Нелинейные уравнения с одним неизвестным подразделяются на

Нелинейные уравнения с одним неизвестным подразделяются на

Общие сведения о численном решении уравнений с одним неизвестным

Пусть задана непрерывная функция f(x). Требуется найти корни уравнения f(x) = 0 численными методами – это и является постановкой задачи. Численное решение уравнения распадается на несколько подзадач:

1. Анализ количества, характера и расположения корней (обычно путем построения графика функции или исходя из физического смысла исследуемой модели). Здесь возможны следующие варианты:
   • единственный корень;
   • бесконечное множество решений;
   • корней нет;
   • имеется несколько решений, как действительных, так и мнимых (например, для полинома степени n). Корни четной кратности выявить сложно.
2. Локализация корней (разбиение на интервалы) и выбор начального приближения к каждому корню. В простейшем случае можно протабулировать функцию с заданным шагом.

Если в двух соседних узлах функция будет иметь разные знаки, то между этими узлами лежит нечетное число корней уравнения (по меньшей мере один).

Метод дихотомии (бисекций)

Иначе называется методом половинного деления. Пусть задан начальный интервал [x₀, x₁], на котором f(x₀)f(x₁) ≤ 0 (т.е. внутри имеется не менее чем один корень). Найдем x₂ = ½ (x₀ + x₁) и вычислим f(x₂). Если f(x₀)f(x₂) ≤ 0, используем для дальнейшего деления отрезок [x₀, x₂], если > 0 – используем для дальнейшего деления отрезок [x₁, x₂], и продолжаем деление пополам.

Итерации продолжаются, пока длина отрезка не станет меньше 2ξ – заданной точности. Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью. В качестве иного критерия можно взять
| f(x)| ≤ ξ_y.

Скорость сходимости метода невелика, однако он прост и надежен. Метод неприменим к корням четной кратности. Если на отрезке несколько корней, то заранее неизвестно, к какому из них сойдется процесс.

Если на заданном интервале предполагается несколько корней, то существует возможность последовательно исключать найденные корни из рассмотрения. Для этого воспользуемся вспомогательной функцией , где – только что найденный корень. Для функций f(x) и g(x) совпадают все корни, за исключением (в этой точке полюс функции g(x)). Для достижения требуемой точности рекомендуется грубо приблизиться к корню по функции g(x), а затем уточнить его, используя f(x).

Идея метода проиллюстрирована рисунком. Задается интервал [ x₀, x₁], на котором f(x₀)f(x₁) ≤ 0, между точками x₀ и x₁ строится хорда, стягивающая f(x). Очередное приближение берется в точке x₂, где хорда пересекает ось абсцисс. В качестве нового интервала для продолжения итерационного процесса выбирается тот, на концах которого функция имеет разные знаки. Условия выхода из итерационного цикла: или | f(x)| ≤ ξ_y.

Для вывода итерационной формулы процесса найдем точку пересечения хорды (описываемой уравнением прямой) с осью абсцисс: ax₂ + b = 0, где ; b = f(x₀) — ax₀.

Отсюда легко выразить .

Метод хорд в большинстве случаев работает быстрее, чем метод дихотомии. Недостатки метода те же, что и в предыдущем случае.

Метод Ньютона (касательных.

Пусть x₀ – начальное приближение к корню, а f(x) имеет непрерывную производную. Следующее приближение к корню найдем в точке x₁, где касательная к функции f(x), проведенная из точки (x₀, f₀), пересекает ось абсцисс. Затем точно так же обрабатываем точку(x₁, f₁), организуя итерационный процесс. Выход из итерационного процесса по условию .

Уравнение касательной, проведенной из точки (x₀, f₀): y(x) = f / (x₀)(x-x₀) + f(x₀) дает для y ( x ₁) = 0 следующее выражение:

, (1)

которое и используется для организации итерационного процесса. Итерации сходятся, только если всюду выполняется условие ; в противном случае сходимость будет не при любом начальном приближении, а только в некоторой окрестности корня. Итерации будут сходиться к корню с той стороны, с которой .

Метод обладает самой высокой скоростью сходимости: погрешность очередного приближения примерно равна квадрату погрешности предыдущего приближения. Метод можно использовать для уточнения корней в области комплексных чисел, что необходимо при решении многих прикладных задач, например при численном моделировании электромагнитных колебательных и волновых процессов с учетом временной и пространственной диссипации энергии.

