Нелинейные уравнения лабораторная на с

Лабораторная работа: Итерационные методы решения нелинейных уравнений

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1-2.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Цель работы: научиться решать нелинейные уравнения методом простых итераций, методом Ньютона и модифицированным методом Ньютона с помощью ЭВМ.

1. Изучить метод простых итераций, метод Ньютона и модифицированный метод Ньютона для решения нелинейных уравнений.

2. На конкретном примере усвоить порядок решения нелинейных уравнений с помощью ЭВМ указанными методами.

3. Составить программу (программы) на любом языке программирования и с ее помощью решить уравнение с точностью и . Сделать вывод о скорости сходимости всех трех методов.

4. Изменить и снова решить задачу. Сделать вывод о точности полученных результатов.

5. Составить отчет о проделанной работе.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Доказать графическим и аналитическим методами существование единственного корня нелинейного уравнения

(1)

на отрезке .

2. Построить рабочие формулы метода простых итераций, метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона, реализующие процесс поиска корня нелинейного уравнения (1) на указанном отрезке.

3. Составить программу (программы) на любом языке программирования, реализующие построенные итерационные процессы.

1. Докажем графическим методом единственность корня нелинейного уравнения (1). Из графика функции на Рис.1 видно, что функция пересекает ось в одной точке, являющейся приближенным значением корня нелинейного уравнения (1). Но так как данная функция имеет сложный аналитический вид, то преобразуем уравнение (1) к виду и построим два графика и , имеющих более простой аналитический вид (Рис.2). Абсцисса точки пересечения графиков является приближенным значением корня. Заметим, что графический метод показывает количество корней исходного уравнения, но не доказывает единственность корня на отрезке.

Рис.1

Аналитический метод. Функция непрерывна на отрезке , имеет на концах отрезка разные знаки (), а производная функции не меняет знак на отрезке (). Следовательно, нелинейное уравнение (1) имеет на указанном отрезке единственный корень.

2. Метод простых итераций. Для построения рабочей формулы перепишем уравнение (1) в виде: . Проверим, выполняется ли достаточное условие сходимости на отрезке:

(2)

Если условие выполняется, то итерационный процесс строится по формуле

Заметим, что в точке из отрезка , значение .

Построим функцию . Константа выбирается из условия (2). Если производная , то значение выбирается из интервала , если производная , то – из интервала . Так как всюду положительна на отрезке, то, конкретизируя значение производной в любой точке отрезка (например ), значение определяется из интервала . Выбрав значение , запишем рабочую формулу метода простых итераций:

(3)

Итерационный процесс (3) можно начать, задав произвольное начальное приближение . Процесс (3) заканчивается при одновременном выполнении двух условий: и . В этом случае значение является приближенным значением корня нелинейного уравнения (1) на отрезке .

Метод Ньютона. В качестве начального приближения здесь выбирается правый или левый конец отрезка, в зависимости от того, в котором выполняется достаточное условие сходимости метода Ньютона вида:

(4)

Заметим, что в точке условие (4) не выполняется, а в точке — выполняется. Следовательно в качестве начального приближения выбирается точка . Рабочая формула метода Ньютона для данной задачи запишется так:

(5)

Условия выхода итерационного процесса (5) аналогичны условиям метода простых итераций.

Модифицированный метод Ньютона. Начальное приближение выбирается аналогично методу Ньютона, т.е. . Рабочая формула модифицированного метода Ньютона для данной задачи запишется так:

(6)

Условия выхода итерационного процесса (6) аналогичны условиям метода простых итераций.

Замечание: для того, чтобы сделать вывод о скорости сходимости методов, необходимо в каждом методе выбирать одинаковое начальное приближение.

3. Блок-схема метода простых итераций, метода Ньютона и модифицированного метода Ньютона приведена на рисунке 3.

Ниже в качестве примера приведены программы на языках программирования Паскаль и С, реализующие итерационный процесс метода простых итераций.

ПРИМЕР ПРОГРАММЫ НА ЯЗЫКЕ ПАСКАЛЬ

printf(“%d %.4f %.4f %.4f %.4f\n”,n++,x,y,fabs(y-x),

Решение: в результате решения нелинейного уравнения (1) на указанном отрезке тремя методами при начальном приближении с точностью и получены следующие результаты: методом простых итераций ; методом Ньютона ; модифицированным методом Ньютона .

