельного мышления и интеллекта;

2) развитие интереса к предмету.

Технология: обеспечение успеха школьников в учении.

способом подстановки. 2гр. Решение систем уравнений способом сложения. 3гр. Решение систем уравнений графическим способом. 4 гр. Решение систем уравнений другими способами.

Оснащение и оборудование к уроку :

2. мультимедийный проектор;

3. раздаточный материал.

Форма организации урока: групповая.

Урок обобщения и систематизации знаний учащихся.

Учащиеся разбиваются на 4 группы. В группе по 3-4 человека.

1. Организационный момент.

Учитель сообщает тему урока, формулирует цели урока. Разбивает учащихся на 4 группы: 1гр. Решение систем уравнений

Проверим реакцию. Предлагается притча: однажды индийский раджа устроил для своих подданных соревнование: кто пробежит по стене, неся на голове кувшин с водой, не разлив ни капли. Под стеной стояла масса народу, каждый из которых кричал, дудел в трубы, бил в барабаны. Лишь одному человеку удалось донести кувшин, не разлив воду. Когда раджа спросил, как ему это удалось, он ответил, что ничего не слышал, т.к. нес воду. Учитель называет слова (каникулы, экзамен, решение, рождество, система, Астана, подстановка, метель, Кокшетау, уравнение, праздник, Москва. стол, стул, Париж), учащиеся должны расслышать: 1) математические термины, 2) столицы государств.

3. Проверка теоретического материала в форме игры «Крестики-нолики». Если ученик согласен с ответом, ставит крестик, если не согласен – нолик.

1) Линейное уравнение с двумя переменными – уравнение первой степени.

2) Нелинейные уравнения с двумя переменными – уравнения второй степени.

3)Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство, называют решением системы.

4) Графиком уравнения с двумя переменными является изображение точек её решений на плоскости.

5) Две системы называются равносильными, если множества их решений можно изобразить на координатной плоскости.

6) Решить систему уравнений, значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

7)Для решения системы уравнений с двумя переменными используются 2 способа:

1) графический способ;

2) способ замены переменной и алгебраического сложения и вычитания;

8)Уравнение не изменится, если перенести слагаемое из одной части уравнения в другую.

9)Графиком нелинейного уравнения с двумя переменными не является прямая.

Результаты сдать на карточках. Проверить с помощью правильного ответа на доске.

3.1. Историческая справка. Один из учеников готовит и представляет в виде слайдов.

4. Каждой группе дается карточка с заданием решить систему уравнений своим способом. Задания разные. После решения представить и объяснить в чем суть каждого способа. Затем дается одинаковая карточка каждой группе. Задание: решить систему каждый своим способом. Сравнить ответы, выяснить какой метод наиболее удобный. (карточки прилагаются)

Учитель обращает внимание учащихся на то, что графический способ решения систем уравнений трудоемок и дает приблизительные ответы, но бывают такие виды систем нелинейных уравнений, которые можно решить только этим способом.

5. Решите устно уравнения (задание на мультимедийном проекторе).

Тесты с системами нелинейных уравнений берутся из электронного учебника по математике за 9класс. Учитель поясняет, что часто на ЕНТ встречаются системы, которые можно не решая правильно подобрать ответ.

6. Подведение итогов урока.

Анализ работы в группах.

На оценочных листах, которые находятся на столах, учащиеся выставляют по две оценки (самооценка и взаимооценка), третья оценка и итоговая выставляются учителем.

7. Домашнее задание. Из раздела «Проверь себя» №3-10. стр.41.

Ожидаемый результат урока

1.развитие логического и критического мышления учащихся, творческого потенциала;

2.демонстрация учащимися знаний решения алгебраических уравнений и способов решений систем нелинейных уравнений;

3.формирование навыков выбора метода решения задач;

4.развивать умение слушать партнера, формулировать и аргументировать свое мнение;

5.формировать умение планировать свою деятельность.