Недостатком метода можно указать необходимость знать явный вид первой и второй производных, так как их численный расчет приведет к уменьшению скорости сходимости метода. Иногда, ради упрощения расчетов, используют т.н. модифицированный метод Ньютона, в котором значениеf / (x) вычисляется только в точке x₀, при этом число итераций увеличивается, но расчеты на каждой итерации упрощаются.

В отличие от метода Ньютона, можно заменить производную первой разделенной разностью, найденной по двум последним итерациям, т.е. заменить касательную секущей. При этом первый шаг итерационного процесса запишется так:

.

Для начала итерационного процесса необходимо задать x₀ и x₁, которые не обязательно ограничивают интервал, на котором функция должна менять знак; это могут быть любые две точки на кривой. Выход из итерационного процесса по условию .

Сходимость может быть немонотонной даже вблизи корня. При этом вблизи корня может происходить потеря точности, т.н. «разболтка решения», особенно значительная в случае кратных корней. От разболтки страхуются приемом Гарвика: выбирают некоторое ξ_x и ведут итерации до выполнения условия . Затем продолжают расчет, пока убывает. Первое же возрастание может свидетельствовать о начале разболтки, а значит, расчет следует прекратить, а последнюю итерацию не использовать.

Метод простых итераций.

Суть метода простых итераций в принципе совпадает с методом, изложенным для решения систем линейных алгебраических уравнений. Для нелинейного уравнения метод основан на переходе от уравнения

К эквивалентному уравнению x = φ(x). Этот переход можно осуществить разными способами, в зависимости от вида f(x). Например, можно положить

где b = const, при этом корни исходного уравнения (2) не изменятся.

Если известно начальное приближение к корню x₀, то новое приближение x₁ = φx(₀), т.е. общая схема итерационного процесса:

Наиболее простой критерий окончания процесса .

Критерий сходимости метода простых итераций: если вблизи корня |φ / (x)| / (x)| = 0. При этом, исходя из (3), b = –1/f / (x), и итерационная формула (4) переходит в

,

т.е. в формулу метода Ньютона (1). Таким образом, метод Ньютона является частным случаем метода простых итераций, обеспечивающим самую высокую скорость сходимости из всех возможных вариантов выбора функции φ(x).

Методические указания

Министерство образования И НАУКИ Российской Федерации

ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ В ЭКОНОМИКЕ

к выполнению лабораторного практикума

по дисциплине «Вычислительные методы»

Часть 1. Численное решение нелинейных уравнений

Махачкала, 2004 г.

Методические указания к выполнению лабораторного практикума по дисциплине «Вычислительные методы». Часть 1 — Численное решение нелинейных уравнений. Махачкала, ДГТУ, 2004,

Методические указания предназначены для студентов дневной и заочной форм обучения специальностей 351401 — «Прикладная информатика в экономике» и 351403 — «Прикладная информатика в юриспруденции».

Часть 1 методических указаний содержит краткие теоретические сведения о численных методах решения нелинейных уравнений, блок-схемы алгоритмов, методические примеры, индивидуальные задания к выполнению лабораторных работ.

Составители: зав. кафедрой ИСЭ, д. э.н., проф. ;

ст. преп. кафедры ИСЭ, к. ф.-м. н.

научно-исследовательского и технологического

института при Правительстве Республики,

, зав. кафедрой высшей

математики ДГТУ, профессор

Печатается по решению Совета Дагестанского технического университета

от «______»______________2004 г.

Внедрение ЭВМ во все сферы человеческой деятельности требует от специалистов разного профиля овладения навыками использования ВТ. Органической частью фундаментальной подготовки студентов является изучение таких направлений применения ЭВМ, как основы вычислительной техники и программирования, численные методы решения инженерных и экономических задач, методы оптимизации и оптимального управления и т. д.

Данные методические указания посвящены вопросам практического использования вычислительных методов.

Вычислительные методы и алгоритмы разрабатывают и исследуют, как правило, высококвалифицированные специалисты-математики. Что касается подавляющей части студентов, то для них главной задачей является понимание основных идей методов, особенностей и областей их применения.

В данной работе в кратком виде приводятся основные необходимые сведения о вычислительных методах решения прикладных задач. Для рассматриваемых методов приводятся основные теоретические сведения, методические примеры, блок-схемы алгоритмов, а также индивидуальные задания.