4. Содержание отчета.

Отчет о проделанной работе должен содержать: номер и название лабораторной работы; цель работы; содержание работы; задание на работу; теоретическую часть работы (вывод итерационных формул); листинг(и) программ(ы); таблицы результатов (в случае, если число итераций в таблице достаточно большое, в отчет занести две первых и две последних итерации); выводы о проделанной работе.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Определить количество корней исходного нелинейного уравнения графическим методом и построить график (пример приведен на рисунке 2).

2. Доказать аналитическим методом единственность корня исходного нелинейного уравнения на указанном отрезке.

3. Построить итерационные формулы, реализующие процесс поиска корня на отрезке методом простых итераций, методом Ньютона и модифицированным методом Ньютона.

4. Составить программу(ы) на любом языке программирования, реализующую(ие) построенные итерационные процессы, используя алгоритм методов, приведенный на рисунке. Печать результатов должен осуществляться на каждом шаге итераций в виде следующей таблицы:

Лабораторная работа информатика и математика

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Решение нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений в « Excel » и « MathCAD »

Решение многих задач приводит к исследованию сложных математических моделей. При этом в большинстве случаев не удается получить точных аналитических решений. Тогда используют численные методы. Решение, полученное численными методами, обычно является приближенным, т.е. содержит некоторую погрешность. Ее источниками являются: неполное соответствие математической модели реальной задаче: погрешность исходных данных; погрешность самих численных методов; погрешности округления.

Цель и содержание

Целью данной лабораторной работы является овладение практическими навыками решения нелинейных уравнений численными методами средствами программ MS Excel и MathCAD .

Аппаратура и материалы

Лабораторная работа проводится в компьютерном классе на IBM -совместимых персональных ЭВМ с использованием программ MS Excel и MathCAD .

Указания по технике безопасности

Для выполнения лабораторной работы студент должен:

Перед включением ПЭВМ подготовить рабочее место, убрать ненужные для работы предметы; обо всех замеченных технических неисправностях сообщить преподавателю. Запрещается включать устройства при неисправных заземлении или кабелях питания; пользоваться поврежденными розетками, рубильниками и другими электроустановочными приборами.

После получения разрешения преподавателя включить ПЭВМ и приступить к работе. Запрещается производить подключение или отключение различных периферийных устройств. Запрещается работать, если при прикосновении к корпусам оборудования ощущается действие электрического тока.

После выполнения задания и получения разрешения преподавателя необходимо закрыть активные приложения, корректно завершить работу ПЭВМ и отключить питание.

Привести в порядок рабочее место, и после получения разрешения преподавателя покинуть помещение.

Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса – алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.

Часто возникающей задачей при решении нелинейных уравнений является поиск приближенных значений корней. Многие уравнение, например трансцендентные, не имеют аналитических решений. Однако они могут решаться численными методами.

Пусть дано уравнение

где функция f ( x ) – некоторая заданная функция.

Решить уравнение (1) значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней.

Методика и порядок выполнения работы

Прежде чем начать выполнение лабораторной работы, внимательно прочтите задание на лабораторную работу и просмотрите примеры выполнения работы. После этого запустите сначала программу MathCAD , выполните все вычисления, необходимые для выполнения лабораторной работы, и сохраните файл с вычислениями. Затем запустите программу MS Excel, выполните все вычисления, необходимые для выполнения лабораторной работы, и также сохраните файл с вычислениями. После того, как студент выполнил все вычисления, он может приступить к формированию отчета по лабораторной работе.

Задание. Согласно данному преподавателем варианту необходимо:

Решить заданное уравнение с помощью графического метода в программе MathCAD .

Решить заданное уравнение с помощью вычислительного блока Given / Find в программе MathCAD .

Решить заданное уравнение с помощью метода подбора параметра в программе MS Excel.

Методика выполнения задания

Графический метод. Р ассмот рим в MathCAD графический метод, используемый для поиска приближенн ых значений корней нелинейных уравнений.

