Нелинейные уравнения и неравенства с двумя неизвестными

Системы с нелинейными уравнениями

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

Примеры решения систем уравнений других видов

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Определение 1 . Пусть A – некоторое множество пар чисел (x ; y) . Говорят, что на множестве A задана числовая функция z от двух переменных x и y , если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A ставится в соответствие некоторое число.

Задание числовой функции z от двух переменных x и y часто обозначают так:

причем в записи (1) числа x и y называют аргументами функции , а число z – значением функции , соответствующим паре аргументов (x ; y) .

Определение 2 . Нелинейным уравнением с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида

где f (x , y) – любая функция, отличная от функции

где a , b , c – заданные числа.

Определение 3 . Решением уравнения (2) называют пару чисел (x ; y) , для которых формула (2) является верным равенством.

Пример 1 . Решить уравнение

Решение . Преобразуем левую часть уравнения (3):

Таким образом, уравнение (3) можно переписать в виде

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x и y удовлетворяют системе уравнений

решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .

Пример 2 . Решить уравнение

вытекает, что уравнение (5) решений не имеет.

Ответ : Решений нет.

Пример 3 . Решить уравнение

Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида

где y – любое число.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

Определение 4 . Решением системы уравнений

называют пару чисел (x ; y) , при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное, имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .

Пример 4 . Решить систему уравнений

(7)

Решение . Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y через неизвестное x и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

Таким образом, решениями системы (7) являются две пары чисел

и

Ответ : (– 1 ; 9) , (9 ; – 1)

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

Определение 5 . Однородным уравнением второй степени с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида

где a , b , c – заданные числа.

Пример 5 . Решить уравнение

Решение . Для каждого значения y рассмотрим уравнение (8) как квадратное уравнение относительно неизвестного x . Тогда дискриминант D квадратного уравнения (8) будет выражаться по формуле

откуда с помощью формулы для корней квадратного уравнения найдем корни уравнения (8):

Ответ . Решениями уравнения (8) являются все пары чисел вида

( y ; y) или

где y – любое число.

Следствие . Левую часть уравнения (8) можно разложить на множители

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное, имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .

Пример 6 . Решить систему уравнений

(9)

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

.

В случае, когда x = – y , из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

корнями которого служат числа y₁ = 2 , y₂ = – 2 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 2) , (2 ; – 2) .

,

из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

которое корней не имеет.

Ответ : (– 2 ; 2) , (2 ; – 2)

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

Пример 7 . Решить систему уравнений

(10)

Решение . Совершим над системой (10) следующие преобразования:

• второе уравнение системы оставим без изменений;
• к первому уравнению, умноженному на 5 , прибавим второе уравнение, умноженное на 3 , и запишем полученный результат вместо первого уравнения системы (10).

В результате система (10) преобразуется в равносильную ей систему (11), в которой первое уравнение является однородным уравнением:

(11)

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

.

В случае, когда x = – 5y , из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

которое корней не имеет.

,

из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

,

корнями которого служат числа y₁ = 3 , y₂ = – 3 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 3) , (2 ; – 3) .

Ответ : (– 2 ; 3) , (2 ; – 3)

Примеры решения систем уравнений других видов

Пример 8 . Решить систему уравнений (МФТИ)

Решение . Введем новые неизвестные u и v , которые выражаются через x и y по формулам:

(13)

Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x и y через u и v . Из системы (13) следует, что

(14)

Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x . С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему

из которой находим

(15)

Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде

(16)

У системы (16) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное u через неизвестное v и подставить это выражение во второе уравнение системы:

Следовательно, решениями системы (16) являются две пары чисел

Из формул (13) вытекает, что , поэтому первое решение должно быть отброшено. В случае u₂ = 5, v₂ = 2 из формул (15) находим значения x и y :

Определение 6 . Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел (x ; y ; z) , при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.

Пример 9 . Решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными

(17)

Решение . У системы (17) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное z через неизвестные x и y и подставить это выражение во второе уравнение системы:

(18)

Перепишем второе уравнение системы (18) в другом виде:

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то выполнение последнего равенства возможно лишь в случае x = 4, y = 4 .