В нумерации формул первая цифра соответствует номеру лабораторной работы, а вторая – порядковому номеру формулы в лабораторной работе.

Решение задач ориентировано на использование ПЭВМ. Указания являются полезными при выполнении лабораторных работ по курсам:

— прогнозирование социально-экономических процессов в Дагестане;

— имитационное моделирование экономических процессов;

— статистика правонарушений и экономические преступления в РД;

— анализ и прогнозирование правонарушений;

Структура отчета по лабораторной работе

1. Постановка задачи.

2. Теоретические сведения о методе решения задачи.

3. Блок-схема алгоритма решения задачи.

4. Текст программы.

5. Результаты и их анализ.

Отчет по лабораторной работе студент пишет от руки в ученической тетради и защищает его перед преподавателем.

Лабораторная работа №1

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

методом половинного деления

В общем случае нелинейное уравнение можно записать в виде:

(1.1.)

где функция определена и непрерывна на конечном или беско­нечном интервале .

Всякое число , обращающее функцию в нуль, т. е. такое, при котором , называется корнем уравнения (1.1). Число x называется корнем k-й кратности, если при вместе с функцией равны нулю ее производные до (k-1)-го порядка вклю­чительно:

Однократный корень называется простым.

Два уравнения F(x) и G(x) называются равносильными (экви­валентными), если всякое решение каждого из них является реше­нием и для другого, т. е. множества решений этих уравнений сов­падают.

Нелинейные уравнения с одним неизвестным подразделяются на алгебраические и трансцендентные.

Уравнение (1.1) называется алгебраическим, если функция является алгебраической функцией. Путем алгебраических преоб­разований из всякого, алгебраического уравнения можно получить уравнение в канонической форме:

где ,,…, —коэффициенты уравнения, а — неизвестное. Показатель п называют степенью алгебраического уравнения.

Известно, что всякое алгебраическое уравнение имеет, по крайней мере, один корень вещественный или комплексный.

При приведении алгебраического уравнения (1.1) к канони­ческой форме будем иметь те же корни, что и для исходного урав­нения. Однако при этом могут появиться некоторые лишние корни. Например, уравнение

может быть приведено к канонической форме:

.

Если функция F(x) не является алгебраической — показательной, логарифмической, тригонометрической, то уравнение (1.1) называется трансцендентным. Примерами трансцендентных урав­нений являются:

В некоторых случаях решение трансцендентных уравнений можно свести к решению алгебраических уравнений.

Поскольку подавляющее большинство нелинейных уравнений с одной переменной не решается путем аналитических преобразо­ваний (точными методами), на практике их решают только числен­ными методами. Решить такое уравнение — это значит: установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти значения корней с за­данной точностью. Задача численного нахождения действитель­ных и комплексных корней уравнения (1.1) обычно состоит из двух этапов: отделение корней, т. е. нахождение достаточно малых окрестностей рассматриваемой области, в которых содержится одно значение корня, и уточнение корней, т. е. вычисление корней с заданной степенью точности в некоторой окрестности.

В дальнейшем будем рассматривать численные методы нахож­дения действительных корней уравнения (1.1). Наиболее распро­страненными на практике численными методами решения урав­нения (1.1) являются: метод половинного деления, метод хорд, метод касательных (Ньютона), комбинированный метод, метод итераций. Применение того или иного, численного метода для реше­ния уравнения (1.1) зависит от числа корней, задания исходного приближения и поведения функции F(x).

Остановимся подробно на наиболее часто используемых на ЭВМ методе половинного деления

1.2. ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ

Первый этап численного решения уравнения (1.1) состоит в отделении корней, т. е. в установлении «тесных» проме­жутков, содержащих только один корень. Отделение корней во многих случаях можно произвести графически. Принимая во вни­мание, что действительные корни уравнения (1.1)—это точки пересечения графика функции F(x) с осью абсцисс, достаточно построить график F(x) и отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение (1.1) равносильным ему уравнением

(1.2)

В этом случае строятся графики функций f1(x) и f2(x), а потом на оси Ох отмечаются отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения этих графиков.

ПримерДля графического отделения корней уравнения sin2х – lnx = 0 выгодно отдельно построить графики функций sin2x и ln (х) (рис. 1).

Из графика следует, что уравнение имеет корень, принадле­жащий отрезку [1; 1,5|.

