Нелинейным называется уравнение регрессии если

Уравнение нелинейной регрессии

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Уравнение множественной регрессии

Виды нелинейной регрессии

Здесь ε — случайная ошибка (отклонение, возмущение), отражающая влияние всех неучтенных факторов.

Уравнению регрессии первого порядка — это уравнение парной линейной регрессии.

Уравнение регрессии второго порядка это полиномальное уравнение регрессии второго порядка: y = a + bx + cx 2 .

Уравнение регрессии третьего порядка соответственно полиномальное уравнение регрессии третьего порядка: y = a + bx + cx 2 + dx 3 .

Чтобы привести нелинейные зависимости к линейной используют методы линеаризации (см. метод выравнивания):

1. Замена переменных.
2. Логарифмирование обеих частей уравнения.
3. Комбинированный.

Пример . По данным, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
2. Рассчитать параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.
3. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
5. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
6. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование.
7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 15% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α=0,05 .
8. Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

Решение. В калькуляторе последовательно выбираем виды нелинейной регрессии. Получим таблицу следующего вида.
Экспоненциальное уравнение регрессии имеет вид y = a e bx
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + bx
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.000162, a = 7.8132
Уравнение регрессии: y = e 7.81321500 e 0.000162x = 2473.06858e 0.000162x

Степенное уравнение регрессии имеет вид y = a x b
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + b ln(x)
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.9626, a = 0.7714
Уравнение регрессии: y = e 0.77143204 x 0.9626 = 2.16286x 0.9626

Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид y = b/x + a + ε
После линеаризации получим: y=bx + a
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 21089190.1984, a = 4585.5706
Эмпирическое уравнение регрессии: y = 21089190.1984 / x + 4585.5706

Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = b ln(x) + a + ε
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 7142.4505, a = -49694.9535
Уравнение регрессии: y = 7142.4505 ln(x) — 49694.9535

Лекция 5. Тема Нелинейная регрессия

Название	Тема Нелинейная регрессия
Дата	16.02.2021
Размер	200.5 Kb.
Формат файла
Имя файла	Лекция 5.doc
Тип	Документы #176688

U = a + bX; U = 1/Y

С этим файлом связано 4 файл(ов). Среди них: Bukhgaltersky upravlenchesky uchyot_shpory.doc, 580_taym-men edzhment.doc, vnutrennyaya politika_ale ksandra_i.doc, ККЛ Страховой бизнес_Пожидаева.doc. Показать все связанные файлы Подборка по базе: курсовая Хайрутдинова Д.Ш. гр.1891 тема Пособие по временной нет, Бизнес-коммуникации, тема 1.docx, задачи 6 тема.docx, 1 тема лучевая диагностика.docx, Задание к лекции № 3. – Тема «Деятельность и общение».docx, контр вопросы тема 5 .pdf, Состав правонарушения. тема 4 (3).ppt, 3 лекция биоэтика Сд-рус.pptx, 320 гр. Шнякин Доклад 7 занятие 17 тема Во что вкладывают деньги, Лукъянова лекция.docx Тема 3. Нелинейная регрессия 1. Модели нелинейной регрессии Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций: гиперболы у = a + b/x + , параболы у = а + b  x + c  x 2 +  и др. Различают два класса нелинейных регрессий: – регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам; – регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам. Примером нелинейной регрессии по включенным в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции: К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции: Нелинейная регрессия по включенным переменным не имеет никаких сложностей для оценки ее параметров. Они определяются, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в параболе второй степени заменив переменные x = x1, x 2 = x2, получим двухфакторное уравнение линейной регрессии: для оценки параметров которого используется МНК Соответственно для полинома третьего порядка при замене x = x1, x 2 = x2, x З = x3 получим трехфакторную модель линейной регрессии а для полинома k-го порядка получим линейную модель множественной регрессии с k объясняющими переменными: Следовательно, полином любого порядка сводится к линейной регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез. Как показывает опыт большинства исследователей, среди нелинейной полиномиальной регрессии чаще всего используется парабола второй степени; в отдельных случаях – полином третьего порядка. Ограничения в применении полиномов более высоких степеней связаны с требованием однородности исследуемой совокупности: чем выше порядок полинома, тем больше изгибов имеет кривая и соответственно меньше однородность совокупности по результативному признаку. Модели регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, подразделяются на внутренне линейные и внутренне нелинейные. Если нелинейная модель внутренне линейна, то с помощью соответствующих преобразований она может быть приведена к линейному виду. Если же нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции. Например, в эконометрических исследованиях при изучении эластичности спроса от цены широко используется степенная функция , где y – спрос (количество); x – цена;  – случайная ошибка. Данная модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, ибо включает параметры a и b неаддитивно. Однако её можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование данного уравнения по основанию e приводит его к линейному виду: Соответственно оценки параметров a и b могут быть найдены методом наименьших квадратов. В рассматриваемой степенной функции предполагается, что случайная ошибка  мультипликативно связана с объясняющей переменной x. Если же модель представить в виде , то она становится внутренне нелинейной, ибо её невозможно превратить в линейный вид. Внутренне нелинейной будет и модель вида , , потому что эти уравнения не могут быть преобразованы в уравнения, линейные по коэффициентам. В специальных исследованиях по регрессионному анализу к нелинейным часто относят модели, только внутренне нелинейные по оцениваемым параметрам, а все другие модели, которые внешне нелинейны, но путем преобразования параметров могут быть приведены к линейному виду, относят к классу линейных моделей. Например, экспоненциальную модель y = e a + b  x ; ибо, прологарифмировав её по натуральному основанию, получим линейную форму модели Если модель внутренне нелинейна по параметрам, то для оценки параметров используются итеративные процедуры, успешность которых зависит от вида уравнений и особенностей итеративной процедуры. Модели внутренне нелинейные по параметрам, могут иметь место в эконометрических исследованиях; однако большее распространение получили модели, приводимые к линейному виду. Решение такого типа моделей реализовано в стандартных пакетах прикладных программ. По виду преобразования, которое используется для приведения модели к линейному виду, выделяют следующие группы моделей: Двойная логарифмическая модель (и зависимая, и объясняющая переменные заданы в логарифмическом виде). Получается при линеаризации уравнения . Сводится к линейной путем замены U=lnYZ=lnXA=lna: U= A +b · Z Полулогарифмические модели — это модели вида — лог-линейная. Получается при линеаризации уравнения . Сводится к линейной путем замены U=lnY : U= a +b · X — линейно-логарифмическая. Сводится к линейной путем замены Z=lnX : Y= a +b · Z Обратная модель . Сводится к линейной путем замены Z=1/X Y=a+b·Z+ Степенная модель (полиномиальная) . 2. Выбор вида зависимости При выборе вида зависимости между двумя признаками нагляден графический метод, особенно для монотонных (не имеющих максимумы и минимумы) зависимостей. Наиболее характерные из них представлены на рис.2.4. Рис.2.4. Графики монотонных зависимостей При выборе зависимости во-первых, выбирается кривая, которая наиболее подходит для экспериментальных данных (исходя из аналитических предпосылок, либо визуально по графику), а во-вторых, если затруднительно выбрать одну из нескольких кривых, используют метод средних точек. В таблице приведены основные типовые формулы, наиболее часто встречающиеся в эконометрических исследованиях. Для каждой зависимости рассчитываются координаты средних точек Xk и Yk по формулам из таблицы. Средние точки наносят на график и выбирают ту формулу, средняя точка которой лежит ближе всего к экспериментальной кривой.	Формула	Xk	Yk	Приведение к линейному виду
1	степенная				U = A + bZ; U = lgY; A = lga; Z = lgX
2	показательная				U = A + BX; U = lgY; A = lga; B = lgb
3	дробно-рациональная
4	логарифмическая				Y = a + bZ; Z = lgX
5	гиперболическая				Y = a + bZ; Z = 1/X
6	функция спроса (Торнквиста)				U = A + BZ; U = 1/Y; Z = 1/X; A = 1/a; B = b/a

3. Определение параметров уравнения регрессии

Рассмотрим нелинейные регрессии по оцениваемым параметрам. Пусть в результате наблюдения получен ряд изучаемого показателяX и Y. По этим значениям можно построить график.

Затем необходимо определить параметры выбранной зависимости a и b таким образом, чтобы расчетная кривая лежала как можно ближе к экспериментальной кривой.

Для этого сначала необходимо привести уравнение регрессии к линейному виду. Это преобразование называется линеаризацией. Для этого необходимо ввести замену переменных согласно выбранной модели (в соответствии с таблицей). После введения новых переменных U и Z, необходимо рассчитать параметры A и В этого уравнения.

В качестве критерия близости S выбираем минимум суммы квадратов отклонений между экспериментальными и расчетными значениями. Учитывая, что в каждом конкретном случае линейный вид уравнения различный, запишем этот критерий в универсальном виде:

Для каждой формулы из табл. в этом критерии будут присутствовать разные переменные в зависимости от приведения их к линейному виду. Например, для первой формулы U = lgY; Z = lgX. Тогда система нормальных уравнений для определения параметров линейной зависимости будет иметь вид:

,

Для нахождения соответствующих сумм в каждом случае необходимо получить различные вспомогательные таблицы с учетом приведения выражений к линейному виду. Например, для второй формулы из табл.2.3 Z_i = X_i, а U_i = lg(Y_i) и т.д.

Решив эту систему, получаем искомые значения параметров. Следует отметить, что при нахождении параметров других зависимостей необходимо сначала привести их к линейному виду согласно табл.2.3.