В качестве примера возьмем уравнение

Чтобы определить, сколько корней оно имеет, проведем ло кализацию корней данного уравнения, т.е. определим и выде лим отрезки, на каждом из которых уравнение имеет ровно один корень. Один из способов решения данной проблемы – построение графика функции F ( x ), т.е. графический метод . Для большей наглядности вводится две функции f ( x )= 4(1- х 2 ) и g ( x )= е х , и строятся графики этих функций (рисунок 1).

Рисунок 1 – Графики функций f ( x ) и g ( x )

Из графика, представленного на рисунке 1, видно, что графики функций f ( x ) и g ( x ) пересекаются в двух точках, распо ложенных внутри интервалов [–2;0] и [0;2]. На каждом из этих отрезков корень можно найти, воспользовавшись опцией root ( f ( x )- g ( x ), x , a , b ), где а и b – начальная и конечная точки отрезка локализации.

Окончательно, результат решения нелинейного уравнения с помощью графического метода представлен на рисунке 2.

Рисунок 2 – Графическое определение отрезков локализации и поиск корней уравнения с помощью графического метода

Таким образом, корнями нелинейного уравнения (2) являются два корня: и .

Рассмотрим также вычислительный блок Given / Find , используемый для решения нелиней ного уравнения.

Вычислительный блок Given / Find . При использовании вычислительного блока Given / Find неизвестному значению необходимо присвоить начальное значение. Неизвестной является значение переменной х , поэтому именно она является аргументом встроенной функции Find ( х ), решающей нелинейное уравнение. После этого, чтобы численным методом решить нелинейное уравнение, следует после ключевого слова Given записать нелинейное уравнение. Затем необходимо записать функцию Find ( х ), поставить знак «=», после чего на экране появится значение корня нелинейного уравнения.

Решим уравнение (2), задав начальное зна чение х ₀ > 0, например . Для этого обозначим блок решения словом Given , введем уравнение с помощью булевского оператора « = » и найдем корень уравнения с помощью опции Find (рисунок 3).

Рисунок 3 – Поиск положительного корня уравнения с помощью функции Find

Второй корень уравнения можно получить, выбрав отрицательное начальное значение х ₀ , например (рисунок 4).

Рисунок 4 – Поиск отрицательного корня уравнения с помощью функции Find

Метод подбора параметра. Рассмотрим, как на рабочем листе при помощи подбора параметра в MS Excel можно находить корни нелинейного уравнения с одним аргументом. В качестве базового примера рассмотрим следующее уравнение:

Для нахождения корней их первоначально надо локализовать, т.е. найти интервалы, на которых эти корни существуют. Такими интервалами локализации корней могут служить промежутки, на концах которых функция имеет противоположный знак. С целью нахождения интервалов, на концах которых функция изменяет знак, необходимо построить ее график или ее протабулировать. Например, протабулируем наш полином на интервале [–2; 2] с шагом 0,4. С этой целью:

Введите в ячейку А2 значение -2, а в ячейку A3 – значение -1,6.

Выберите диапазон А2:АЗ, расположите указатель мыши на маркере заполнения этого диапазона и протяните его на диапазон А4:А12. Аргумент протабулирован.

В ячейку В2 введите формулу: =4*(1–А2^2)–2,72^А2.

Выберите ячейку В2. Расположите указатель мыши на маркере заполнения этой ячейки и протяните его на диапазон В3:В12. Функция также протабулирована.

Результаты табуляции представлены на рисунке 5.

На рисунке 6 видно, что функция меняет знак на интервалах [–1; –0,8] и [0,5; 1], и поэтому на каждом из этих интервалов имеется свой корень. Так как квадратное уравнение имеет не более двух корней, то они все локализованы.

Рисунок 5 – Результаты табуляции

Рисунок 6 – График функции

Прежде чем приступить к нахождению корней при помощи подбора параметра, необходимо выполнить некоторую подготовительную работу:

установите точность, с которой находится корень. Корень при помощи подбора параметра находится методом последовательных приближений. Для этого выберите команду Сервис → Параметры и на вкладке Вычисления диалогового окна Параметры задайте относительную погрешность и предельное число итераций равными 0,00001 и 1000, соответственно.

Отведите на рабочем листе ячейку под искомый корень, например, С2. Эта ячейка будет играть двойную роль. До применения подбора параметра в ней находится начальное приближение к корню уравнения, а после применения – найденное приближенное значение корня.

Корень при помощи подбора параметра находим методом последовательных приближений, поэтому в ячейку С2 надо ввести значение, являющееся приближением к искомому корню. В нашем случае первым отрезком локализации корня является [-1; -0,8]. Следовательно, за начальное приближение к корню разумно взять среднюю точку этого отрезка -0.9.

Отведите ячейку, например, D2, под функцию, для которой ведется поиск корня. Причем, вместо неизвестного, у этой функции должна указываться ссылка на ячейку, отведенную под искомый корень. Таким образом, в ячейку D2 введите формулу =4*(1-C2^2)-2,72^C2.

Аналогично надо поступить с другим искомым корнем:

Отвести ячейку СЗ под второй корень, ввести в нее начальное приближение 0,6. а в ячейку D3 ввести следующую формулу =4*(1-C3^2)-2,72^C3.

Теперь можно переходить к нахождению первого корня уравнения:

Выберите команду Сервис→Подбор параметра . На экране отобразится диалоговое окно Подбор параметра .

В поле Установить в ячейке введите ссылку на ячейку D2 (рисунок 7). В этом поле дается ссылка на ячейку, в которой введена формула, вычисляющая значение левой части уравнения. Для нахождения корня с помощью подбора параметра уравнение надо представить в таком виде, чтобы его правая часть не содержала переменную.

В поле Значение введите 0. Здесь указывается значение из правой части уравнения.

В поле Изменяя значение ячейки введите С2. В данном поле приводится ссылка на ячейку, отведенную под переменную.

Рисунок 7 – Локализация корней уравнения и диалоговое окно

Нажмите кнопку ОК.

На экране отображается окно Результат подбора параметра (рисунок 8) с результатами работы команды Подбор параметра . Кроме того, рассматриваемое средство помещает найденное приближенное значение корня в ячейку С2. В данном случае оно равно -0,950483819.

Затем необходимо провести все операции для поиска второго корня. На экране отображается окно Результат подбора параметра (рисунок 9) с результатами работы команды Подбор параметра . Кроме того, рассматриваемое средство помещает найденное приближенное значение корня в ячейку С3. В данном случае оно равно 0,703322024.

Окончательно, результат решения нелинейного уравнения с помощью метода подбора параметра представлен на рисунке 10.

Таким образом, корнями нелинейного уравнения (2) являются два корня: и .

Рисунок 8 –Диалоговое окно Результат подбора параметра

после успешного завершения поиска первого корня

Рисунок 9 –Диалоговое окно Результат подбора параметра

после успешного завершения поиска второго корня

Рисунок 10 – Результат решения нелинейного уравнения с помощью

метода подбора параметра

Варианты заданий для самостоятельного выполнения

1. Решение нелинейных уравнений в MS Excel

1.1 Отделение корней

В общем виде любое уравнение одной переменной принято записывать так , при этом корнем (решением) называется такое значение x *, что оказывается верным тождеством. Уравнение может иметь один, несколько (включая бесконечное число) или ни одного корня. Как легко видеть, для действительных корней задача отыскания решения уравнения легко интерпретируется графически: корень есть такое значение независимой переменной, при котором происходит пересечение графика функции, стоящей в левой части уравнения f ( x ) , с осью абсцисс.

Например , для уравнения выполним преобразование и приведем его к виду f ( x )= 0 т.е. . График этой функции представлен на рисунке 1. Очевидно, что данное уравнение имеет два действительных корня – один на отрезке [-1, 0] , а второй – [1, 2].

Рисунок 1. График функции

1.2 Решение уравнений, используя инструмент “Подбор параметра”

Используя возможности Excel , можно находить корни нелинейного уравнения вида f ( x )=0 в допустимой области определения переменной. Последовательность операций нахождения корней следующая:

1. Производится вычисление значений функции в диапазоне вероятного существования корней от значений аргумента, изменяющегося с определенным шагом;

2. В таблице выделяются ближайшие приближения к значениям корней (пары соседних значений функции с разными знаками);

3. Используя средство Excel Подбор параметра, вычисляются корни уравнения.

2. Работа с матрицами в MS Excel . Решение систем уравнений.

Нахождение определителя матрицы

Перед нахождением определителя необходимо ввести матрицу в диапазон ячеек Excel в виде таблицы.

Для нахождения определителя матрицы в Excel необходимо:

· сделать активной ячейку, в которой в последующем будет записан результат;

· в меню Вставка – Функция в категории Математические выбрать функцию МОПРЕД и нажать OK ;

· на втором шаге задать диапазон ячеек, в котором содержатся элементы матрицы, и нажать OK .

Нахождение обратной матрицы

Для нахождения обратной матрицы необходимо

· выделить диапазон ячеек, в которых в последующем будут записаны элементы матрицы ( количество строк и количество столбцов должны равняться соответствующим параметрам исходной матрицы).

· в меню Вставка – Функция в категории Математические выбрать функцию МОБР и нажать OK ;

· на втором шаге задать диапазон ячеек, в котором содержатся элементы исходной матрицы, и нажать OK .

· после появления значения в левом верхнем углу выделенного диапазона последовательно нажать клавишу F 2 и комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter .

Для перемножения матриц необходимо

· выделить диапазон ячеек, в которых в последующем будут записаны элементы результирующей матрицы.

· в меню Вставка – Функция в категории Математические выбрать функцию МУМНОЖ и нажать OK ;

· на втором шаге задать два диапазона ячеек с элементами перемножаемых матриц, и нажать OK .

· после появления значения в левом верхнем углу выделенного диапазона последовательно нажать клавишу F 2 и комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter .

Решение системы уравнений в Excel .

Решение системы уравнений при помощи нахождения обратной матрицы.

Пусть дана линейная система уравнений.

Данную систему уравнений можно представить в матричной форме:

Матрица неизвестных вычисляется по формуле

где A -1 – обратная матрица по отношению к A .

Для вычисления уравнения в Excel необходимо:

· ввести матрицу A;

· ввести матрицу B;

· вычислить обратную матрицу по отношению к А ;

· перемножить полученную обратную матрицу с матрицей B .

Порядок выполнения работы

Задание 1

Найти все корни уравнения 2x 3 -15sin( x )+0,5x-5=0 на отрезке [-3 ; 3].

1. Построить таблицу значений функции f ( x ) для значений x от –3 до 3, шаг 0,2.

Для этого ввести первые два значения переменной x , выделить эти две ячейки, с помощью маркера автозаполнения размножить значения до 3.

Затем ввести формулу для вычисления f ( x ). Скопировать формулу с использованием маркера автозаполнения на весь столбец.

Из полученной таблицы находим, что значение функции трижды меняет знак, следовательно, исходное уравнение имеет на заданном отрезке три корня.

2. Выделить цветом пары значений x и f ( x ), где f ( x ) меняет знак (см .р исунок 2).

3. Построить график функции f ( x ).

Рисунок 2. Поиск приближенных значений корней уравнения

4. Скопировать рядом с таблицей произвольную пару выделенных значений x и f ( x ) (см .р исунок 3).

5. Выполнить команду меню Сервис/Подбор параметра. В диалоговом окне (рисунок 3) заполнить следующие поля:

þ Установить в ячейке : в поле указывается адрес ячейки, в которой записана формула правой части функции;

þ Значение : в поле указывается значение, которое должен получить полином в результате вычислений, т.е. правая часть уравнения (в нашем случае 0);

þ Изменяя значение : в поле указывается адрес ячейки (где записано начальное приближение), в которой будет вычисляться корень уравнения и на которую ссылается формула.

Рисунок 3. Диалоговое окно Подбор параметра для поиска первого корня

6. После щелчка на ОК должно получиться значение первого корня -1,65793685 .

7. Выполнить последовательно операции, аналогичные предыдущим, для вычисления значений остальных корней: -0,35913476 и 2,05170101 .

Задание 2

Решить систему уравнений:

1. Ввести значения элементов матриц A и B уравнения в ячейки Excel .

2. Вычислить обратную матрицу с помощью матричной функции МОБР.

3. Перемножить обратную матрицу A -1 на матрицу B с помощью матричной функции МУМНОЖ (Порядок умножения важен ­– первой должна идти матрица A -1 а второй B .)

4. Проверить правильность полученной матрицы корней X .

Контрольные вопросы

1. Порядок действий для решения нелинейного уравнения с помощью инструмента Подбор параметра MS Excel .

2. Порядок действий для решения системы уравнений матричным методом в MS Excel .