В сомнительных случаях графическое отделение корней необ­ходимо подкрепить вычислениями. При этом полезно использовать следующие очевидные положения:

1) если непрерывная на отрезке [а; b] функция F(x) принимает на его концах значения разных знаков (т. е. F(a)∙F(b) 0, так что отрезком отделения корней можно считать [1,3; 1,5].

Для отделения корней можно эффективно использовать ЭВМ.

Пусть имеется уравнение F(x)=0, причем можно считать, что все интересующие нас корни находятся на отрезке [A; B], в котором функция F(x) определена, непрерывна и F(A)∙F(B) -10

при x 1. Тогда вместо функции у = φ(х) рассмот­рим функцию х = g(у), обратную для φ(х). Будем теперь решать урав­нение у = g(у) (или, в старых обозначениях, х = g(х)). По свойству производных обратных функций теперь на отрезке [а; b] будет иметь место:

,

так что для уравнения х=g(х), равносильного исходному, условие (3) теоремы 2.1 оказывается выполненным.

Для ручных вычислении (с помощью калькулятора) корня по методу итераций может ис­пользоваться расчетная таблица, содержащая обычную поопера­ционную запись формулы φ(х) (табл. 2.1). Полученное в результате одного «прохода» вычислений в правом столбце очередное прибли­жение корня сразу же переносится в следующую строку столбца хп и процесс повторяется.

Пример 2.1. Уточнить с помощью калькулятора корень урав­нения sin2x — lnx = 0 на отрезке [1,3;1,5] методом итераций с точностью до 10-4.

Исходное уравнение можно привести к итерационному виду несколькими способами, например:

Исследуем возможность применения к полученным представле­ниям метода итераций.

1. В первом случае φ(х) = ехр (sin2х). Функция f(x) определена и дифференцируема на отрезке [1,3; 1,5|, однако второе условие теоремы 1.1 не выполняется: с помощью калькулятора получаем f(1,3)= 1,674478, т. е. уже в левом конце отрезка значение функции выходит за пределы отрезка.

2. Рассмотрим второе представление. Уравнение, равносильное исходному на отрезке [1,3; 1,5], получается при

Здесь φ(х) =(π – arcsin lnx)/2. Замечаем, что для всех х отрезка [1,3; 1,5], будет , следовательно, функция f(х) монотонно убывает на этом отрезке.

Вычислим ее значение в концах отрезка [1,3; 1,5]:

Так как полученные значения входят в отрезок [1,3; 1,5], а функ­ция φ(x) монотонна, то отсюда следует, что второе условие теоре­мы 2.1 выполняется.

Для проверки третьего условия исследуем модуль производ­ной функции φ(x) на отрезке [1,3; 1,5]:

.

Найдем производную функции

.

Заметим, что φ1′(х) на отрезке [1,3; 1,5] всюду отрицательна. Это значит, что φ1(х) = |f‘(x)| на этом отрезке убывает и достигает мак­симума на левом конце: | φ'(1,3)| =0,3846153.

Таким образом, условие (3) теоремы 2.1 будет выполнено, если принять q = 0,39. Уточнение корня уравнения (2.13) с нулевым значением x0 =1,4 на калькуляторе приведено в таблице 2.2.

Используя оценочную формулу (2.11) и принимая во внимание исходные значения ε = 10-4 и (q = 0,39, уже для третьего прибли­жения имеем: х3 — x2

Уравнения с одним неизвестным. Вводные замечания

Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида

встречается в различных областях научных исследований (здесь F(x) – некоторая непрерывная функция). Нелинейные уравнения можно разделить на два класса – алгебраические и трансцендентные. Алгебраическимиуравнениями называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие (не алгебраические) функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.), называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямыеметоды – методы, которые позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры читателю известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Однако встречающиеся на практике уравнения часто не удается решить такими простыми методами. Для их решения используются итерационныеметоды, т.е. методы последовательных приближений. Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения с помощью итерационного метода состоит из двух этапов: а) отыскания приближенного значения корня (начального приближения); б) уточнения приближенного значения до некоторой заданной степени точности. В некоторых методах отыскивается не начальное приближение, а некоторый отрезок, содержащий корень.

Начальное приближение может быть найдено различными способами: из физических соображений, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, с помощью графических методов. Если такие априорные оценки исходного приближения провести не удается, то находят две близко расположенные точки а и b, в которых непрерывная функция F(x) принимает значения разных знаков, т.е. F(a)F(b) Будет полезно почитать по теме: