Нелинейные уравнения установившегося режима в форме баланса мощностей

Системы нелинейных уравнений установившегося режима и методы их решения

Нелинейные уравнения установившегося режима получаем в том случае, если нагрузка или генерация в узлах сети задана в виде постоянной мощнос-ти.

Математическая модель установившегося режима электрической сети в общем виде представляется как система нелинейных алгебраических урав-нений в форме балансов токов или баланса мощностей с комплексными неиз-вестными и коэффициентами при них.

Такие системы уравнений решаются только итерационными методами.

В общем виде уравнения установившегося режима можно представить в виде системы неявных функций:

(1)

где W — вектор-функция,

X и Y — вектор-столбцы независимых и зависимых параметров режима.

Независимые параметры X — это заданные параметры режима (P, Q, U). В ходе расчета они остаются неизменными. Зависимые параметры Y – пара-метры режима, которые вычисляются в результате решения системы урав-нений установившегося режима ( U΄, U˝, Q_i).

В состав векторов X и Y могут входить различные параметры режимов в зависимости от постановки задачи, целей расчетов и.д.

При расчетах установившегося режима значения элементов вектора X неизменны , тогда (1) мы можем записать с учетом того, что основ-ной состав элементов вектора Y — это напряжения, т.е. :

(2)

Нелинейные уравнения формируются при задании нелинейных источников тока в узлах ( генераторы с постоянной мощностью, нагрузки потребителей с постоянной мощностью, нагрузки, заданные статическими характеристика-ми). Постоянная мощность нагрузки или генерации задается в виде узлового тока:

где S = const – заданная мощность в узле;

U – напряжение в узле;

I(U) – нелинейный источник тока.

Тогда СНАУ установившегося режима в форме баланса токов имеет вид:

(3)

В матричной форме:

.

Это система n комплексных уравнений. Систему будем решать методами Зейделя и Ньютона-Рафсона.

Из системы (3) в результате несложных преобразований можно получить СНАУ в форме баланса мощности:

(4)

где U * _диаг – диагональная матрица, на главной диагонали которой размеща-

ются сопряжённые комплексы напряжения;

Y_б — вектор взаимных проводимостей узлов сети с опорным.

Для решения системы уравнений итерационными методами, её нужно прео-бразовать – решить каждое уравнение относительно одной из неизвестных величин U_i:

В матричном виде: U = G(U).

В итерационной форме: U (к+1) = G(U (к) ).

Пример использования метода Ньютона для решения УУН

УЧЕТ КОМПЛЕКСНОГО ХАРАКТЕРА

ПАРАМЕТРОВ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ И РЕЖИМА[1]

Система уравнений узловых напряжений для цепи переменного тока:

.

(9.7)

При решении на ЭВМ системы уравнений узловых напряжений для сети переменного тока, как правило, она приводится к системе действительных уравнений порядка , где — число узлов схемы. Для этого представляют матрицы и вектор — столбцы с комплексными элементами в виде сумм матриц и вектор — столбцов с действительными элементами (при этом надо в виде такой суммы представить каждый комплексный элемент и учесть правило сложения матриц):

(9.8)

Подставляя (9.8) в (9.7), получим:

(9.9)

Уравнение (9.9) переписываем, разделяя действительные и мнимые слагаемые.

.	(9.10)
.	(9.11)

Иными словами, систему уравнений узловых напряжений для цепи переменного тока можно записать в виде блочного матричного уравнения:

(9.12)

Выражение (9.12) является системой действительных уравнений порядка и содержит неизвестных действительных и мнимых составляющих узловых напряжений, представленных в форме действительных чисел.

ОПИСАНИЕ РАСЧЕТА УР С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Нелинейные уравнения установившегося режима в общей форме можно записать в виде системы неявных функций:

(9.53)

где — вектор-функция.

Эти уравнения связывают между собой параметры установившегося режима электрической системы. Часть параметров режима задана (независимые переменные ). Обозначим вектор-столбец независимых переменных при расчете установившегося режима . Остальные (зависимые переменные ) могут быть найдены из уравнений установившегося режима. Обозначим вектор-столбец зависимых переменных .

Число зависимых переменных равно числу уравнений установившегося режима. Это означает, что вектор-функция и вектор-столбец имеют одинаковую размерность. В зависимости от постановки задачи и способов задания исходных данных в состав векторов независимых и зависимых переменных и могут входить разные параметры режима.