Для проверки правильности выполненных действий получаем расчетные значения подстановкой в найденную формулу экспериментальных значений X. Полученные расчетные значения наносим на график с экспериментальными данными и делаем вывод об адекватности.

Рассмотрим зависимость урожайности зерновых культур от количества внесенных удобрений:

График экспериментальной кривой представлен на рисунке.

1) ; ;

2) ; Y_k = 8,83;

3) X_k = 3; ;

4) X_k = 2,24; ;

5) ; Y_k = 9,5;

И наносим их на тот же график.

В связи с неровностью исходной кривой выбор зависимости неоднозначен – для учебных целей выбираем формулу 1: Y = a  Х b . В линейном виде U = A + bZ; U = lg Y; A = lg a; Z = lg X.

Система нормальных уравнений имеет вид:

Находим коэффициенты этой системы. Для этого оформляем табл. 2.4

Таблица 2.4. Промежуточные результаты расчета

; .

Так как в линейном виде участвует переменная A, необходимо перейти к исходной переменной а, по формуле а = 10 А = 10 0,788 = 6,136. В итоге получаемY = 6,136  Х 0,474 .

Расчетные значения по полученному уравнению регрессии приведены в последнем столбце табл.2.4. исходные и расчетные значения урожайности приведены на следующем графике:

По взаимному расположению двух кривых можно сделать вывод о достаточно хорошей сходимости полученного уравнения (далее будут применены статистические критерии сходимости).

Нелинейные модели регрессии. Виды нелинейных уравнений регрессии. Линеаризация нелинейных моделей регрессии. Оценка качества нелинейных уравнений регрессии.

При исследовании социально-экономических явлений и процессов далеко не все зависимости можно описать с помощью линейной связи. Поэтому в эконометрическом моделировании широко используется класс нелинейных моделей регрессии, которые делятся на два класса:

1) модели регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ независимых переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

2) модели регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

К моделям регрессии, нелинейным относительно включённых в анализ независимых переменных (но линейных по оцениваемым параметрам), относятся полиномы выше второго порядка и гиперболическая функция.

Модели регрессии, нелинейным относительно включённых в анализ независимых переменных, характеризуются тем, что зависимая переменная yi линейно связана с параметрами β0…βn модели.

Полиномы или полиномиальные функции применяются при анализе процессов с монотонным развитием и отсутствием пределов роста. Данному условию отвечают большинство экономических показателей (например, натуральные показатели промышленного производства). Полиномиальные функции характеризуются отсутствием явной зависимости приростов факторных переменных от значений результативной переменной yi.

Общий вид полинома n-го порядка (n-ой степени):

Чаще всего в эконометрическом моделировании применяется полином второго порядка (параболическая функция), характеризующий равноускоренное развитие процесса (равноускоренный рост или снижение уровней):

Полиномы, чей порядок выше четвёртого, в эконометрических исследованиях обычно не применяются, потому что они не способны точно отразить существующую зависимость между результативной и факторными переменными.

Гиперболическая функция характеризует нелинейную зависимость между результативной переменной yi и факторной переменной xi, однако, данная функция является линейной по оцениваемым параметрам β0 и β1.

Гиперболоид или гиперболическая функция имеет вид:

Данная гиперболическая функция является равносторонней.

В качестве примера эконометрической модели в виде гиперболической функции можно привести модель зависимости затрат на единицу продукции от объёма производства.

Неизвестные параметры β0…βn модели регрессии, нелинейной по факторным переменным, можно найти только после того, как модели будет приведена к линейному виду.

Для того чтобы оценить неизвестные параметры β0…βn нелинейной регрессионной модели необходимо привести её к линейному виду. Суть процесс линеаризации нелинейных по факторным переменным моделей регрессии заключается в замене нелинейных факторных переменных на линейные переменные.

Рассмотрим процесс линеаризации полиномиальной функции порядка n:

Заменим все факторные переменные на линейные следующим образом:

Тогда модель множественной регрессии можно записать в виде:

yi=β0+β1c1i+ β2c2i+…+ βncni+εi.

Рассмотрим процесс линеаризации гиперболической функции:

Данная функция может быть приведена к линейному виду путём замены нелинейной факторной переменной 1/x на линейную переменную с. Тогда модель регрессии можно записать в виде:

Следовательно, модели регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ независимых переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, могут быть преобразованы к линейному виду. Это позволяет применять к линеаризованным моделям регрессии классические методы определения неизвестных параметров модели (метод наименьших квадратов), а также методы проверки различных гипотез

Характеристика временных рядов. Временные ряды данных. Структура временного ряда. Аддитивная и мультипликативная модели временных рядов. Модели стационарных и нестационарных временных рядов и их идентификация.

Система одновременных уравнений. Общие понятие о системах уравнений, используемых эконометрике. Классификация систем уравнений. Идентификация систем эконометрических уравнений. Методы оценки параметров систем одновременных уравнений.