Ответ : (4 ; 4 ; – 4)

Замечание . Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы линейных уравнений» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №43.Нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• уравнение и неравенство, способы их решения;
• система уравнений, система неравенств;
• изображение в координатной плоскости множество решений уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств и нахождение площади получившейся фигуры;

Глоссарий по теме

Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.

Все уравнения, которые не являются линейными называются нелинейными.

Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Все неравенства, которые не являются линейными называются нелинейными.

Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.

Все системы неравенств, которые не являются линейными называются нелинейными.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Учебник: Алгебра 9 кл с углубленным изучением математики Мнемозина, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня на уроке мы вспомним нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными; системы линейный уравнений и неравенств, а также научимся изображать множество на плоскости, задаваемое нелинейным уравнением и неравенством.

1.Линейные уравнения с двумя переменными.

Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.

Все уравнения, которые не являются линейными называются нелинейными.

Например, нелинейные уравнения с двумя переменными. Уравнение с двумя переменными можно заменить равносильным уравнением, в котором правая часть будет нулем, а левая многочленом стандартного вида:

Нелинейные уравнения с двумя переменными изображаются на координатной плоскости различными фигурами, каждое уравнение нужно рассматривать индивидуально.

Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению:

Уравнение запишем в виде (х-у)(х+у) = 0, значит либо х-у=0, либо х

+у=0. Поэтому множество точек удовлетворяющих уравнению – пара пересекающихся прямых.

Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:

Сумма неотрицательных слагаемых равна 0 только в одном случае, когда оба слагаемых одновременно равны 0.

Это уравнение имеет единственное решение: х=2; у=-3. Поэтому множество точек удовлетворяющих уравнению – точка (2;-3).

Пусть на координатной плоскости Оху выбрана точка А(а;b), М(х;у) – произвольная точка этой плоскости, R- расстояние от точки М до точки А. Тогда , где R>0. Уравнение окружности с радиусом R и с центром в точке А(а;b).

Запишем уравнение в виде Множеством решения данного уравнения является окружность центром в точке (-1;4) и радиусом 3 единичных отрезка.

Рассмотрим примеры уравнений с двумя переменными, содержащих знак модуля:

Если то х+у=2 Множество решений этого уравнения часть прямой (отрезок АВ), где А(2;0), В(0;2)

Аналогично строятся отрезки в трех оставшихся координатных углах. (рисунок 1)

Рисунок 1 – графика

2.Нелинейные неравенства с двумя переменными.

Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Все неравенства, которые не являются линейными называются нелинейными.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное равенство.

Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой.

1. Некоторые из таких неравенств можно привести к виду у f(x), а нижняя – графиком неравенства у 0 удовлетворяют все те точки, которые находятся от точки А на расстоянии меньшем R, те все точки и только они, расположенные внутри окружности с радиусом R и центром в точке А(а;b). Аналогично, множество решений неравенства есть множество точек , лежащих вне окружности.

Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства .

1. Начертим график уравнения . Запишем уравнение в виде Множеством решения данного уравнения является окружность центром в точке (-1;4) и радиусом 3 единичных отрезка.
2. Искомое множество решения неравенства – множество точек, лежащих на окружности и внутри окружности с центром в точке (-1;4) и радиусом 3 единичных отрезка.

3. Системы нелинейных уравнений с двумя переменными.

Система вида , где а,b,с,d,e,f – некоторые числа, называется линейной системой с двумя переменными х и у.

Все системы уравнений, которые не являются линейными называются нелинейными.

Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство называют решением системы.

Решить систему – значит найти множество ее решений.

Каждое решение уравнения с двумя переменными представляет координаты некоторой его точки его графика. Каждое решение системы есть координаты общих точек графиков уравнений системы. Построим графики этих уравнений и найдем координаты точек пересечения.
Например.

Решить систему уравнений

Первое уравнение системы задает параболу, второе – окружность с центром (-1;3) и радиусом . Окружность и парабола имеют две общие точки (0;1) (-1,3;5,3). Координаты второй точки приближенные (рисунок 2).

Рисунок 2 – решение системы

4. Системы нелинейных неравенств с двумя переменными.

Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.

Все системы неравенств, которые не являются линейными называются нелинейными.

Рассмотрим систему нелинейных неравенств с двумя переменными на примере:

Изобразить на координатной плоскости Оху фигуру Ф, заданную системой неравенств, и найти площадь фигуры:

Неравенство заменим равносильной системой которая задает множество точек, лежащих на полуокружности и вне ее. А неравенство заменим равносильной совокупностью систем или (рисунок 3)

Рисунок 3 – решение системы

1. Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению .(рисунок 4)

График уравнения х^2 можно получить из окружности сжатием к оси х в 2 раза.

Рисунок 4 – график уравнения

Заметим, что фигуру, которая получается сжатием окружности к одному из ее диаметров, называют эллипсом.

1. Уравнение вида — уравнение ромба , где точка (a;b) точка пересечения диагоналей; диагонали ромба соответственно равны .

Рассмотрим частный случай:

Если k=m, то диагонали ромба будут равны, значит заданная фигура – квадрат.

Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля

Графиком данного уравнения является парабола, показанная на рисунке.(рисунок 5)

Рисунок 5 – график

Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства (рисунок 6)

Начертим график уравнения . Графиком данного уравнения является парабола. Нижняя из образовавшихся областей является графиком неравенства

Проверим себя: Например, пара (0;0) является решением неравенства , и принадлежит нижней из образовавшихся областей, значит графиком неравенства 2х+3у Назад Вперёд

Презентация по теме: «Нелинейные уравнения с двумя переменными», 11 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Урок разработан учителем математики МАОУ СШ №10 г.Павлово Леонтьевой Светланой Ивановной Урок опубликован на сайте учителя: http://pavls1954.wixsite.com/1954 Урок алгебры и начал математического анализа в 11 классе Учебник «Алгебра и начала математического анализа», базовый и профильный уровень, под ред. А.Б. Жижченко, 2010 г.

Приветствую вас на уроке Девиз урока: Успешного усвоения учебного материала Строго говоря, задача решена, если составлено для неё уравнение, так как это значит, что установлена точно зависимость нескольких величин от данных. Д. Пойя

1.Теория. Глава VIII. §1 Разобрать задачи, решенные в классе 2.Практика. Стр.243, №№1(четные),2(2),3(2,4),5(2) ДР№39 на 25.02.19 Выполните проверку в парах и оцените ДР

19.02.19 Классная работа Нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными Уроки №85–86 Глава VIII.§2.

Цели урока: Повторить нелинейные уравнения и неравенства с двумя переменными. Учиться решать задачи на нахождение множества точек, удовлетворяющих данному условию. Продолжить формирование культуры устной и письменной математической речи, умения оценивать уровень своих знаний по рассматриваемой теме.

Стр.244. Работаем с учебником.

Стр.244. Работаем с учебником.

Стр.244. Работаем с учебником.

Стр.244. Работаем с учебником.

Стр.256. Работаем с учебником.

Стр.256. Работаем с учебником. =0

Стр.256. Работаем с учебником. Решаем каждое задание, предлагая способ решения, давая характеристику множеству точек координатной плоскости

Стр.256. Работаем с учебником. 1. Раскладываем на множители левую часть 2. Множеством точек координатной плоскости, удовлетворяющих данному уравнению — …

Стр.256. Работаем с учебником. 1. Раскладываем на множители левую часть 2. Множеством точек координатной плоскости, удовлетворяющих данному уравнению – пара пересекающихся прямых.

Стр.256. Работаем с учебником. Постройте полученные прямые

Стр.256. Работаем с учебником. Искомым множеством точек координатной плоскости являются две пересекающиеся прямые

Стр.256. №9 Решаем каждое задание, предлагая способ решения, давая характеристику множеству точек координатной плоскости

Стр.256. №9. Решаем каждое задание, предлагая способ решения, давая характеристику множеству точек координатной плоскости

Стр.256. №9. Решаем каждое задание, предлагая способ решения, давая характеристику множеству точек координатной плоскости

Стр.256. №9. Искомым множеством точек координатной плоскости являются две пересекающиеся прямые:

Стр.256. №9 Решаем каждое задание, предлагая способ решения, давая характеристику множеству точек координатной плоскости

Стр.256. №9 Какие значения принимает каждое слагаемое, левая часть равенства? Какие значения могут принимать х и у?

Стр.256. №9 Множеством точек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению, является точка (-1;2)

Стр.256. №9. Предлагаем способ решения

Стр.256. №9. Множеством точек является …

Стр.256. №9. Множеством точек является окружность с центром (1;-2) и радиусом

Стр.256. №9. Предложите способ решения Выполните преобразования

Стр.256. №9. Искомым множеством точек координатной плоскости является …

Стр.256. №9. Искомым множеством точек координатной плоскости является точка

Стр.256. №9. Предложите способ решения. Выполните предложенные преобразования

Стр.256. №9. Искомым множеством точек координатной плоскости являются …

Стр.256. №9. прямые х = -1 и у=1 Искомым множеством точек координатной плоскости являются

Стр.256. №9. Предлагаем способ решения

Стр.256. №9. Искомым множеством точек координатной плоскости являются лучи: при и при и

Стр.256. №9. Преобразуйте равенство для

Стр.256. №9. Лучи при , луч при

Стр.245. Работаем с учебником.

Стр.256. Работаем с учебником. Уравнение равносильно совокупности двух систем:

Стр.256. Работаем с учебником. Уравнение равносильно совокупности двух систем: Первой системе удовлетворяют точки, принадлежащие прямой у=-2х при , а второй системе – точки прямой у=2х при Изобразите множество точек, удовлетворяющих уравнению

Стр.256. Работаем с учебником. Уравнение равносильно совокупности двух систем: Первой системе удовлетворяют точки, принадлежащие прямой у=-2х при , а второй системе – точки прямой у=2х при Множество точек, удовлетворяющих уравнению: Искомое множество точек — два луча

Стр.245. Работаем с учебником.

Стр.256. Работаем с учебником.

Стр.256. Работаем с учебником.

Стр.256. Работаем с учебником.

Стр.256. Работаем с учебником.

Стр.256. Работаем с учебником.

Стр.256. Работаем с учебником.

Стр.256. Работаем с учебником. Искомое множество точек — граница квадрата с вершинами:

Стр.256. Работаем с учебником. Искомое множество точек — граница квадрата с вершинами: (0;-2), (1;-3), (2;-2), (1;-1)

Стр.245. Работаем с учебником.

Решите самостоятельно: Стр.267, №43

Оцените свое усвоение материала урока Итоги урока

1.Теория. Глава VIII. §1 Разобрать задачи, решенные в классе 2.Практика. Стр.243, №№10(3) ДР№41 на 01.03.19

Краткое описание документа:

На уроке разбираются примеры учебника по обозначенной теме, по образцу которых решаются нелинейные уравнения. В совместном обсуждении в форме «мозгового штурма» учимся решать сложные уравнения с двумя переменными.

Продолжается формирование культуры устной и письменной математической речи, умения оценивать уровень своих знаний по рассматриваемой теме и знаний одноклассников.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 952 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 683 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 565 310 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра и начала математического анализа», Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др.

Другие материалы

• 11.03.2019
• 1220
• 73

• 11.03.2019
• 496
• 36

• 11.03.2019
• 287
• 21

• 20.02.2019
• 258
• 0

• 14.02.2019
• 187
• 0

• 10.02.2019
• 395
• 0

• 04.02.2019
• 826
• 12

• 02.02.2019
• 3689
• 128

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 11.03.2019 1913
• PPTX 4.2 мбайт
• 96 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Леонтьева Светлана Ивановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 7 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 420204
• Всего материалов: 407

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В Рособрнадзоре рассказали, как будет меняться ЕГЭ

Время чтения: 2 минуты

В России могут объявить Десятилетие науки и технологий

Время чтения: 1 минута

Новые курсы: управление детским садом, коучинг, немецкий язык и другие

Время чтения: 18 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.