Разделение параметров режима на зависимые и независимые переменные играет важную роль при оптимизации режимов, при определении предельных по статической апериодической устойчивости режимов и при исследовании существования и единственности решения уравнений установившегося режима.

При расчетах установившегося режима вектор независимых переменных задан, то есть , следовательно, нелинейную систему уравнений (9.53) можно переписать как

(9.54)

Число уравнений в этой системе также равно числу зависимых переменных , то есть равно размерности вектора . В результате решения уравнений УР можно найти все зависимые переменные .

МЕТОД НЬЮТОНА

Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений представляет собой обобщение на многомерный случай метода касательных, применяемого для решения одного нелинейного уравнения.

Идея метода Ньютона состоит в последовательной замене на каждой итерации системы нелинейных уравнений некоторой линейной системой, решение которой дает значения неизвестных, более близкие к решению нелинейной системы, чем исходное приближение. Поясним идею этого метода на примере решения уравнения

	(5.4)
Решение уравнения — точка, в которой кривая проходит через нуль (рисунок 5.1): Рисунок 5.1- Графическая иллюстрация метода Ньютона

Зададим начальное приближение к решению уравнения и вычислим значение функции . Если точка достаточно близка к решению, то для его получения целесообразно разложить функцию в ряд Тейлора в окрестностях точки :

(5.5)

Выражению (5.5) соответствует касательная к функции, проведенная в точке . Такая касательная показана на рисунке 5.1. Для малых значений приближение (5.5) хорошо моделирует саму функцию , поэтому в качестве приближенного решения исходного уравнения целесообразно использовать решение линеаризованного уравнения (5.5), равное

(5.6)

Полученную точку можно использовать в качестве нового приближения и сделать шаг, в результате которого будет найдено приближение и т. д. Итерационный процесс получения решения показан на рисунке 5.1.

Аналогично определяется решение для системы нелинейных уравнений. Рекуррентное выражение, представленное в матричной форме записи, имеет вид:

(5.7)

где — матрица Якоби (или якобиан), составленная из частных производных;

— вектор невязок, вычисленный в точке ;

— вектор поправок к приближению .

Пример использования метода Ньютона для решения УУН

Для электрической сети, представленной на рисунке 5.2, определить напряжения в узлах, используя метод Ньютона (три итерации).

Для рассматриваемой схемы электрической сети может быть записана система нелинейных УУН в форме баланса токов:

(5.8)

Рисунок 5.2	Схема электрической сети.

Для решения методом Ньютона система УУН (5.8) представляется в форме баланса мощностей

(5.9)

И приводится к виду

Рекуррентное выражение метода Ньютона:

,

(5.10)

Где: 1) элементы матрицы Якоби вычисляются по формулам:

,

2) вектор невязок вычисляется в точке по следующим выражениям:

,

3) — вектор поправок к -му приближению .

Новые напряжения вычисляются по выражению

(5.11)

Для схемы электрической сети, представленной на рисунке 5.2, исходная система (5.9) имеет вид:

Начальное приближение: кВ

Вектор невязок записывается:

Элементы матрицы Якоби:

Для заданного начального приближения кВ элементы матрицы Якоби приобретают значение

Подставляем все найденные величины в и получаем систему двух линейных уравнений:

Решив ее, находим:

По выражению (5.11):

кВ

Система двух линейных уравнений:

Решив ее, находим:

По выражению (5.11):

кВ

Система двух линейных уравнений:

Решив ее, находим:

По выражению (5.11):

кВ

Вектор невязок для 4-ой итерации составил бы:

Курсовая работа: Расчет установившегося режима работы электрической системы

Министерство образования и науки Российской Федерации

Пензенский государственный университет

Кафедра «Автоматизированные электроэнергетические системы»

«Расчет установившегося режима работы электрической системы»

пояснительная записка к курсовой работе

по дисциплине: «Математические задачи в электроэнергетике»

Выполнил: ст. гр. 02РЭ1

Принял: к.т.н., доцент

Реферат

Объект исследования: электрическая система.

Цель работы: рассчитать напряжения в узлах электрической системы в установившемся режиме с помощью программы, написанной на любом языке программирования.

Методы расчетов: аналитические. Результатом работы является программа, рассчитывающая напряжения в узлах электрической системы.

Содержание

2. Определение параметров схемы замещения электрической системы. Формирование матрицы узловых проводимостей

2.1 Схемы замещения элементов электрической системы

2.1.1 Схема замещения ВЛ-500 кВ и определение ее параметров

2.1.2 Схема замещения автотрансформатора АОДЦТН-167000/500/220

2.1.3 Схема замещения ВЛ-220 кВ, определение ее параметров

2.1.4 Схема замещения автотрансформатора АТДЦТН-200000/220/110

2.1.5 Схема замещения трансформатора ТРДЦН-100000/220

2.2 Схема замещения электрической системы

2.3 Расчетная схема

2.4 Диагональная матрица проводимостей ветвей

2.5 Граф расчетной схемы

2.6 Расчет матрицы узловых проводимостей

3. Нелинейные уравнения установившегося режима

3.1 Метод Зейделя

3.2 Метод Ньютона

Список использованной литературы

Введение

Современные электроэнергетические системы относятся к категории сложных. Данные системы имеют весьма глубокие внутренние связи и состоят из большого числа взаимосвязанных и взаимодействующих между собой элементов. При изучении таких систем мы не можем расчленить их на составляющие, изучать влияние отдельных параметров «по одному», так как сложная система в целом обладает новыми свойствами, не свойственными её отдельным элементам. Решаемые задачи электроэнергетики являются многофункциональными, многопараметрическими, громоздкими, требующими сложных и объемных решений. По этой причине электроэнергетика является одной из отраслей народного хозяйства, где нашли широкое применение различные моделирующие и вычислительные устройства.

В настоящее время основным методом моделирования в электроэнергетике является метод численного решения задачи, который включает в себя следующие этапы: техническая постановка задачи, математическая, выбор модели, выбор алгоритма, составление программы.

Для расчета установившегося режима электрической системы на этапе технической постановки задачи формируется или задается схема электрической сети; на этапе математической постановки задачи формируется первичная модель, то есть схеме-оригиналу ставится в соответствие схема замещения и граф, описывающий эту схему, формулируются в виде математических выражений решений об ограничениях системы, о допустимых упрощениях. На этапе выбора модели решается, с помощью каких средств будет решаться задача: с помощью готового пакета программ, например MathCad , или с помощью собственной разрабатываемой программы. Для расчета систем нелинейных уравнений в основном используют три алгоритма: метод Гаусса, метод Зейделя и метод Ньютона.

1. Описание

На рис. 1 изображена однолинейная схема электрической системы.

Данные по ЛЭП приведены в табл. 1.

Таблица 1

				l2
220	АС400/51	110	АС300/39	200	АС400/51	110	АС500/64	220	АС240/32

Данные по нагрузкам приведены в табл. 2.

2. Определение параметров схемы замещения электрической системы. Формирование матрицы узловых проводимостей

Определим параметры схемы замещения элементов электрической системы. Все удельные параметры для ВЛ и каталожные данные трансформаторов находим по справочным данным.

Все параметры схем замещения приводим к номинальному напряжению 220 кВ.

2.1 Схемы замещения элементов электрической системы

2.1.1 Схема замещения ВЛ-500 кВ и определение ее параметров

Двухцепная ВЛ-500 кВ выполнена с расщеплением фазы на три провода марки АС-400/51. Длина линии

Схема замещения ВЛ-500 кВ изображена на рис. 2.

На 100 км длины , , . Так как напряжение лини больше 330 кВ, то необходимо учесть потери на корону, которые для ВЛ-500 кВ составляют примерно 5,6 кВт/м. Так как линия Двухцепная, то необходимо все параметры продольной ветви поделить на 2, поперечных ветвей умножить на 2.

Приведение параметров к номинальному напряжению происходит путем умножения их на коэффициент трансформации в квадрате () – для продольной ветви, и деления на для поперечных ветвей.

2.1.2 Схема замещения автотрансформатора АОДЦТН-167000/500/220

Схема замещения трансформатора представлена на рис. 3.

Каталожные данные автотрансформатора АОДЦТН-167000/500/220:

Параметры поперечной ветви:

Рассчитаем каждой фазы:

рассчитаем активные сопротивления каждой фазы:

рассчитаем каждой фазы:

рассчитаем реактивные сопротивления каждой фазы:

рассчитаем приведенные активные сопротивления каждой фазы:

рассчитаем приведенные реактивные сопротивления каждой фазы:

Рассчитаем полные сопротивления каждой фазы и полную проводимость поперечной ветви:

2.1.3 Схема замещения ВЛ-220 кВ, определение ее параметров

Для ВЛ-220 кВ допустимо не учитывать потер на корону. Схема замещения ВЛ-220 кВ изображена на рис. 4.

Двухцепная линия выполнена проводами марки АС-300/39

Длина линии .

На 100 км: , , .

Одноцепная линия выполнена проводами марки АС-400/51.

Длина линии .

На 100 км: , , .

Одноцепная линия выполнена проводами марки АС-500/64.

Длина линии .

На 100 км: , , .

Одноцепная линия выполнена проводами марки АС-240/32.

Длина линии .

На 100 км: , , .

2.1.4 Схема замещения автотрансформатора АТДЦТН-200000/220/110

Схема замещения автотрансформатора аналогична схеме замещения автотрансформатора АОДЦТН-167000/500/220

Каталожные данные автотрансформатора АТДЦТН-200000/220/110:

Параметры поперечной ветви:

Рассчитаем каждой фазы:

рассчитаем активные сопротивления каждой фазы:

рассчитаем каждой фазы:

рассчитаем реактивные сопротивления каждой фазы:

рассчитаем приведенные активные сопротивления каждой фазы:

рассчитаем приведенные реактивные сопротивления каждой фазы:

Рассчитаем полные сопротивления каждой фазы и полную проводимость поперечной ветви:

2.1.5 Схема замещения трансформатора ТРДЦН-100000/220

Схема замещения двухобмоточного трансформатора изображена на рис. 5.

Каталожные данные трансформатора ТРДЦН-100000/220:

Параметры схемы замещения:

2.2 Схема замещения электрической системы

На рис. 8 изображена схема замещения электрической системы. Все параметры схемы замещения рассчитаны в пункте 2.1.

2.3 Расчетная схема

Просуммировав проводимости, имеющие общий узел, и объединив все нейтрали N в один узел, получим расчетную схему.

Расчетная схема с пронумерованными ветвями и буквенными обозначениями узлов изображена на рис. 9.

2.4 Диагональная матрица проводимостей ветвей

Т.к. количество ветвей следуемой расчетной схемы – 17, то размерность матрицы проводимостей ветвей – 17´17. Определим диагональные элементы матрицы :

2.5 Граф расчетной схемы

По расчетной схеме, изображенной на рис. 9. составим граф. Для каждой ветви графа расчетной схемы произвольно задается направление. Граф расчетной схемы изображен на рис. 10.

По графу составляем матрицу соединений ветвей узлов (первая матрица инциденций) — .

В матрице отбрасываем строку, соответствующую балансирующему узлу. В качестве балансирующего узла принимаем узел O.

Запишем матрицу M :

2.6 Расчет матрицы узловых проводимостей

Матрица узловых проводимостей может быть определена следующим образом:

где – транспонированная матрица соединений ветвей и узлов,

– диагональная матрица проводимостей ветвей, элементы матрицы определены в пункте 2.4.

Решая матричное уравнение

в среде MathCAD, получена следующая матрица узловых проводимостей :

3. Нелинейные уравнения установившегося режима

Нелинейные уравнения узловых напряжений описывают установившийся режим электрической системы при задании нелинейных источников тока. В схеме замещения электрической системы нелинейным источникам тока соответствуют генераторы с заданной мощностью, либо нагрузки потребителей, заданные статической характеристикой или постоянной мощностью. При заданной мощности нагрузки потребителя и генератора ток задается в следующем виде:

где – сопряженная заданная мощность трех фаз -го узла;

– сопряженный комплекс междуфазного напряжения -го узла;

– нелинейный ток, зависящий от напряжения.

В матричной форме уравнения узловых напряжений имеют вид:

где – вектор-столбец, -й элемент которого равен ;

– заданное напряжение балансирующего узла.

Записанное уравнение – уравнение узловых напряжений в форме баланса токов.

Уравнения узловых напряжений можно записать в форме баланса мощности. В матричной форме:

где – диагональная матрица, -й диагональный элемент которой равен сопряженному комплексу напряжения -го узла.

Нелинейные уравнения установившегося режима в общей форме можно записать в виде системы неявных функций:

где – вектор-функция;

и – вектор-столбцы зависимых и независимых параметров режима.

При расчетах вектор независимых переменных задан, т.е. .

Нелинейную систему можно записать:

3.1 Метод Зейделя

Метод Зейделя может применяться для решения нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов. Итерационный процесс Зейделя определяется выражением:

Сходимость метода Зейделя к решению нелинейных уравнений установившихся режимов медленная. Для ускорения сходимости метода Зейделя применяются ускоряющие коэффициенты. Основное достоинство метода Зейделя состоит в том, что он легко программируется и требует малой оперативной памяти. Недостаток метода – в медленной сходимости, или расходимости. Метод Зейделя особенно медленно сходится и расходится в расчетах установившихся режимов электрических систем с устройствами продольной компенсации, с трехобмоточными трансформаторами или автотрансформаторами с очень малым сопротивлениями обмотки среднего напряжения и для систем с сильной неоднородностью параметров.

Результаты решения нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов в среде MathCAD методом Зейделя, а так же сама программа расчета, приведены в Приложении.

3.2 Метод Ньютона

Идея метода Ньютона состоит в последовательной замене на каждой итерации системе нелинейных уравнений некоторой линейной системой, решение которой дает значение неизвестных, более близкие к решению нелинейной системы, чем исходное приближение.

Рассмотрим решение по методу Ньютона системы нелинейных уравнений с действительными переменными:

Если использовать вектор-столбец и вектор-функцию , где

,

то систему нелинейных уравнений можно записать в матричном виде:

Пусть , , — начальные приближения неизвестных. Заменим каждое из нелинейных уравнений линейным, полученным разложением в ряд Тейлора.

Запишем матрицу Якоби, т.е. матрицу производных системы функций , по переменным :

Тогда систему линеаризованных уравнений можно зависать в матричном виде:

Эта система линейна относительно поправок

.

Матрица Якоби не должна быть вырожденной, тогда решая полученную систему (линейную) любым способом, находим первое приближение переменных:

Каждый шаг итерационного процесса состоит из решения линейной системы:

и определения следующего приближения неизвестных:

Контроль сходимости осуществляется по вектору невязок:

Уравнение узловых напряжений в форме баланса мощностей для -го узла можно записать в следующем виде:

Слагаемое внесено в сумму, балансирующему узлу присвоен номер .

Выделим в уравнении действительные и мнимые части:

где , – соответственно небалансы активных и реактивных мощностей в узле ;

, – вектор-столбцы действительных и мнимых составляющих напряжений.

В расчетах на ЭВМ обычно в качестве неизвестных используются модули и фазы напряжений узлов и .

Уравнение баланса мощностей для -го узла при переменных и :

где

Уравнение в форме баланса мощностей:

С учетом реальных условий в электрических системах можно пренебречь недиагональным элементами матрицы Якоби, т.е.

Метод Ньютона очень быстро сходится и имеет высокую надежность.

Результаты решения нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса мощностей в полярной системе координат в среде MathCAD методом Ньютона, а так же сама программа расчета, приведены в Приложении.

Заключение

В курсовой работе была рассмотрена сложная электрическая система. Подробно рассмотрено составление схемы замещения электрической системы и расчет матрицы узловых проводимостей. Приводятся основные методы решения нелинейных уравнений установившегося режима работы электрической системы. Разработана программа в среде MathCAD для решения нелинейных систем методам Ньютона и Зейделя. Предпочтение отдается методу Ньютона из-за высокой надежности и быстрой сходимости.

Список использованной литературы

1. «Справочник по проектированию электроснабжения, линий электропередачи и сетей». Под ред. Я.М. Большама, В.И. Круповича, М.Л. Самовера; М.: «Энергия», 1974г.

2. «Справочник по электроснабжению промышленных предприятий». Под ред. А.А. Федорова, Г.В. Сербиновского. М.: «Энергия», 1973г.

3. «Электрические системы и сети». Под ред. Л.Н. Баптиданова. Л.: «Госэнергоиздат», 1963г.

4. Конспекты лекций по «Математическим задачам в энергетике».